第三节
复习 目录 上页 下页 返回 结束
一、空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
多元函数微分学的几何应用
第十八章
复习, 平面曲线的切线与法线
已知平面光滑曲线 ),( 00 yx
切线方程 0yy ?
法线方程 0yy ?
若平面光滑曲线方程为 ),(
),(
d
d
yxF
yxF
x
y
y
x??
故在点
切线方程
法线方程
)( 0yy ? ),( 00 yxF y? )(),( 000 xxyxF x ?0?
))(( 00 xxxf ??? )(
)(
1
0
0
xxxf ????
在点 有
有
因
0)(),( 000 ??? yyyxF x),( 00 yxF y )( 0xx ?
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一,空间曲线的切线与法平面
过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的 法
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位置,
?T
M
?
空间光滑曲线在点 M 处的 切线 为此点处割线的极限
平面,
点击图中任意点动画开始或暂停
1,曲线方程为参数方程的情况
切线方程
000 zzyyxx ?????
),,( 0000 zyxMtt 对应设 ?
),,( 0000 zzyyxxMttt ?????????? 对应
)( 0t?? )( 0t?? )( 0t??
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T
M ?
:的方程割线 MM ?
))(( 00 xxt ???
此处要求 )(,)(,)( 000 ttt ??? ???
也是法平面的法向量,
切线的方向向量,
称为曲线的 切向量,
)()( 00 yyt ??? ? 0))(( 00 ???? zzt?
如个别为 0,则理解为分子为 0,
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? ?M不全为 0,
))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????
因此得 法平面方程
说明, 若引进向量函数 ))(,)(,)(()( ttttr ????,则 ?
为 r (t) 的矢端曲线,0t而在 处的导向量
))(,)(,)(()( 0000 ttttr ??? ?????
就是该点的切向量,
o
)(tr
T
z
yx
o
例 1,求圆柱螺旋线
对应点处的切线方程和法平面方程,
切线方程 ?? R
x
法平面方程 xR?
022 ??? kzkxR ?即
??
?
??
???
0
02
Ry
kRzRxk ?
即
解, 由于
0
Ry ?
k
kz 2??? ),,0( 20 kRM ?对应的切向量为
0)( 2 ??? kzk ?
在
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),0,( kRT ??,故
2,曲线为一般式的情况
光滑曲线 ??
?
?
??
0),,(
0),,(:
zyxG
zyxF
当 0),(
),( ?
?
??
zy
GFJ
?xydd
曲线上一点 ),,(
000 zyxM
,且有
?xzdd,),( ),(1 xz GFJ ??,),( ),(1 yx GFJ ??
时,? 可表示为
处的切向量为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
MM yx
GF
Jxz
GF
J ),(
),(1,
),(
),(1,1
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? ?)(,)(,1 00 xxT ?? ???
000 zzyyxx ?????
Mzy
GF
),(
),(
?
?
则在点 ),,( 000 zyxM
切线方程
法平面方程
有
Mzy
GF
),(
),(
?
?
Mxz
GF
),(
),(
?
?
Myx
GF
),(
),(
?
?
)( 0xx ?
Myx
GF
),(
),(
?
?? Mxz
GF
),(
),(
?
??
)( 0yy ?
0)( 0 ?? zz
或
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
MMM yx
GF
xz
GF
zy
GFT
),(
),(,
),(
),(,
),(
),(
0
)()()(
)()()(
000
?
???
MGMGMG
MFMFMF
zzyyxx
zyx
zyx
也可表为
)(),( ),()(),( ),( 00 yyMxz GFxxMzy GF ???????
法平面方程
0)(),( ),( 0 ????? zzMyx GF
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例 2,求曲线 0,6222 ?????? zyxzyx 在点
M ( 1,–2,1) 处的切线方程与法平面方程,
Mzy
GF
),(
),(
?
?
切线方程
解法 1 令 则
即 ??
?
??
???
02
02
y
zx切向量
M
zy
11
22?
M
zy )(2 ?? ;6??
x
y z
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)6,0,6( ??T
法平面方程 0)1(6)2(0)1(6 ?????????? zyx
即 0?? zx
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解法 2,方程组两边对 x 求导,得
11
11
d
d
zy
xy
x
z ?
?
?
11
d
d
zyx
y
?
曲线在点 M(1,–2,1) 处有,
切向量
解得
11?
