第十八章 第四节
条件极值
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条件极值及其求法
条件极值
极值问题 无条件极值,
条 件 极 值,
条件极值的求法,
方法 1 代入法,
求一元函数 的无条件极值问题
对自变量只有定义域限制
对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制
例如,
转
化
,0),( 下在条件 ?yx? 的极值求函数 ),( yxfz ?
)(0),( xyyx ?? ?? 中解出从条件
))(,( xxfz ??
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,0),( 下在条件 ?yx?
方法 2 拉格朗日乘数法,
如方法 1 所述,
则问题等价于一元函数
可确定隐函数
的极值问题,
极值点必满足
设
记
.),( 的极值求函数 yxfz ?
0),( ?yx?,)( xy ??
))(( xxfz ??
例如,
故
0dddd ??? xyffxz yx
,dd
y
x
x
y
?
???因 0??
y
xyx ff
?
?
y
y
x
x ff
??
?
故有
???
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引入辅助函数
辅助函数 F 称为拉格朗日 ( Lagrange )函数, 利用拉格
极值点必满足
0?? xxf ??
0?? yyf ??
0),( ?yx?
则极值点满足,
朗日函数求极值的方法称为 拉格朗日乘数法,
),(),( yxyxfF ????
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推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形,
设
解方程组
可得到条件极值的可疑点,
例如,求函数
下的极值,
在条件 ),,( zyxfu ?,0),,( ?zyx?
0),,( ?zyx?
),,(),,(),,( 21 zyxzyxzyxfF ???? ???
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例 5,要设计一个容量为
0V
则问题为求 x,y,
令
解方程组
解, 设 x,y,z 分别表示长、宽、高,
下水箱表面积
最小,
z 使在条件
02 ??? zyyz ?
02 ??? zxxz ?
0)(2 ??? yxyx ?
00 ?? Vzyx
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
的长方体开口水箱,试问
0Vzyx ? yxzyzxS ??? )(2
)()(2 0VzyxyxzyzxF ????? ?
x y
z
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得唯一驻点,22 3 0Vzyx ??? 3 02 4V???
由题意可知合理的设计是存在的,
长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省,
因此,当高为,3 40V
x y
z
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思考,
1) 当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?
提示, 利用对称性可知,3 0Vzyx ???
2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价
最省,应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?
提示, )()(2 0VzyxyxzyzxF ????? ?2
长、宽、高尺寸相等,
内容小结
1,函数的极值问题
第一步 利用必要条件在定义域内找驻点,
即解方程组
第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点,
2,函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
,),( yxfz ?
??
?
?
?
0),(
0),(
yxf
yxf
y
x如对二元函数
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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设拉格朗日函数
如求二元函数 下的极值,
解方程组
第二步 判别
? 比较驻点及边界点上函数值的大小
? 根据问题的实际意义确定最值
第一步 找目标函数,确定定义域 ( 及约束条件 )
3,函数的最值问题
在条件
求驻点,
),( yxfz ? 0),( ?yx?
),(),( yxyxfF ????
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已知平面上两定点 A( 1,3 ),B( 4,2 ),
试在椭圆 圆周上求一点 C,使
△ ABC 面积 S△ 最大,
解答提示,
C
B
A
o
y
xE
D
设 C 点坐标为 (x,y),
思考与练习
031
013
??
?
yx
kji
???
)103,0,0(21 ??? yx
)0,0(149
22
???? yxyx
则
10321 ??? yx
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设拉格朗日函数
解方程组
得驻点 对应面积
而 比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形
面积最大,
)491()103(
22
2 yxyxF ?????? ?
092)103(2 ???? xyx ?
042)103(6 ???? yyx ?
0491
22
??? yx
646.1?S,5
4,
5
3 ?? yx
,5.3,2 ?? CD SS
点击图中任意点
动画开始或暂停
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作业
P61 3,4,8,9,10
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备用题 1,求半径为 R 的圆的内接三角形中面积最大者,
解, 设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则,2 ???? zyx
z
y
x
它们所对应的三个三角形面积分别为
zRS s in2213 ?
0,0,0 ??? zyx
设拉氏函数 )2(s ins ins in ?? ??????? zyxzyxF
解方程组
0c o s ?? ?x
,得 3
2 ???? zyx
故圆内接正三角形面积最大,最大面积为
3
2s in3
2
2
m ax
??? RS,
4
33 2R?
0c o s ?? ?y 0c o s ?? ?z
02 ???? ?zyx
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为边的面积最大的四边形,
试列出其目标函数和约束条件?
提示,
?? sin21sin21 dcbaS ??
)0,0( ???? ????
目标函数,
?? c o s2c o s2 2222 dcdcbaba ?????约束条件,
dcba,,,
a
b
cd
?
?
答案,,??? ?? 即四边形内接于圆时面积最大,
2,求平面上以
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