广州大学：数学分析（推荐下载）：17-1(可微性)

*二、全微分在数值计算中的应用
应用
一元函数 y = f (x) 的微分
)( xoxAy ?????
xxfy ??? )(d 近似计算 估计误差
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本节内容,
一,全微分的定义
第一节 可微性
二,偏导数
三,可微性条件
一,全微分的定义
定义, 如果函数 z = f ( x,y )在定义域 D 的内点 ( x,y )
可表示成
,)( ?oyBxAz ??????
其中 A,B 不依赖于 ? x,? y,仅与 x,y 有关,
称为函数 ),( yxf
在点 (x,y) 的 全微分,记作
yBxAfz ????? dd
若函数在域 D 内各点都可微,
则称函数
f ( x,y ) 在点 ( x,y) 可微,
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处全增量
则称此函数 在 D 内可微,
(2) 偏导数连续
),(),( yxfyyxxfz ???????
? ?)()(lim 0 ?? oyBxA ????? ?
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系,
(1) 函数可微
函数 z = f (x,y) 在点 (x,y) 可微
),(lim
0
0
yyxxf
y
x
????
??
??
由微分定义,
得
z
y
x
?
??
??
0
0
lim 0?
),( yxf?
函数在该点连续
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偏导数存在
函数可微
即
二,偏导数定义及其计算法
引例, 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是
),( txu
0xo x
u
中的 x 固定于 求
一阶导数与二阶导数,
x0 处,
),( 0 txu
关于 t 的
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将振幅
定义 1,),( yxfz ? 在点
存在,xyxyxfz 对在点 ),(),( 00?
的偏导数，记为
),( 00 y的某邻域内;),(
00 yxx
f
?
?
xx ??0 0x
则称此极限为函数
极限
设函数
?? )( 0xf
)()( 00 xfxxf ???
x?0
lim??x
x?;),( 00 yxxz
0d
d
xxx
y
??
.),( 001 yxf ?
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x
yxfyxxf
x ?
????
??
),(),(lim 0000
0),( 00 yxf x注意,
同样可定义对 y 的偏导数
lim
0??
?
y),( 00 yxf y
若函数 z = f ( x,y ) 在域 D 内每一点 ( x,y ) 处对 x
则该偏导数称为偏导函数,也简称为
偏导数,
),(,),( 2 yxfyxf y ?
),( 0xf ),( 0xf?
y?
记为
yy ??0 0y
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或 y 偏导数存在,
,,,yzyfyz ????
警告 各位 ！
偏导数的符号
yx ?
?
?
?
,
不能像一元函数那样将
是一个整体记号,
z? 与 yx ??,的商。
y
z
x
z
?
?
?
?
,
看成是
若函数 ),( yxf 在点
于变量 x 和 y 的偏导数均存在，则称
在区域 ? 内的任
),( 00 yx 处关
函数 ),( yxf 在点 ),(
00 yx
处可偏导。
若函数 ),( yxf
一点处均可偏导，则称函数 ),( yxf
在区域 ? 内可偏导。
x
yxfyxxf
x
z
x ?
???
?
?
?
??
),(),(
lim
0
可以看出, 定义
x
z
?
? 时,
实际上,是对函数
变量 y 是不变的,
),( yxf,将 y 视为常
数,关于变量 x 按一元函数导数的定义
进行的。
x
yxfyxxf
x
z
xyx ?
???
?
?
?
??
),(),(
lim 0000
0),( 00
0d
),(d 0
xxx
yxf
??
多元函数的偏导数的计算方法,
没有任何技术性的新东西。
求偏导数时，只要将 n 个自变量
的求导方法进行计算。
自变量均视为常数，然后按一元函数
中的某一个看成变量,其余的 n－ 1个
求偏导数时，只要将
的求导方法进行计算。
自变量均视为常数，然后按一元函数
中的某一个看成变量 － 个
求偏导数时，只要将 个自变量
中的某一个看成变量 其余的 － 个
自变量均视为常数，然后按一元函数
的求导方法进行计算。
例如,三元函数 u = f (x,y,z) 在点 (x,y,z) 处对 x 的
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数,
x?
xx ??
),,( ?zyxf y
),,( ?zyxf z
x
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偏导数定义为
(请自己写出 )
二元函数偏导数的几何意义,
0
0 ),(d
d
0
0
xxyxfxx
f
xx
yy ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0
),(
yy
yxfz
xTM0
0
0 ),(d
d
0
0
yyyxfyy
f
xx
yy ?
?
?
?
?
?
是曲线 yTM0
在点 M0 处的切线
对 x 轴的斜率,
在点 M0 处的切线
斜率,
是曲线
y
x
z
0x
yT
o
xT
0y
0M
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对 y 轴的
函数在某点各偏导数都存在,
显然
例如,?