? zx
,zy xz ??? zy yx ???
)1,0,1( ?? ??
??
?
??
MM x
z
x
yT
d
d,
d
d,1
切线方程
即
法平面方程 0)1()1()2(0)1(1 ?????????? zyx
即 0?? zx
点 M (1,–2,1) 处的 切向量
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)1,0,1( ??T
二,曲面的切平面与法线
设 有 光滑曲面
通过其上定点
0tt ?设 对应点 M,
切线方程为 )()()( 0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
??? ?
??
?
??
?
?
不全为 0, 则 ? 在
且
点 M 的 切向量 为
任意 引一条光滑曲线
M
?
T
下面证明,
此平面称为 ? 在该点的 切平面,
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? 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都
在同一平面上,
))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????
M
?
T证,
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在 ? 上,
0))(,)(,)(( ?? tttF ???
,0 处求导两边在 tt ?,0 Mtt 对应点注意 ?
)( 0t?? 0?
),,( 000 zyxF x ),,( 000 zyxF y?
),,( 000 zyxF z?
)( 0t?? )( 0t??得
))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????
)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?
令
nT ?切向量
由于曲线 ? 的任意性,表明这些切线都在以 为法向量
的平面上,从而切平面存在,
)(),,( 0000 xxzyxF x ?
曲面 ? 在点 M 的 法向量
法线方程 000 zzyyxx ?????
)(),,( 0000 yyzyxF y ??
0))(,,( 0000 ??? zzzyxF z
切平面方程
),,( 000 zyxF x ),,( 000 zyxF y ),,( 000 zyxF z
M
?
T
)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?
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)(),( 000 xxyxf x ?
曲面
时,
zyxfzyxF ?? ),(),,(
则在点 ),,,( zyx
故当函数 ),( 00 yx
法线方程
令
有在点 ),,( 000 zyx?
特别,当光滑曲面 ? 的方程为显式
在点 有连续偏导数时,
)(),( 000 yyyxf y ???? 0zz
切平面方程
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法向量
用
将 ),(,),( 0000 yxfyxf yx,,yx ff
法向量的 方向余弦,
表示法向量的方向角,并假定法向量方向
分别记为 则
向上,
)1,),(,),(( 0000 yxfyxfn yx ???
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例 3,求球面 3632 222 ??? zyx 在点 (1,2,3) 处的切
平面及法线方程,
解,
所以球面在点 (1,2,3) 处有,
切平面方程 )1(2 ?x
即
法线方程
321 ????? zyx
)2(8 ?? y 0)3(18 ??? z
1 4 9
法向量
令
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)6,4,2( zyxn ?
)18,8,2()3,2,1( ?n
例 4,确定正数 ? 使曲面 ??zyx
在点 ),,( 000 zyxM
解, 二曲面在 M 点的法向量分别为
二曲面在点 M 相切,故
0
00
0
00
0
00
z
yx
y
zx
x
zy ??
0x
又点 M 在球面上,
于是有 000 zyx??
相切,
33
3a
?
与球面
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),,( 0002 zyxn ?
21 // nn,因此有
2 0y2 0z2
1,空间曲线的切线与法平面
切线方程
000 zzyyxx ?????
法平面方程
))(( 00 xxt ???
1) 参数式情况, ?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
:
tz
ty
tx
?
?
?
空间光滑曲线
切向量
内容小结
)( 0t?? )( 0t?? )( 0t??
)()( 00 yyt ??? ? 0))(( 00 ???? zzt?
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))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????
切线方程
法平面方程
MMM yx
GF
zz
xz
GF
yy
zy
GF
xx
),(
),(
),(
),(
),(
),(
000
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?空间光滑曲线 ??
?
?
??
0),,(
0),,(:
zyxG
zyxF
Mzy
GF
),(
),(
?
?
切向量
2) 一般式情况,
,),( ),(
Mzy
GF
?
?,
),(
),(
Mxz
GF
?
?
Myx
GF
),(
),(
?
? ?
?
?
)( 0xx ? Mxz
GF
),(
),(
?
??
)( 0yy ?
Myx
GF
),(
),(
?
??
0)( 0 ?? zz
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????T
空间光滑曲面
曲面 ? 在点
法线方程
),,( 000
0
zyxF
xx
x
?
