第七章 实数的完备性 § 1? 关于实数集完备性的基本定理 一?? 区间套定理与柯西收敛准则 定义1? 区间套:? 设是一闭区间序列. 若满足条件 ⅰ）?对, 有 , 即 , 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ）? ?. 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套,? 简称为区间套 . 区间套还可表达为: ?. 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增,递减. 例如 和?都是区间套.? 但 、 ?和 ???都不是. ?区间套定理 定理7.1(区间套定理) 设是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点 , 使对有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 二? 聚点定理与有限覆盖定理 定义? 设是无穷点集.? 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的 一个聚点. 数集 =有唯一聚点 , 但 ; 开区间 的全体聚点之集是闭区间;? 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间 . 定理 7.2 (? Weierstrass ?)? 任一有界数列必有收敛子列. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理. 定理7.3? 每一个有界无穷点集必有聚点. 列紧性:? 亦称为Weierstrass收敛子列定理. 四． Cauchy收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 基本列 :? 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy列. 例1? ?验证以下两数列为Cauchy列 : ???? ⑴? ???. ???? ⑵ ????. 解?? ⑴??  ?; 对 ，为使 ?，易见只要 ??. 于是取?. ? ?⑵? ? ???????????????? ?. ?当 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 ?????? ????????? , 又????????  ? ? ???????????????????????????? ?. 当为奇数时, ?????????????  ?? ? ?????????????  ?? . ?综上 , 对任何自然数, 有 ????? ?. …… ?Cauchy 列的否定: 例2? ???. 验证数列不是 Cauchy列. ?证?? 对, 取, 有 . 因此, 取 ?,…… 三? Cauchy收敛原理: ?定理? 数列收敛 ?是Cauchy列. ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原 则给出证明 ) 四.? 致密性定理: 五? Heine–Borel 有限复盖定理: 1.??复盖:? 先介绍区间族. 定义( 复盖 )? 设是一个数集 , 是区间族 . 若对, 则称区间族复盖了, 或称区间族是数集的一个复盖. 记为 若每个都是开区间,? 则称区间族是开区间族. 开区间族常记为 . 定义( 开复盖 )?? 数集的一个开区间族复盖称为的一个开复盖,? 简称为的一个复盖.子复盖、 有限复盖、有限子复盖. 例3? ??复盖了区间,? 但不能复盖; ?复盖 , 但不能复盖 . ?Heine–Borel 有限复盖定理: 定理? 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.