§ 2? 收敛数列的性质 1.???? 极限唯一性：（ 证 ） 2.???? 收敛数列有界性 —— 收敛的必要条件：（ 证 ） 3.???? 收敛数列保号性： 定理2.4 ??设 或. 则对?(或?(或 例1? 设 ? 证明：若 ?则?（ 证 ） 定理2.5?? 设?若，? （注意“ = ” ；并注意?和 的情况 ）. 推论 ?若 ?则对?? 4. ?定理（ 迫敛性 ?）??? ?( 证 ) 例2? ?求??  5.? 绝对值收敛性: ???? ( 注意反之不确 ). ????? ( 证 ) 推论? 设数列{}和{}收敛, 则  6.四则运算性质: 例3?? ?求?????  例4? ??求??????  例5??? ?求????  7.? 子列收敛性:? 子列概念. 定理? ( 数列收敛充要条件 )? {}收敛 ?{}的任何子列收敛于同一极限. 定理?? ( 数列收敛充要条件 ) {}收敛 子列{}和{}收敛于同一极限.? 定理?? ( 数列收敛充要条件 ) {}收敛 子列{}、{}和{都收敛. ( 简证 ) 一、利用数列极限性质求极限: 两个基本极限： 1. ??利用四则运算性质求极限： 例1??? ? ?註：? 关于的有理分式当时的极限情况 例2. 填空: (1)?? ???? (2)??  例3?  例4?  2.利用迫敛性的基本技法:?? 大小项双逼法 例5? 求下列极限: ?? ⑴??  ?? ⑵??  ?? ⑶??  例6?? ????(  例7?? ???? 求证??  例8????设? 存在， 若 ??则  二.利用子列性质证明数列发散: 例9?????证明数列 发散.