第三节 数列极限存在的条件
冯永平
Fypmath@gzhu.edu.cn
数列极限的两大问题
? 数列极限的存在性；
（此问题为最关键的问题）
? 数列极限值的大小；
（存在性成立后,才想办法计算极限）
几种证明极限存在的方法,
? 按照数列极限的定义证明。
? 按照奇、偶子列的收敛性证明。
? 依据任意子列的收敛性证明。
? 利用夹逼准则证明。
最简单的思想是利用数列本身的性质
证明数列极限的存在性
几个简单的单调数列,;0l i m,.,,2,1,1 ????
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满足条件如果数列 nx
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,121 ?? ???? ?nn xxxx 单调减少
单调数列
x1x 2x 3x 1?nxnx
准则 I,单调有界准则
单调有界数列必有极限,
几何解释, A M
几点说明,
? 通常该准则变通为,
1） 单调递增有上界的数列存在极限。
2） 单调递减有下界的数列存在极限。
? 本定理只是证明了存在性。
? 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。
? 此定理的条件为充分非必要条件。
,....2,1,1)1( ??? nna nn
例 1 设
其中,证明 收敛。
证明,递增显然，下面证明有上界，事实上,
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不难发现有,
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即 的第 项小于 的第 项,
此外 比 还多了一个正数项，故
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严格增加
下面证明有上界,
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Cauchy收敛准则,
数列 收敛的充要条件为,
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1 收敛数列的各项越到后面，项之间几乎“挤”在了一
起。
2 判别 的收敛性只要根据本身满足的特性就可以判
别，不需要引入别的数列作参照。
3 把数列项与其极限的关系变换为数列各个项之间的关
系。
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