),,( 000
0
zyxF
yy
y
??
),,( 000
0
zyxF
zz
z
??
)(),,()(),,( 00000000 yyzyxFxxzyxF yx ???
1) 隐式情况,
的 法向量
0))(,,( 0000 ??? zzzyxF z
切平面方程
2,曲面的切平面与法线
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)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?
空间光滑曲面
)(),()(),( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ?????
切平面方程
法线方程 1),(),(
0
00
0
00
0
?
????? zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
,
1
c o s,
1
c o s 2222
yx
y
yx
x
ff
f
ff
f
??
?
?
??
?? ??
2) 显式情况,
法线的 方向余弦
221
1c o s
yx ff ??
??
法向量
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)1,,( yx ffn ???
思考与练习
1,如果平面 与椭球面
相切,
提示, 设切点为 则 000 226 zyx
??
3?
2???
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(二法向量平行 )
(切点在平面上 )
(切点在椭球面上 )
证明 曲面 上任一点处的
切平面都通过原点,
提示, 在曲面上任意取一点 则通过此
?? 0zz
作业
P45 2,3,4,5,8,9,10
)( 0xxxz
M
??? )( 0yyyz
M
????
2,设 f ( u ) 可微,
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证明原点坐标满足上述方程,
点的切平面为
1,证明曲面 0),( ??? ynzymxF
与定直线平行,.),( 可微其中 vuF
证, 曲面上任一点的法向量
,1F?,)()( 21 nFmF ??????? )2F?
取定直线的方向向量为,m,1 )n
则
(定向量 )
故结论成立,
的所有切平面恒
备用题
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(?n
(?l
,0??nl
2,求曲线 ??
?
????
????
04532
03222
zyx
xzyx
在点 (1,1,1) 的切线
解, 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
)2,2,1(??
因此切线的方向向量为 )1,9,16( ??
由此得切线,
111 ????? zyx
16 9 1?
法平面, 0)1()1(9)1(16 ?????? zyx
024916 ???? zyx即
与法平面,
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)1,1,1(1 )2,2,32( zyxn ??
)5,3,2(2 ??n
21 nnl ??
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一、空间曲线的切线与法平面
二、曲面的切平面与法线
多元函数微分学的几何应用
第十八章
复习, 平面曲线的切线与法线
已知平面光滑曲线 ),( 00 yx
切线方程 0yy ?
法线方程 0yy ?
若平面光滑曲线方程为 ),(
),(
d
d
yxF
yxF
x
y
y
x??
故在点
切线方程
法线方程
)( 0yy ? ),( 00 yxF y? )(),( 000 xxyxF x ?0?
))(( 00 xxxf ??? )(
)(
1
0
0
xxxf ????
在点 有
有
因
0)(),( 000 ??? yyyxF x),( 00 yxF y )( 0xx ?
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一,空间曲线的切线与法平面
过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的 法
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位置,
?T
M
?
空间光滑曲线在点 M 处的 切线 为此点处割线的极限
平面,
点击图中任意点动画开始或暂停
1,曲线方程为参数方程的情况
切线方程
000 zzyyxx ?????
),,( 0000 zyxMtt 对应设 ?
),,( 0000 zzyyxxMttt ?????????? 对应
)( 0t?? )( 0t?? )( 0t??
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T
M ?
:的方程割线 MM ?
))(( 00 xxt ???
此处要求 )(,)(,)( 000 ttt ??? ???
也是法平面的法向量,
切线的方向向量,
称为曲线的 切向量,
)()( 00 yyt ??? ? 0))(( 00 ???? zzt?
如个别为 0,则理解为分子为 0,
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? ?M不全为 0,
))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????
因此得 法平面方程
说明, 若引进向量函数 ))(,)(,)(()( ttttr ????,则 ?
为 r (t) 的矢端曲线,0t而在 处的导向量
))(,)(,)(()( 0000 ttttr ??? ?????
就是该点的切向量,
o
)(tr
T
z
yx
o
例 1,求圆柱螺旋线
对应点处的切线方程和法平面方程,
切线方程 ?? R
x
法平面方程 xR?
022 ??? kzkxR ?即
??
?
??
???
0
02
Ry
kRzRxk ?
即
解, 由于
0
Ry ?
k
kz 2??? ),,0( 20 kRM ?对应的切向量为
0)( 2 ??? kzk ?