?
?
?
?
??
??
???
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
yx
yxfz
0?
0?
注意,
但在该点 不一定连续,
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在上节已证 f (x,y) 在点 (0,0)并不连续 !
例 1, 求 22 3 yyxxz ???
解法 1,??
?
x
z
)2,1(x
z
?
??
解法 2,
)2,1(x
z
?
?
在点 (1,2) 处的偏导数,
)2,1(y
z
?
?
,32 yx ? ??
?
y
z
yx 23 ?
)2,1(y
z
?
?
462 ??? xx
1?xz 231 yy ???
2?yz
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例 2,设,）且 1,0( ??? xxxz y z
y
z
xx
z
y
x 2
ln
1 ?
?
??
?
?
证,
y
z
xx
z
y
x
?
??
?
??
ln
1
例 3,求 的偏导数,
解, ??
?
x
r
求证
z2?
2222 zyx ??x2 r
x?
r
z
z
r ?
?
?
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定理 1(必要条件 ) 若函数 z = f (x,y) 在点 (x,y) 可微,
则该函数在该点偏导数
yyzxxzz ????????d
x
z
?
??
同样可证,By
z ?
?
?
证, 由全增量公式,0?? y令
)( xoxA ????
必存在,且有
得到对 x 的偏增量
xx ?? x
因此有
x
zx
x ?
??
?? 0
l i mA?
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三,可微性条件
反例, 函数 ?),( yxf
易知,0)0,0()0,0( ?? yx ff 但
])0,0()0,0([ yfxfz yx ?????
因此,函数在点 (0,0) 不可微, )(?o?
注意, 定理 1 的逆定理不成立,
22 )()( yx
yx
???
??? 22 )()( yx
yx
???
???
0
偏导数存在函数 不一定可微 !
即,
0,2222 ??
?
yx
yx
yx
0,0 22 ?? yx
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] ),([ yyxxf ?????
定理 2 (充分条件 ) y
z
x
z
?
?
?
?,
证, ),(),( yxfyyxxfz ???????
)1,0( 21 ?? ??
xyxf x ??? ]),([
??????
yyyxf y ??? ),( 2? ??????? xyyxxf x ),( 1?
),( yyxf ???
)],( [ yxf?? ),( yyxf ??
yyxf y ??? ]),([
若函数 的偏导数
,),( 连续在点 yx则函数在该点 可微分,
? ?
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0lim
0
0
?
??
??
?
y
x
,0l i m
0
0
?
??
??
?
y
x
???z
yyxfxyxf yx ???? ),(),(
yyxfxyxfz yx ????? ),(),(
??? ?? ????? yx
所以函数
yx ???? ??
在点 可微,
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??????
0lim
0
0
?
??
??
?
y
x
,0l i m
0
0
?
??
??
?
y
x
注意到,故有
)(?o?
???? xxu
推广, 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题,
例如,三元函数 ),,( zyxfu ?
?ud
习惯上把自变量的增量用微分表示,
?ud
记作
故有下述叠加原理
uuuu zyx dddd ???
称为 偏微分,
zzu d???
uzd
的全微分为
???? yyu zzu???
于是
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uuu zyx d,d,d
例 1,计算函数 在点 (2,1) 处的全微分,
解, ??
?
x
z
22 2
)1,2(,)1,2( ey
ze
x
z ?
?
??
?
?
例 2,计算函数 的全微分,
解, ?ud yy d) c o s( 221 ?
???yz,yxey yxex
zyez
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可知当
*四、全微分在数值计算中的应用
1,近似计算
由全微分定义
)(),(),( ?oyyxfxyxfz yx ??????
),( yyxxf ???? yyxfxyxf yx ??? ),(),(
较小时,
yyxfxyxfzz yx ?????? ),(),(d
zd
及 有近似等式,
?? ),( yxf
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(可用于近似计算 ; 误差分析 )
(可用于近似计算 )
半径由 20cm 增大
解, 已知
??V
,1 00,20 ?? hr
)1(2005.0100202 2 ????????? ??V
即受压后圆柱体体积减少了
例 3,有一圆柱体受压后发生形变,
到 20.05cm,
则
rrh ??2 hr ?? 2?
1,05.0 ????? hr
)cm(2 0 0 3???
高度由 100cm 减少到 99cm,
体积的近似改变量,
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求此圆柱体
例 4.计算 的近似值,
解, 设 yxyxf ?),( 则
?),( yxf x
取,2,1 ?? yx
则 )02.2,04.1(04.1 02.2 f?
08.102.0004.021 ??????
