第三节 函数极限存在的条件
冯永平
Fypmath@gzhu.edu.cn
函数极限与数列极限的关系 (海涅定理 )
.)(l i m
,l i m},{);(
,)(l i m);()(
000
0
0
0
0
Axf
xxxxxxU
AxfxUxf
n
n
nn
n
n
xx
?
??
??
??
??
?
则有
且若数列任意含于
内有定义，在
?
?定理
注,本定理有如下几点注释,
1 本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将
函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。
2 本定理通常用来证明函数极限的不存在性。
证
.)(
,0,0,0 0
???
???????????
Axf
xx 恒有时使当
Axfxx ?? )(l i m
0
?
.0
,,0,0
0 ????
??????
xx
NnN
n
恒有时使当对上述
,)( ??? Axf n从而有,)(l i m Axf nx ???故
,lim 00 xxxx nnn ???? 且又 ?
例如,x
xy sin?
1sinlim
0
?
? x
x
x
,11s i nlim ?
?? n
n
n
,11s i nlim ?
?? n
n
n
11s i n1lim 2
2
???
?? n
n
n
n
n
xy 1sin?
例 1,1s i nl i m
0
不存在证明 x
x ?
证 ? ?,1 ?????? ?? nx n取
,0lim ??? nn x ;0?nx且
? ?,
2
14
1
?
?
?
?
?
?
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?
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??
n
x n取
,0lim ???? nn x ;0??nx且
?nx
nnn
s i nl i m1s i nl i m
????
?而
,1?
?2 14s i nlim1s i nlim ???
????
n
x nnn而
1lim??? n
二者不相等,.1s i nl i m 0 不存在故 xx ?
,0?
单调有界准则,
);(lim xf
x ???
);(lim xf
x ???
);(l i m
0
xf
xx ??
);(l i m
0
xf
xx ??
以上 4种极限有相互对应的单调有界准则 。
存在。则右极限
上的单调有界函数，为定义在设
)(l i m
);()(
0
0
0
xf
xUxf
xx ??
?
定理
Cauchy收敛准则,
设函数 在 内有定义。 存在
的充要条件为,
?
???
??
???????
|)''()'(|
),;('',',0,0 00
xfxf
xUxx
1 收敛函数的函数值在 几乎“挤”在了一起。
2 通常用 Cauchy收敛准则证明函数的极限不存在 。
)(xf );( 00 ?xU )(lim
0
xfxx ?
);( 00 ?xU