在
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),0,( kRT ??,故
2,曲线为一般式的情况
光滑曲线 ??
?
?
??
0),,(
0),,(:
zyxG
zyxF
当 0),(
),( ?
?
??
zy
GFJ
?xydd
曲线上一点 ),,(
000 zyxM
,且有
?xzdd,),( ),(1 xz GFJ ??,),( ),(1 yx GFJ ??
时,? 可表示为
处的切向量为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
MM yx
GF
Jxz
GF
J ),(
),(1,
),(
),(1,1
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? ?)(,)(,1 00 xxT ?? ???
000 zzyyxx ?????
Mzy
GF
),(
),(
?
?
则在点 ),,( 000 zyxM
切线方程
法平面方程
有
Mzy
GF
),(
),(
?
?
Mxz
GF
),(
),(
?
?
Myx
GF
),(
),(
?
?
)( 0xx ?
Myx
GF
),(
),(
?
?? Mxz
GF
),(
),(
?
??
)( 0yy ?
0)( 0 ?? zz
或
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
MMM yx
GF
xz
GF
zy
GFT
),(
),(,
),(
),(,
),(
),(
0
)()()(
)()()(
000
?
???
MGMGMG
MFMFMF
zzyyxx
zyx
zyx
也可表为
)(),( ),()(),( ),( 00 yyMxz GFxxMzy GF ???????
法平面方程
0)(),( ),( 0 ????? zzMyx GF
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例 2,求曲线 0,6222 ?????? zyxzyx 在点
M ( 1,–2,1) 处的切线方程与法平面方程,
Mzy
GF
),(
),(
?
?
切线方程
解法 1 令 则
即 ??
?
??
???
02
02
y
zx切向量
M
zy
11
22?
M
zy )(2 ?? ;6??
x
y z
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)6,0,6( ??T
法平面方程 0)1(6)2(0)1(6 ?????????? zyx
即 0?? zx
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解法 2,方程组两边对 x 求导,得
11
11
d
d
zy
xy
x
z ?
?
?
11
d
d
zyx
y
?
曲线在点 M(1,–2,1) 处有,
切向量
解得
11?
? zx
,zy xz ??? zy yx ???
)1,0,1( ?? ??
??
?
??
MM x
z
x
yT
d
d,
d
d,1
切线方程
即
法平面方程 0)1()1()2(0)1(1 ?????????? zyx
即 0?? zx
点 M (1,–2,1) 处的 切向量
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)1,0,1( ??T
二,曲面的切平面与法线
设 有 光滑曲面
通过其上定点
0tt ?设 对应点 M,
切线方程为 )()()( 0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
??? ?
??
?
??
?
?
不全为 0, 则 ? 在
且
点 M 的 切向量 为
任意 引一条光滑曲线
M
?
T
下面证明,
此平面称为 ? 在该点的 切平面,
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? 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都
在同一平面上,
))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????
M
?
T证,
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在 ? 上,
0))(,)(,)(( ?? tttF ???
,0 处求导两边在 tt ?,0 Mtt 对应点注意 ?
)( 0t?? 0?
),,( 000 zyxF x ),,( 000 zyxF y?
),,( 000 zyxF z?
)( 0t?? )( 0t??得
))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????
)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?
令
nT ?切向量
由于曲线 ? 的任意性,表明这些切线都在以 为法向量
的平面上,从而切平面存在,
)(),,( 0000 xxzyxF x ?
曲面 ? 在点 M 的 法向量
法线方程 000 zzyyxx ?????
)(),,( 0000 yyzyxF y ??
0))(,,( 0000 ??? zzzyxF z
切平面方程
),,( 000 zyxF x ),,( 000 zyxF y ),,( 000 zyxF z
M
?
T
)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?
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)(),( 000 xxyxf x ?
曲面
时,
zyxfzyxF ?? ),(),,(
则在点 ),,,( zyx
故当函数 ),( 00 yx
法线方程
令
有在点 ),,( 000 zyx?
特别,当光滑曲面 ? 的方程为显式
在点 有连续偏导数时,
)(),( 000 yyyxf y ???? 0zz
切平面方程
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法向量
用
将 ),(,),( 0000 yxfyxf yx,,yx ff
法向量的 方向余弦,
表示法向量的方向角,并假定法向量方向
分别记为 则
向上,
)1,),(,),(( 0000 yxfyxfn yx ???
