?引入：由定积分计算引出 .????? ?思路：表达面积函数 . ?一．?微积分学基本定理： ???? 1.? 微积分学基本定理：?? 定理 1?（? 微积分学基本定理 ）若函数?则面积函数 ? 在上可导，且 =.??? 即当?时,? 面积函数?可导且在点的导数恰为被积函数在上限的值. 亦即 是的一个原函数 . 证:连续函数必有原函数. ????2.? Newton — Leibniz 公式： ????定理 2? （ N — L公式 ）( 证 ) ????例1? ⅰ>? ;?? ⅱ>? ; ???? 例2?? . 例3? .??? ( 与§1 例3 联系 ) 例4?? 设 ???但， 证明 ?>0.?? ????证明分析:? 证明? . 设 ?, 只要证明? . 为此证明: ⅰ）↗ ( 只要)； ⅱ） 但 不是常值函数?? (只要), ⅲ） 又 .??? ( 证 ) ?例5? 证明 ?????( 利用[0,1]上的不等式? ) ??? 二．?定积分换元法： ? 定理3?? 设?函数满足条件： ?? ?ⅰ>? , 且 ; ??? ⅱ>? 在上有连续的导函数. 则??? .??? （ 证 ） ? ??例6 ????.??? (? [1]P305 E4 ) ?? ?例7? .??? (? [1]P305 E5 ) 例8?? 计算 .?该例为技巧积分. 例9?? .??? ???该例亦为技巧积分. 例10? 已知 ?,? 求  例11? 设函数连续且有?求积分 ???????? ??????????????? ?例12 ?设是区间上连续的奇（或偶函数）函数，则 ???????????? ， （?. ） 例13?  三.? 分部积分公式: ??? 定理4? ( 分部积分公式 ) ????例14?  ??? 例15? 计算? . ? ??解?? =  ?????????? ； 解得? ??直接求得 ， .? 于是,? 当为偶数时,? 有? ? ; 当为奇数时,? 有? . ? ??习??? 题??? 课 ???? 一． 积分不等式： ????1． 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： ????例1?? 证明不等式 . 证?? 注意在区间 [ 0 , 1 ]上有 ?,? ??…… ??? 例2?? 证明不等式 . ??? 证?? 考虑函数, . 易见对任何,? 在区间 上和均单调, 因此可积,且有 ?, 注意到?? ??, 就有? .? 而 ???????? ?????????????????, ??????? ?????????????????. 因此有 ??????????. 取??????????????? , .? 在区间?仿以上讨论, 有? .? 而 ?????? ?????????， ? . 综上 ,? 有不等式? ? . ?某些不等式的积分推广: ?原理: ?设函数和在区间 上可积.? 为区间 的等分分法,? . 若对任何和,? 均有 ??????? ?????????????????????????, 即得??????????????????????? . 令,?? 注意到函数和在区间 上可积, 即得积分不等式 ????????????????? ???????????????. 倘若函数和连续 ,? 还可由 ??? . ????例3? 证明 Schwarz 不等式 ( 亦称为 Cauchy–Буняковский不等式 ):? 设函数 和在区间 上连续 ( 其实只要可积就可 ).? 则有不等式 ?????????? ????????????. 证法一?? (? 由Cauchy 不等式 ?Schwarz 不等式 . ?Cauchy 不等式参阅 [1]??? 设 和为两组实数,? 则有 ????????????? .?? ) ?? 设为区间 的等分分法.? 由Cauchy 不等式 ,? 有 ?????????????? , 两端同乘以 ,? 有  ???? , ?令, 注意到函数、和在区间 上的可积性 以及函数的连续性，就有积分不等式 ???????????????? . 证法二??? （ 用判别式法 ） 对任何实数，有 ， ???????????? ?, 即 ??????????? ?对任何实数成立. ?即上述关于的二次不等式的解集为全体实数,? 于是就有 ???????????? , 即??????? . ? ??例4? ?且 . 证明不等式 ?????????? . 证?? 取?. 对函数 和应用Schwarz 不等式,? 即得所证 . 例5?? 设函数在区间 [ 0 , 1 ]上可积 .? 试证明有不等式 ??????????????????? . 证?? 先用Jensen不等式法证明不等式 :? 对 , 有不等式 ?????? .?? 设为区间 的等分分法.? 由上述不等式 ,? 有 ????????? . ?? 令, 注意到函数和在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以及函数 和的连续性，就有积分不等式 ???????????? . 仿该例, 可得到均值不等式、 ??? 二.?? 面积函数的导数 : ? 例6?? 求 ?和  例7?? 求和  例8?? 求 ?. 例9?? 设 时函数连续且 .? 求.? (=?) 例10? 设函数连续且 . 求和?. 解?? 令?.? 两端求导, ??= . ? ?例11?? 设.?? =.?? 试证明 : ????????????????????????? =. 证?? =,?  ?? ??=. ?? 例12? 设函数在区间上连续且>0.? ?. 试证明:? 函数在区间内严格递增. 证?? = ,?? 而 . >0 ,? 在内 ，又连续 ，? ?? ，?在区间内>0 . 因此在区间内严格递增.? ?? 三.? 含有变限积分的未定型极限: 例13????????? 求极限 .??????????????????? 四.? 定积分的计算 : ????? 例 14? 计算积分 . ????? 例15? 计算积分=?. 解? ?时,? =?; ??? 时,? =?; ??? 时,? =?. 因此,??  ?????例16?? 利用积分 的值 ( 参阅§4例15 或[1]P306 E8 ), 计算积分 ?. 解??  ??????? . ???? , 而?? ?,? ?. 因此，  ?? ?例17? ?,? 求 ???????????( 2?)????? [4]P215 E62 ??? 例18? 设是区间 上连续的偶函数 .? 试证明 : ?是 上的奇函数 . 证法 一? . 证法 二? 注意到 ,? 有 ?????? ==. ??? 五.? ?利用定积分求和式极限 :?? ?原理:?? ?????例19?? 求极限 .?? [3] P163 E13 .?? 与§1例2连系. 例20?? 求极限. 解?? ==?. 由函数 ?在区间 [ 0 , 1 ]上可积 ,? 有 =. ???. ???例21? 求极限.???? [3]P167 E19 解?? ==. ???? ?, ???? ?. 因此 ,?? ?. ?? 例22? 试证明: 对任何, 有不等式?< ?. 证?? =?是函数=在区间[ 0 , 1 ] 上相应于等分分法的小和. 由函数=在区间[ 0 , 1 ]上可积,? 有 时,? ↗. 又易见↗↗.??  对任何,? 有< ,? 即?? ?< ?.