§ 2? 实数基本定理等价性的证明 证明若干个命题等价的一般方法. 本节证明七个实数基本定理等价性的路线 :? 证明按以下三条路线进行: Ⅰ: 确界原理 ?单调有界原理 ?区间套定理 ?Cauchy收敛准则  确界原理 ; Ⅱ:? 区间套定理 ?致密性定理 ?Cauchy收敛准则 ; Ⅲ:? 区间套定理 ?Heine–Borel 有限复盖定理 ?区间套定理 . 一.? “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 ?单调有界原理”已证明过 ). 1.??用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理 1 单调有界数列必收敛 . 2.? 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 定理 2? 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有. 推论1? ??若是区间套确定的公共点, 则对,?  当时,? 总有. 推论2?? 若是区间套确定的公共点,?? 则有 ↗, ↘, . 3.? 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”: 定理 3? 数列收敛 ?是Cauchy列. 引理? Cauchy列是有界列.?? ( 证 ) 定理 4 的证明: ( 只证充分性 )? 教科书P217—218上的证明留作阅读 .? 现采用三等分的方法证明, ?该证法比较直观. 4．??用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ： 定理5?? 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 证?（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 .? 当为有限集时 , 显然有上确 界 .下设为无限集,? 取不是的上界,? 为的上界.? 对分区间 , 取 , 使不是 的上界,? 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则, 收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗. 下证 .用反证法验证的上界性和最小性. 二.? “Ⅱ” 的证明: 1.?????? 用“区间套定理”证明“致密性定理”: 定理6? (? Weierstrass? )? 任一有界数列必有收敛子列. 证?? （ 突出子列抽取技巧 ） 定理7? 每一个有界无穷点集必有聚点. 2．用“致密性定理” 证明“Cauchy收敛准则” ： 定理8? 数列收敛 ?是Cauchy列. 证?? （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy列有界?有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限. “Ⅲ” 的证明: 1.? 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”: 2.??用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”: