§5? 无穷小量与无穷大量 一? 无穷小量 与无穷小数列的概念相类似,我们给出关于函数为无穷小量的定义. 定义1? 设在某内有定义．若，则称为当时的无穷小量． 若函数在某 内有界，则称? ?为当 时的有界量． 类似地定义当，，， 以及 时的无穷小量与有界量． 例如，，与 ?都是当 ??时的无穷小量， 是当 时的无穷小量， 而 ， 为当 ?时的无穷小量．又如是当时的有界量， 是当时的有界 量．特别，任何无穷小量也必都是有界量． 由无穷小量的定义可立刻推得如下性质： 1. 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量． 2. 无穷小量与有界量的乘积为无穷小量． 例如，当时，是无穷小量， 是有界量，故有性质2即得 ． clf, x=-0.1:1/500:0.1; y=x.^2.*sin(1./x); y1=x.^2; y2=-x.^2;plot(x,y,x,y1,x,y2)  ? 函数的图象如上图所示． ????? 由函数极限与无穷小量的定义可立即推出如下结论： ?是当? ?时的无穷小量． 二　无穷小量阶的比较 无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢．为此我们考察两个无穷小 量的比，以便对它们的收敛速度作出判断． 设当时，与均为无穷小量． 1．若，则称当时为的高阶无穷小量，为的低阶无穷小量，记作 　（）． 特别，为当时的无穷小量记作 　（）． 例如，当时，，，（为正整数）等都是无穷小量，因而有 （），， 而且它们中后一个为前一个的高阶无穷小量，即有 （）． 又如，由于＝＝．故有 （）． 2．若存在正数和，使得在某上有 ， 则称与为当时的同阶无穷小量．特别当时，与必为同阶无穷小量． 例如，当时，与皆是无穷小量．由于 ＝，所以?与 ?为当 ?时的同阶无穷小量．又如，当?时，?与?都是无穷小量，由于它们之比的绝对值满足 ，所以与 为当时的同阶无穷小量． 若无穷小量与满足关系式 ，， 则记作　　　　（）． 特别，若 ?在某 内有界，则记为 　（）． 例如?? （）； （）； 　（）． 甚至当 （）时，也有 （）． 注： 本段中的等式 （）与 （）等，与通常等式的含义是不同的．这里等式左边是一个函数，右边是一个函数类，而中间的等号的含义是“属于”．例如，前面已经提到 （）　　　　　（1） 其中　， 等式（1）表示函数 ?属于此函数类． 3．若，则称 ?与 为当 ?时的等价无穷小量．记作 （）． 例如，由于 ，故有 （）． 又由于 （上节习题１（6）），故有 （）． 以上讨论了无穷小量阶的比较．但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较．例如， 当 时， 和 ?都是无穷小量，但它们的比 =? 或??? = ??????? 当?时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较． 下述定理显示了等价无穷小量在求极限问题中的作用． 定理3.12? 设函数 ，，?在 ?内有定义，且有 （）． (ⅰ) 若 ，则  (ⅱ) 若 ，则 ? 证 (ⅰ)  ????? (ⅱ)可类似的证明. 例1? 求  解 由于（）, （）,? 故有定理3.12得 . ?例2? 利用定价无穷小量代换求极限 . 解 由于=,而 （）, （）, （）, 故有? = ? 注? 在利用等价无穷小量代换求极限时,应注意:只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代,而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.如在例2中,若由 （）,（）, 而推出????? ?= ,?则得到的是错误的。 例? ?在 ?时是等价无穷小量 因为??  所以， ?时 ?是等价无穷小量， 记做?  clf,x=0:1/100:1; y=sin(x); y1=1-cos(x); subplot(1,2,1) plot(x,y,x,y1,'linewidth',2),hold on legend('sinx','1-cosx') subplot(1,2,2) y2=(1/2)*x.