§ 2? 可积条件（ 3 时 ） ? ??必要条件: ? ??定理1? ?? 在区间 上有界. ?? ?充要条件: ?? ?1.?思路与方案: ??? 思路:? 鉴于积分和与分法和介点有关,? 先简化积分和.? 用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法及介点无关的条件 . ???方案: ?定义上和? 和下和 .? 研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件 . ?? ?2.? Darboux和: ??以下总设函数 ?在区间 上有界. 并设 , 其中和分别是函数在区间 上的下确界和上确界 . 定义 Darboux和, 指出Darboux 和未必是积分和 . 但Darboux? 和由分法唯一确定.? 分别用、和记相应于分法的上（大）和、下（小）和与积分和.? 积分和 ?是数集(多值) . ?但总有 ??, ?因此有 . ?和 的几何意义 . ??? 3.? Darboux和的性质:? 本段研究Darboux和的性质, 目的是建立Darboux定理. 先用分点集定义分法和精细分法:? 表示是的加细 . 性质1? 若, 则,? . 即 :? 分法加细, 大和不增,小和不减 .?? ( 证 ) 性质2? 对任何, 有 ,? . 即 : 大和有下界,小和有上界.? ( 证 ) 性质3? 对任何?和 ?, 总有. 即: 小和不会超过大和 . 证???? ??????. 性质4? 设是添加个新分点的加细. 则有 ??????? + ?, ??????? . 证??? 设是只在中第个区间内加上一个新分点所成的分法, 分别设 ????????????????? ,?? ,?? ?.?? 显然有?? ?和? .? 于是 ?? ???????? ????????  ???????? . 添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次. 即证得第二式. ??? 可类证第一式. 系?? 设分法有个分点，则对任何分法，有 ，? . 证?? . ???????? . ??? 4.?上积分和下积分:? 设函数在区间 上有界.? 由以上性质2 ， ?有上界 ，?有下界 .? 因此它们分别有上确界和下确界. 定义? 记,? .? 分别称和 为函数在区间 上的上积分和下积分. 对区间 上的有界函数,? 和存在且有限 ,? .? 并且对任何分法, 有? ? ?. ???? 上、下积分的几何意义. ? 例1? 求?和 .? 其中是Dirichlet函数 . ??? ??5.? Darboux定理 :? ? 定理 1? 设函数 在区间 上有界, 是区间 的分法 .? 则有 ????????????????? ?=,???? ?=. ????? 证 ??( 只证第一式 .? 要证 :? 对使当 ?时有 .?  是显然的.??因此只证? ???. ) ?? ?????????,? ?对?,? 使 <  设 ?有个分点,? 对任何分法?, 由性质4的系, 有 ?, 由*式, 得? ?<?即 ?????????? ?????????????< 亦即????? ????????????<?.?? 于是取?? ,? ( 可设, 否则为常值函数, =? ?对任何 分法成立. )? 对任何分法, 只要 , 就有??? ??????????????? ???????. 此即????????????? ? =. ?? ????6.?可积的充要条件: ??? 定理 2? （ 充要条件1 ）设函数在区间 上有界. ?? ???????=? . 证?? ??设 ???=,? ??则有? =.? 即对?? 使当 ?时有 ? ????????| | < ? 对 ?成立. 在每个? ????上取,? 使?? ,? 于是, ??? ?????????????| | = ?< . 因此, 时有 | | ?| | + | | < ?+ =? . ?此即 =.? 由Darboux定理 ,? ??= . 同理可证 = .? ??= . ? 对任何分法, 有?, 而 ???? ?==? = . ?令 ?和 ?的共值为, 由双逼原理 ?=. ? ??定理 3? ?有界. ??对 . 证?? ( ?) = 0. 即对 ?时, ?.??????? ????,? 由,? ? ?–? ,? ??=? . ??? 定义? 称 为函数在区间上的振幅或幅度. 易见有?0 .? 可证 = 定理 3’? (充要条件2 )? 有界. ??对  ????????????? . 定理 3’ 的几何意义及应用Th 3’的一般方法:? 为应用Th 3’,? 通常用下法构造分法: 当函数在区间 上含某些点的小区间上作不到任意小时, 可试用在区间 上的振幅作 的估计 ,? 有?.? 此时, 倘能用总长小于, 否则为常值函数 )的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间 的端点作为分法的一部分分点，在区间 的其余部分作分割，使在每个小区间上有<,? 对如此构造的分法,? 有 ?? ?<  . 定理?? ( (R)可积函数的特征 )? 设在区间 上有界.? ???对?和 ,? 使对任何分法,?? 只要 ,?? 对应于 的那些小区间的长度之和 . 证?? ?在区间 上可积,? 对和 ,? 使对任何分法,?? 只要 ,? 就有 ???????????? . ??????? ??对的区间总长小于? 此时有 ????? ?=  ?? ?例? ??讨论Dirichlet函数在区间 上的可积性 . ?三． 可积函数类： 1．闭区间上的连续函数必可积：? 定理 5?? （ 证 ） ?2．???? 闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 . ??? 定理 6?? （ 证 ） ?系1? 闭区间上按段连续函数必可积 . ?系2? 设函数在区间 上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则函数在区间 上可积. ????例2? 判断题 :? 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 .?????? (???????? ) ????闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积 .?? (???????? ) ????闭区间上的单调函数必可积（?? ） ??? 定理 7?? （ 证 ） ????例3? ??? ?证明在上可积. ?? ?关于可积性的更一般的充分条件为: Th?? 闭区间 上的正规函数( regulated? function )是可积的. 参阅 :? S . K . Berberian ,? Regulated? function :? Bourbaki’s? alternative? to　the Riemann? integral ,? The? American? Mathematical? Monthly ,? Vol. 86 ,? No.3. 1979,? P 208—211.