1
§ 4定积分性质
一、定积分的基本性质
上也可积，且在上可积，则在、若（线性性质）性质 ],[],[1 bagfbagf ?? ?
2 [,], [,]
3 [,] (,),[,] [,],
f g a b f g a b
f a b c a b f a c c b
??
? ? ?
其中：, 是常数
证
性质 若, 在 上可积，则 在 上也可积。
证
性质 在 上可积 在 与 上可积 此时又有
2
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x d x f x d x f x d x??? ? ?
等式
证
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若性）：（积分关于函数的单调推论
上可积且非负，则：在若性质
是任意的大小顺序、、这里的
则：
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形
的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性
曲边梯形面积的公式的几何意义就是时，性质
可加性。当及其公式称为积分区间）性质
说明：性质
(.)()(],,[),()(
],[
.0)(],[4
.
)()()(
][][
.)()(,0)(2
.
.
3
031
3
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???
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????
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b
a
b
a
b
a
b
c
c
a
b
a
a
b
b
a
a
a
dxxgdxxfbaxxgxf
bagf
dxxfbaf
cba
dxxfdxxfdxxf
BAcbaBAf
dxxfdxxfdxxf
C c b BA a c C
A a b B
f
a b
A
C B
c
x
y
o
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调
上可积且非负，则：在若
是任意的大小顺序、、这里的
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形
的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性
曲边梯形面积的公式的几何意义就是
可加性。当及其公式称为积分区间
说明：
x
y
o
a c b
BC
A
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调
上可积且非负，则：在若
是任意的大小顺序、、这里的
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形
的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性
曲边梯形面积的公式的几何意义就是
可加性。当及其公式称为积分区间
说明：
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调
上可积且非负，则：在若
是任意的大小顺序、、这里的
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形
的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性
曲边梯形面积的公式的几何意义就是
可加性。当及其公式称为积分区间
说明：
3
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若性）：（积分关于函数的单调推论
上可积且非负，则：在若性质
是任意的大小顺序、、这里的
则：
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形
的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性
曲边梯形面积的公式的几何意义就是时，性质
可加性。当及其公式称为积分区间）性质
说明：性质
(.)()(],,[),()(
],[
.0)(],[4
.
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3
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b
a
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b
a
b
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dxxfdxxfdxxf
C c b BA a c C
A a b B
f
a b
A
C B
c
x
y
o
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调
上可积且非负，则：在若
是任意的大小顺序、、这里的
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形
的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性
曲边梯形面积的公式的几何意义就是
可加性。当及其公式称为积分区间
说明：
利用性质 4可得一个重要的结论：即对 积分值大小的基本估计
方法
4
可积。
上它在上不可积，但因在
不成立，例如：这个性质的逆命题一般注意：
证
上一定可积，且在上可积，则在若（绝对可积性）性质
上的最大与最小值。在自然为与时，
上连续在地，当上的上、下确界，特别在分别为与其中：
]1,0[,1)(]1,0[,
,1
,1
)(
.)()(
],[],[5
],[
],[],[
).()()(
?
?
?
?
???
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xf
QRx
Qx
xf
dxxfdxxf
bafbaf
bafmM
bafbafmM
abMdxxfabm
b
a
b
a
b
a
5
1
1
1
1
1 ( ),
2 1,1 0,
()
,0 1.
1
2 [ 1,1 ]
( ) 1 1 ( )
x
f x dx
xx
fx
ex
f x dx F F F x
?
?
?
? ? ? ??
?
?
??
?
?
? ? ?
?
?
例 求 其中
思考题：
）、对于分段函数的定积分，为什么可采用积分区间的可加性
来计算？
）、如果要求直接在 上使用牛顿—莱布尼茨公式来计算
（） （ ），这时 应取怎样的函数？
6
00
2 ( ) [,] ( ) 0 ( ) 0,
( ) 0,
[,] ( ) 0,( ) 0,
b
a
b
a
f x a b f x f x d x
fx
f
x a b f x f x d x
??
?
? ? ?
?
?
例 证明：若 在 上连续，且,
则
证明（用反证法）
从此例可知，即使 为一非负可积函数，只要它在某点
上连续，且 则
7
9,7 ( [,]
[,] ( ) ( ) ( ),
[,] ( ) [,]
()
1
[,], ( )
( ) [,]
b
a
b
a
f a b
a b f x d x f b a
f a b y f x a b
f
a b f x d x
ba
f x a b
??
?
? ? ?
?
?
?
?
二、积分中值定理
定理 积分第一中值定理）若 在 上连续，则至少存在一
点,使得：
证
定理的几何意义：
若 在 上非负连续，则 在
上曲边梯形的面积等于右图所示的 为
高,为底的矩形面积而
则可理解为 在 上所有函数值的平
均值。这通常是有限数的算术平均数的
推广 。
x
y Y=f(x)
?