^2; plot(x,y1,x,y2,'linewidth',2) legend('x^2','2(1-cosx')  ? 三? 无穷大量 定义2? 设函数在某内有定义, 若对任给的，存在正数,使得当 ()时有? ???????????????????????????????? (2) 则称函数当 ?时有非正常极限,记作  若(2)式换成“”或“”，则分别称当 ?时有非正常极限或,记作 ?或 . 关于函数在自变量的其它不同趋向的非正常极限的定义,以及数列当时的非正常极限的定 义, 都可类似的给出．例如 ?的定义：任给，存在 , 使得当 时 有； ?的定义：任给，存在,使得当 ?时有 ． 定义3　　对于自变量的某种趋向（或时），所有以，，或为非正常极限的函数 （包括数列），都称无穷大量． 例3? 证明. 证　任给，要使，只要，因此令，则对一切有． 这就证明了 ． 例 4? 证明：当时，． 证明　任给（不妨设），要使，有对数函数的严格增性，只要。 因此，令 ，则对一切 有 ．这就证明了 ． 顺便指出，容易证明：当时，；当时，，． 注1????????? 无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数．如由例3知是当时的无穷大量 ，由例4知是当时的无穷大量． 注2????????? 若为时的无穷大量，则易见为上的无界函数．但无界函数却不一定是无穷大量． 如 ＝ 在 上无界，因对任给，取 ，这里正整数 ， 则有 ＝＝． 但 ，因若取数列 （），则 （）从而 ?． ?如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量也可定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等 概念．这里就不在祥述了． 由无穷大量与无穷小量的定义，可推得它们之间有如下关系： 定理3.13　(ⅰ)设在内有定义且不等于0．若为当时的无穷小量，则为当 时的无穷大量． (ⅱ)若为当时的无穷大量，则为当时的无穷小量． 定理的证明留给读者．根据这个定理，对无穷大量的研究可归结为无穷小量的讨论． 四　曲线的渐近线 作为函数极限的一个应用，我们讨论曲线的渐近线问题． 由平面解析几何知道，双曲线有两条渐近线． ? ? ? ?  ?  ? ?  ?  ?   ? ? ?   ? ?一般地, 曲线的渐近线定义如下： 定义4　若曲线上的动点沿着曲线无限地远离原点时，点与某定直线的距离趋于0，则称直 线为曲线的渐近线（图3-8）． 下面我们讨论曲线在什么条件下存在斜渐近线与垂直渐近线，以及怎样求出渐 近线方程． 现假设曲线有斜渐近线．如图3-8所示，曲线上的动点到渐近线的距离为 ?＝ ． 按渐近线的定义，当时，，即有，或 ．????????????????? （3） 又由 =, 得到 .???????????????? (4) 由上面的讨论可知, 若曲线有斜渐近线，则常数与可相继由(4)式和(3)式来确定； 反之．若由(4)、(3)两式求得 与 ，则可知 （），从而 为曲线 的渐近线． 若函数满足 （或，） 则按渐近线的定义可知，曲线有垂直于轴的渐近线，称为垂直渐近线． 例5　求曲线 ?的渐近线． 解　由(4)式??? １ ，得．再由(3)式 －? ， 得．从而求得此曲线的斜渐近线方程为．又由，易见 ?，，所以此曲线有垂直渐近线 ?和  ?  ?   ? ?? 习? 题? 课 例1? 设数集无界.? 试证明:? 存在数列 {}?使  例2? 设为定义在上的递增函数. 证明:? 极限存在的 充要条件是函数在上有上界. 例3证明: 对? 其中是Riemann函数. 例4 设函数定义在内,? 且满足条件 ?ⅰ>  ⅱ>? 对?有 ??试证明 是内的常值函数. ?例5? 求极限 ?注意=有界 例6? ??求和. 解法一?  ? 又  解法二?? ， 由且原式极限存在， ，即 . 例7? .? 求. 注意时,且. 先求由Heine归并原则即求得所求极限 . 例8?? 求 ??和? .? 并说明极限 是否存在. 解?? ; ? 可见极限 ?不存在.