?),( yxf y,1?yxy xx y ln
02.0,04.0 ???? yx
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分别表示 x,y,z 的绝对误差界,
2,误差估计
利用 yyxfxyxfz yx ????? ),(),(
令
z 的绝对误差界约为
yyxxz yxfyxf δ),(δ),(δ ??
z 的相对误差界约为
y
y
x
xz
yxf
yxf
yxf
yxf
z δ),(
),(δ
),(
),( ???
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则
特别注意
类似可以推广到三元及三元以上的情形,
xzz δ
δ ??
y
x
yδ ? ?y
x
?乘除后的结果相对误差变大
?很小的数不能做除数
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例 5,利用公式
???????? 1.030,01.03.8,01.05.12 Cba
求计算面积时的绝对误差与相对误差,
解,aS a
S δδ
?
??
aCb δsi n2
1?
1 8 0 0δ,01.0δδ,30,3.8,5.12
????????
CbaCba
故绝对误差约为
又
所以 S 的相对误差约为
????? 30s i n3.85.1221
bCa δsi n2
1?
CCab δc o s2
1?
94.25?
计算三角形面积,现测得
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bb
S δ
?
??
cc
S δ
?
??
例 6.在直流电路中,测得电压 U = 24 伏,
解, 由欧姆定律可知 46
24 ???
I
UR
( 欧 )
所以 R 的相对误差约为
??? IUR IUR δδδ 0.3 ? + 0.5 ?
R 的绝对误差约为
?? RRδ 0.8 ?
0.3?;
定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差,
相对误差为
测得电流 I = 6安,相对误差为 0.5 ?,
= 0.032 ( 欧 )
= 0.8 ?
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求用欧姆
内容小结
1,微分定义,
??z
?zd yyxfxyxf yx d),(d),( ?
22 )()( yx ?????
2,重要关系,
)( ?o?
函数可导
函数可微
偏导数连续
函数连续
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3,微分应用
? 近似计算
? 估计误差
yyxfxyxf yx ??? ),(),(
yyxfxyxf yx ??? ),(),(
绝对误差
相对误差
yyxxz yxfyxf δ),(δ),(δ ??
y
y
x
xz
yxf
yxf
yxf
yxf
z δ),(
),(δ
),(
),(δ ??
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思考与练习 1,P72 题 1 (总习题八 )
函数 ),( yxfz ? 在 ),( 00 yx 可微的充分条件是 ( );),(),()( 00 连续在 yxyxfA
),(),(,),()( 00 yxyxfyxfB yx 在??的某邻域内存在 ;
yyxfxyxfzC yx ??????? ),(),()(
0)()( 22 ???? yx当 时是无穷小量 ;
22 )()(
),(),()(
yx
yyxfxyxfzD yx
???
??????
0)()( 22 ???? yx当 时是无穷小量,
2,选择题 D
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答案, z?
03.0,1
01.0,2
???
???
yy
xx
02.0?
zd 03.0,1 01.0,2 ??? ??? yy xx 03.0?
也可写作,
当 x = 2,y =1,△ x = 0.01,△ y = 0.03 时
△ z = 0.02,d z = 0.03
3,P73 题 7
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zfyfxff zyy d)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(d )0,0,0( ????
4,设
解, x
xxf
c o s3)0,0,( ??? ? ?
0c o s3)0,0,0( ?
?
??? xx
xf
x4
1?
利用轮换对称性,可得
4
1)0,0,0()0,0,0( ??
zy ff
)dd(d41 zyx ???
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( L,P245 例 2 ) 注意, x,y,z 具有
轮换对称性
答案,
作业
P24 1 (3),(4) ; 3 ; 5 ;
8 ; 10
5,已知
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在点 (0,0) 可微,
备用题
在点 (0,0) 连续且偏导数存在,
续,),( yxf而
证, 1) 因 22
1s i n
yx
xy
?0),(l i m
0
0
?
?
?
yxf
y
x )0,0(f?
故函数在点 (0,0) 连续 ;
但偏导数在点 (0,0) 不连
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证明函数
xy? 2
22 yx ?
?
所以
),( yxf x
,)0,0(),( 时当 ?yx
,0)0,( ?xf? ;0)0,0( ?? xf,0)0,0( ?yf同理
22
1s i n
yx ?
? 322
2
)( yx
yx
?
?
),(li m )0,0(),( yxf xxx ?
极限不存在,),( yxf x? 在点 (0,0)不连续 ;
同理,),( yxf y 在点 (0,0)也不连续,
xx (lim0?? ||2
1s i n
x? 3
3
||22 x
x?
)||21c o s x?
2)
3)
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,)()( 22 yx ?????
4) 下面证明 )0,0(),( 在点yxf 可微,
?
yfxff yx ????? )0,0()0,0(
说明, 此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件,
令 则
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