第二节 以 2L为周期的函数的展开
? 一 以 2l为周期的函数的傅立叶级数
? 二 偶函数与奇函数的傅立叶级数
? 三 典型例题分析
? 四 小结
一、以 2L为周期 的傅氏级数
,2 lT ??,2 lT ??????
定理
式为则它的傅里叶级数展开定理的条件
满足收敛的周期函数设周期为
,
)(2 xfl
),s i nc o s(2)(
1
0
l
xnb
l
xnaaxf
n
n
n
????? ??
?
)s i nc o s(2
1
0 xnbxnaa
n
n
n ???? ?
?
?
代入傅氏级数中
为其中系数 nn ba,
),2,1,0(,c o s)(1 ???? ?? ndxl xnxfla l ln
),2,1(,s i n)(1 ???? ?? ndxl xnxflb l ln
二 偶函数与奇函数的傅立叶级数
,)()1( 为奇函数如果 xf则有
,s i n)(
1
??
?
??
n
n l
xnbxf
,s i n)(2 0 dxl xnxflbb lnn ? ??为其中系数 ),2,1( ??n
,)()2( 为偶函数如果 xf则有
,c o s2)(
1
0 ?
?
?
???
n
n l
xnaaxf
dxl xnxflaa lnn ? ?? 0 co s)(2为其中系数
),2,1,0( ??n
证明,lxz ??令 lxl ???,?????? z
),()()( zFlzfxf ???设,2)( 为周期以 ?zF
),s i nc o s(2)(
1
0 nzbnzaazF
n
n
n ??? ?
?
?
)s i nc o s(2)(
1
0 x
l
nbx
l
naaxf
n
n
n
????? ??
?
.s i n)(
1
,c o s)(
1
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
n z d zzFb
n z d zzFa
n
n其中
.s i n)(
1
,c o s)(
1
?
?
?
?
?
?
?
?
l
l
n
l
l
n
x d x
l
n
xf
l
b
x d x
l
n
xf
l
a其中
)()( xfzFlxz ????
定义
如果 )( xf 为奇函数,傅氏级数 nxb
n
n s i n
1
?
?
?
称为 正弦级数,如果 )( xf 为偶函数,傅氏级数 nxa
a
n
n c o s
2 1
0 ??
?
?
称为 余弦级数,
例 1 设 )( xf 是周期为 ?2 的周期函数,它在
),[ ??? 上的表达式为 xxf ?)(,将 )( xf 展开成
傅氏级数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
,),2,1,0()12( 处不连续在点 ??????? kkx
2
)0()0( ?????? ff收敛于
2
)( ?????,0?
),())12(( xfkxx 处收敛于在连续点 ???
三、典型例题
??
?
??? ?2??2??3 ?3 x
y
0
,2)()12( 为周期的奇函数是以时 ???? xfkx?
和
函
数
图
象
),2,1,0(,0 ???? na n
??? ?0 s i n)(2 nx d xxfb n ??? ?0 s i n2 nx d xx
???
?? 02 ]
s i nco s[2
n
nx
n
nxx
??? nn co s2,)1(2 1??? nn ),2,1( ??n
)3s i n312s i n21( s i n2)( ????? xxxxf
.s i n)1(2
1
1
?
?
?
??
?
n
n
nxn
),3,;( ???????????? xx
)5s i n514s i n413s i n312s i n21( s i n2 xxxxxy ?????
xy?
观
察
两
函
数
图
形
例 2 将周期函数 tEtu s in)( ? 展开成傅氏级数,
其中 E 是正常数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个
数轴上连续,
,)( 为偶函数tu?
,0?? nb
? ??? 00 )(2 dttua
t
)(tu
0 ? ?2????2
E
??? ?0 s i n2 td tE,4?? E
),2,1( ??n
??? ?0 co s)(2 nt d ttua n ??? ?0 co ss i n2 nt d ttE
? ? ????? 0 ])1s i n ()1[ s in ( dttntnE
??
?
?
?
??
?
??
?
?
12,0
2,
]1)2[(
4
2
kn
kn
k
E
当
当
),2,1( ??k
?
??
?
??
?
?
??
?
??
?? 01
)1c o s (
1
)1c o s (
n
tn
n
tnE )1( ?n
??? ?01 co s)(2 tdttua ??? ?0 co ss i n2 t d ttE,0?
)6c o s3514c o s15 12c o s3121(4)( ??????? tttEtu
)( ?????? t
].14 2c o s21[2
1
2?
?
? ?
???
n n
nxE
非周期函数的周期性开拓
).(
2,],0[)(
xF
xf
函数
为周期的延拓成以上定义在设 ??
,0)( 0)()(
??
?
????
