§3? 数列极限存在的条件 单调有界定理：任何单调 有界数列都有极限。 例1 设? ， 证明该数列收敛。 例2? 证明数列  收敛，并求其极限。（c15(n)） clf,n=20;? a(1)=sqrt(2);? plot([0;n],[2;2]),hold on for i=1:n; a(i+1)=sqrt(2+a(i)); plot(i,a(i),'r.'),hold on end? axis([1,n,1,2.2])  数列的单调递增是显然的,? 有界很容易用归纳法证明, 而且 ??利用单调有界定理,? 设 其极限为 ?, 则有? ?,????? A=2 例3??证明? ?存在。（c16, n=） 先看一下数列的变化的图像, 该数列单调有界（小于3），所以极限存在，且由图象看出：随着 n 的 增大, ?逐渐接近一个 ??的无理数e clf,? n=50; x=1:n;???? f(x)=(1+1./x).^x; plot([0;n],[2.718;2.718]),hold on plot(x,f(x),'r.')??  ? 证明：（见教材） Cauchy收敛准则： 定理 2.10?? 数列{收敛， （ 或数列{收敛， ?} 例4 ?证明:? 任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列  收敛.? 其中是 ?中的数. 证?? 令 有  ???…… 例5? 设 ??试证明数列{收敛. 数列单调有界证法欣赏: Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一. 证法一? （ Riemann最先给出这一证法） 设 应用二项式展开，得  ?? ， ? ??????????????????? +  注意到?? ???? 且 ?比 ??多一项? ? ??即 ↗.  ??? ?有界。 综上, 数列{}单调有界. 证法二?? ( 利用Bernoulli不等式 ) 注意到Bernoulli不等式 为正整数 ),? 有  ???? ??? 由 ?利用Bernoulli不等式,有 ?↗. 为证{}上方有界, 考虑数列 ?可类证↘. 事实上, ? ?? ↘. 显然有 ??有 ?即数列{}有上界. 评註:? 该证法的特点是惊而无险，恰到好处. 证法三?? ( 利用均值不等式 )? 在均值不等式 ??中, 令 ???就有  ?????? ????即 ↗. 令???? ? 可仿上证得? ?时?? ↗。 ( 时无意义, 时诸=, 不能用均值不等式. )? 当时,? 由 ???????  ?? 由 ↗? ↘.  证法四?? ( 仍利用均值不等式 ) ?????????????? ??????????? ????????? ? ? ?即??? ↗. ?“均值不等式妙用两则”. 证法五?? 先证明：对 和正整数，有不等式? ????????? ??  事实上，???? ? ???????????? ?< ??? 该不等式又可变形为 ????( ?为正整数 ) 在此不等式中,? 取 ?则有 ??就有 ????????????? ↗. 取????? ?又有? ?对 成立，  又由?????