0
8
1
1
lim2.0s i nlim1
).,2
8.97.9.7.91)(1
)()()()(
],,[],[
)(],[(8.9
1
2
0
2
2
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?
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?
?
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????
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dxe
x
x
ba
xg
dxxgfdxxgxf
baba
xgbagf
x
nn
n
n
n
n
b
a
b
a
）、）、
证明下列极限：例题：
（可进一步证明指出：）、
的特殊情形。是定理即定理时，即为定理）、当
说明：
证
使得：一点上不变号，则至少存在在
上连续，且都在与若理）推广的积分第一中值定定理
?
?
?
?
§ 4定积分性质
一、定积分的基本性质
上也可积，且在上可积，则在、若（线性性质）性质 ],[],[1 bagfbagf ?? ?
2 [,], [,]
3 [,] (,),[,] [,],
f g a b f g a b
f a b c a b f a c c b
??
? ? ?
其中：, 是常数
证
性质 若, 在 上可积，则 在 上也可积。
证
性质 在 上可积 在 与 上可积 此时又有
2
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x d x f x d x f x d x??? ? ?
等式
证
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若性）：（积分关于函数的单调推论
上可积且非负，则：在若性质
是任意的大小顺序、、这里的
则：
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形
的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性
曲边梯形面积的公式的几何意义就是时，性质
可加性。当及其公式称为积分区间）性质
说明：性质
(.)()(],,[),()(
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a
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dxxfbaf
cba
dxxfdxxfdxxf
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C c b BA a c C
A a b B
f
a b
A
C B
c
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y
o
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调
上可积且非负，则：在若
是任意的大小顺序、、这里的
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形
的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性
曲边梯形面积的公式的几何意义就是
可加性。当及其公式称为积分区间
说明：
x
y
o
a c b
BC
A
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调
上可积且非负，则：在若
是任意的大小顺序、、这里的
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形
的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性
曲边梯形面积的公式的几何意义就是
可加性。当及其公式称为积分区间
说明：
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调
上可积且非负，则：在若
是任意的大小顺序、、这里的
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形
的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性
曲边梯形面积的公式的几何意义就是
可加性。当及其公式称为积分区间
说明：
3
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若性）：（积分关于函数的单调推论
上可积且非负，则：在若性质
是任意的大小顺序、、这里的
则：
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形
的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性
曲边梯形面积的公式的几何意义就是时，性质
可加性。当及其公式称为积分区间）性质
说明：性质
(.)()(],,[),()(
],[
.0)(],[4
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)()()(
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C c b BA a c C
A a b B
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A
C B
c
x
y
o
反之确否？）则有：
上的可积函数，且为、若（积分关于函数的单调
上可积且非负，则：在若
是任意的大小顺序、、这里的
，，、、上可积，且，在推论：若
）、若规定：
的面积的面积与于曲边梯形
的面积等如右图所示：曲边梯形的可加性
曲边梯形面积的公式的几何意义就是
可加性。当及其公式称为积分区间
说明：
利用性质 4可得一个重要的结论：即对 积分值大小的基本估计
方法
4
可积。
上它在上不可积，但因在
不成立，例如：这个性质的逆命题一般注意：
证
上一定可积，且在上可积，则在若（绝对可积性）性质
上的最大与最小值。在自然为与时，
上连续在地，当上的上、下确界，特别在分别为与其中：
]1,0[,1)(]1,0[,
,1
,1
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）、对于分段函数的定积分，为什么可采用积分区间的可加性
来计算？
）、如果要求直接在 上使用牛顿—莱布尼茨公式来计算
（） （ ），这时 应取怎样的函数？
6
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[,] ( ) 0,( ) 0,
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例 证明：若 在 上连续，且,
则
证明（用反证法）
从此例可知，即使 为一非负可积函数，只要它在某点
上连续，且 则
7
9,7 ( [,]
[,] ( ) ( ) ( ),
[,] ( ) [,]
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f a b y f x a b
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二、积分中值定理
定理 积分第一中值定理）若 在 上连续，则至少存在一
点,使得：
证
定理的几何意义：
若 在 上非负连续，则 在
上曲边梯形的面积等于右图所示的 为
高,为底的矩形面积而
则可理解为 在 上所有函数值的平
均值。这通常是有限数的算术平均数的
推广 。
x
y Y=f(x)
?
0
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1
1
lim2.0s i nlim1
).,2
8.97.9.7.91)(1
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）、）、
证明下列极限：例题：
（可进一步证明指出：）、
的特殊情形。是定理即定理时，即为定理）、当
说明：
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使得：一点上不变号，则至少存在在
上连续，且都在与若理）推广的积分第一中值定定理
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