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例 3,求球面 3632 222 ??? zyx 在点 (1,2,3) 处的切
平面及法线方程,
解,
所以球面在点 (1,2,3) 处有,
切平面方程 )1(2 ?x
即
法线方程
321 ????? zyx
)2(8 ?? y 0)3(18 ??? z
1 4 9
法向量
令
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)6,4,2( zyxn ?
)18,8,2()3,2,1( ?n
例 4,确定正数 ? 使曲面 ??zyx
在点 ),,( 000 zyxM
解, 二曲面在 M 点的法向量分别为
二曲面在点 M 相切,故
0
00
0
00
0
00
z
yx
y
zx
x
zy ??
0x
又点 M 在球面上,
于是有 000 zyx??
相切,
33
3a
?
与球面
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),,( 0002 zyxn ?
21 // nn,因此有
2 0y2 0z2
1,空间曲线的切线与法平面
切线方程
000 zzyyxx ?????
法平面方程
))(( 00 xxt ???
1) 参数式情况, ?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
:
tz
ty
tx
?
?
?
空间光滑曲线
切向量
内容小结
)( 0t?? )( 0t?? )( 0t??
)()( 00 yyt ??? ? 0))(( 00 ???? zzt?
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))(,)(,)(( 000 tttT ??? ????
切线方程
法平面方程
MMM yx
GF
zz
xz
GF
yy
zy
GF
xx
),(
),(
),(
),(
),(
),(
000
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?空间光滑曲线 ??
?
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??
0),,(
0),,(:
zyxG
zyxF
Mzy
GF
),(
),(
?
?
切向量
2) 一般式情况,
,),( ),(
Mzy
GF
?
?,
),(
),(
Mxz
GF
?
?
Myx
GF
),(
),(
?
? ?
?
?
)( 0xx ? Mxz
GF
),(
),(
?
??
)( 0yy ?
Myx
GF
),(
),(
?
??
0)( 0 ?? zz
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????T
空间光滑曲面
曲面 ? 在点
法线方程
),,( 000
0
zyxF
xx
x
?
),,( 000
0
zyxF
yy
y
??
),,( 000
0
zyxF
zz
z
??
)(),,()(),,( 00000000 yyzyxFxxzyxF yx ???
1) 隐式情况,
的 法向量
0))(,,( 0000 ??? zzzyxF z
切平面方程
2,曲面的切平面与法线
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)),,(,),,(,),,(( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx?
空间光滑曲面
)(),()(),( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ?????
切平面方程
法线方程 1),(),(
0
00
0
00
0
?
????? zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
,
1
c o s,
1
c o s 2222
yx
y
yx
x
ff
f
ff
f
??
?
?
??
?? ??
2) 显式情况,
法线的 方向余弦
221
1c o s
yx ff ??
??
法向量
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)1,,( yx ffn ???
思考与练习
1,如果平面 与椭球面
相切,
提示, 设切点为 则 000 226 zyx
??
3?
2???
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(二法向量平行 )
(切点在平面上 )
(切点在椭球面上 )
证明 曲面 上任一点处的
切平面都通过原点,
提示, 在曲面上任意取一点 则通过此
?? 0zz
作业
P45 2,3,4,5,8,9,10
)( 0xxxz
M
??? )( 0yyyz
M
????
2,设 f ( u ) 可微,
第七节 目录 上页 下页 返回 结束
证明原点坐标满足上述方程,
点的切平面为
1,证明曲面 0),( ??? ynzymxF
与定直线平行,.),( 可微其中 vuF
证, 曲面上任一点的法向量
,1F?,)()( 21 nFmF ??????? )2F?
取定直线的方向向量为,m,1 )n
则
(定向量 )
故结论成立,
的所有切平面恒
备用题
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(?n
(?l
,0??nl
2,求曲线 ??
?
????
????
04532
03222
zyx
xzyx
在点 (1,1,1) 的切线
解, 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
)2,2,1(??
因此切线的方向向量为 )1,9,16( ??
由此得切线,
111 ????? zyx
16 9 1?
法平面, 0)1()1(9)1(16 ?????? zyx
024916 ???? zyx即
与法平面,
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)1,1,1(1 )2,2,32( zyxn ??
)5,3,2(2 ??n
21 nnl ??
