第二节 函数极限的性质
冯永平
Fypmath@gzhu.edu.cn
六种极限
);(lim xf
x ???
);(lim xf
x ???
);(lim xf
x ??
);(lim
0
xf
xx ?
);(l i m
0
xf
xx ??
);(l i m
0
xf
xx ??
一 函数极限的性质
1.局部 有界性
定理 若当
0
xx ? 时 )( xf 有极限,则存在
0
x
的一个邻域 )( 0
0 xU
,在此 邻 域 内 )( xf 有界,
2.唯一性
定理 若 )(lim xf 存在,则极限唯一,
.xfxf,,xUx,
AA,Axflim
xx
)0)((0)()(0
),0(0)(
0
0
0
?????
???
?
或时当则
或且若
??
定理
).0(0,)(l i m
),0)((0)(,),(,0
0
0
0
???
?????
?
AAAxf
xfxfxUx
xx
或则且
或时当若 ??
推论
3.局部 保号性
4.局部 保 不等 性
)(l i m)(l i m),()();(
)(l i m)(l i m
00
00
0
0 xgxfxgxfxU
xgxf
xxxx
xxxx
??
??
?? 则内有
都存在，且在某邻域与设
?
定理
5.夹逼准则
本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供
了一个计算函数极限的方法。
.)(lim
)( )()(
);(,)(lim)(lim
0
00
0
0
Axh
xgxhxf
xUAxgxf
xx
xxxx
?
??
??
?
??
则
内有且在某设 ?
6、极限运算法则
.0,
)(
)(
lim)3(;)()(lim)2(;))()((lim)1(
,)(lim,)(lim
0
0
0
00
??
???
???
??
?
?
?
??
B
B
A
xg
xf
BAxgxf
BAxgxf
BxgAxf
xx
xx
xx
xxxx
其中
则设
二、求极限方法举例
例 1,53 1l i m 2
3
2 ??
?
? xx
x
x
求
解 )53(l i m 2
2 ??? xxx? 5l i m3l i ml i m 22
2
2 ??? ??? xxx xx
5l i ml i m3)l i m( 2222 ??? ??? xxx xx
5232 2 ????,03 ??
53
1l i m
2
3
2 ??
??
? xx
x
x )53(lim
1limlim
2
2
2
3
2
??
?
?
?
??
xx
x
x
xx
.37?3 12
3 ?
?
小结, 则有设,)(.1 110 nnn axaxaxf ???? ? ?
nnxxnxxxx axaxaxf ???? ???? ?110 )lim()lim()(lim 000
nnn axaxa ???? ? ?10100 ).( 0xf?
则有且设,0)(,)( )()(.2 0 ?? xQxQ xPxf
)(l i m
)(l i m
)(l i m
0
0
0 xQ
xP
xf
xx
xx
xx
?
?
?
?
)(
)(
0
0
xQ
xP? ).(
0xf?
.,0)( 0 则商的法则不能应用若 ?xQ
解 )32(l i m 21 ??? xxx?,0? 商的法则不能用
)14(lim 1 ?? xx?又,03 ??
14
32lim 2
1 ?
???
? x
xx
x,03
0 ??
由无穷小与无穷大的关系,得
例 2,32 14lim 21 ?? ?? xx xx求
.32 14l i m 2
1
???? ?
? xx
x
x
解
例 3,32 1lim 2
2
1 ??
?
? xx
x
x
求
.,,1 分母的极限都是零分子时?x
.1 后再求极限因子先约去不为零的无穷小 ?x
)1)(3(
)1)(1(l i m
32
1l i m
12
2
1 ??
???
??
?
?? xx
xx
xx
x
xx
3
1l i m
1 ?
??
? x
x
x,2
1?
)00( 型
(消去零因子法 )
例 4,147 532l i m 23
23
??
??
?? xx
xx
x
求
解,,,分母的极限都是无穷大分子时??x )( 型?
?
.,,3 再求极限分出无穷小去除分子分母先用 x
3
3
23
23
14
7
53
2
lim
147
532
lim
xx
xx
xx
xx
xx
??
??
?
??
??
????
.72?
小结, 为非负整数时有和当 nmba,0,0 00 ??
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
???
???
?
?
??
,,
,,0
,,
l i m
0
0
1
10
1
10
mn
mn
mn
b
a
bxbxb
axaxa
n
nn
m
mm
x
当
当
当
?
?
例 5 ).(lim,0,1
0,1)(
02
xfxx xxxf
x ???
?
??
??? 求设
y
o x1
xy ?? 1
12 ?? xy
解 两个单侧极限为是函数的分段点,0?x
)1(lim)(lim 00 xxf xx ?? ?? ??,1?
)1(lim)(lim 200 ?? ?? ?? xxf xx,1?
左右极限存在且相等,
.1)(l i m 0 ?? xfx故
? 例 6 求
? 例 7 求
? 例 8 证明
??
?
??
?
? x
x
x
1l i m
0
?????? ???
?? 1
3
1
1lim
31 xxx
).1(,1lim 0 ??? aa xx