????
xxg
xxfxF令 ),()2( xFxF ?? ?且
则有如下两种情况,??
?
偶延拓
奇延拓
奇延拓, )()( xfxg ???
??
?
?
?
??????
?
???
?
0)(
00
0)(
)(
xxf
x
xxf
xF则
x
y
0 ???
的傅氏正弦级数)( xf
?? ?
? 1
s i n)(
n n
nxbxf )0( ??? x
例 3 将函数 )0(1)( ????? xxxf 分别展开成
正弦级数和余弦级数,
解 (1)求正弦级数,,)( 进行奇延拓对 xf
??? ?0 s i n)(2 nx d xxfb n ? ??? ?0 s i n)1(2 nx d xx
)co sco s1(2 ??????? nnn
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
,6,4,2
2
,5,3,1
22
n
n
n
n
当
当
]3s i n)2(312s i n2s i n)2[(21 ???????????? xxxx
)0( ??? x
]5s i n)2(514s i n43s i n)2(312s i n2s i n)2[(2 xxxxxy ??????????????
1?? xy
(2)求余弦级数,,)( 进行偶延拓对 xf
? ? ??? 00 )1(2 dxxa,2???
? ??? ?0 co s)1(2 nx d xxa n
)1(co s22 ???? nn ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,5,3,1
4
,6,4,20
2 nn
n
当
当
]5co s5 13co s3 1(c o s4121 22 ?????????? xxxx
)0( ??? x
1?? xy
)7c o s7 15c o s5 13c o s3 1( c o s412 222 xxxxy ????????
k
2? x
y
20 44?
例 4 设 )( xf 是周期为 4 的周期函数,它在 )2,2[ ?
上的表达式为
?
?
?
??
???
?
20
020
)(
xk
x
xf,将其展
成傅氏级数,
解,,2 满足狄氏充分条件?l?
?? ?? ? 200 20 21021 k d xdxa,k?
? ??20 2co s21 x d xnk,0?
? ??? 20 2s i n21 x d xnkb n )co s1( ???? nnk
,
,6,4,20
,5,3,1
2
??
?
?
?
?
?
??
?
?
n
n
n
k
当
当
)25s i n5123s i n312( s i n22)( ??????????? xxxkkxf
),4,2,0;( ?????????? xx
?na ),2,1( ??n
例 5 将函数 ? ?15510)( ???? xxxf 展开成傅
氏级数,
解,10?? xz作变量代换
155 ?? x,55 ???? z
)10()( ?? zfxf ),( zFz ???
,)55()( 的定义补充函数 ????? zzzF
,5)5( ??F令 )10()( ?TzF 作周期延拓然后将
,收敛定理的条件这拓广的周期函数满足
).()5,5( zF内收敛于且展开式在 ?
x
)(zFy
5? 50 1510
),2,1,0(,0 ??? na n
? ??? 50 2s i n)(52 dzznzb n
,10)1( ??? nn ),2,1( ??n
,5s in)1(10)(
1
?
?
?
??
?? n
n zn
nzF )55( ??? z
?
?
?
???????
1
)]10(5s in [)1(1010
n
n
xnnx
.5s in)1(10
1
?
?
?
??
?? n
n
xnn )155( ?? x
另解 ? ??? 155 5co s)10(51 dxxnxa n
? ??? 155 5s i n)10(51 dxxnxb n
? ??? ?? 155155 5co s515co s2 dxxnxdxxn,0?
? ?? 1550 )10(51 dxxa,0?
,10)1( ?nn?? ),2,1( ??n
?
?
?
??
???? 1 5s i n
)1(1010)(
n
n
xnnxxf故
)155( ?? x
),2,1( ??n
四、小结
利用变量代换求傅氏展开式 ;
求傅氏展开式的步骤 ;
1.画图形验证是否满足狄氏条件 (收敛域,奇偶性 );
2.求出傅氏系数 ;
3.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于 ).(xf
以 2l为周期的傅氏系数 ;
一,设周期为 2 的周期函数 )( xf 在一个周期内的表达式
为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
???
?
1
2
1
,1
2
1
0,1
01,
)(
x
x
xx
xf,试将其展开成傅里叶级 数,
二,试将函数
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
lx
l
xl
l
xx
xf
2
,
2
0,
)( 展开成正弦级数和余
弦级数,
练 习 题
三,将函数
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
2
3
2
,
22
,
)(
xx
xx
xf 展开成
傅里叶级数,
练习题答案
一,?
?
??
4
)( xf
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
1
22
s i n
2
c o s21
c o s]
2
s i n2
)1(1
[
n
n
xn
n
n
xn
n
n
n
),2,1,0,
2
1
2,2( ??????? kkxkx,
二,)0(s i n
2
s i n
14
)(
1
22
lx
l
xnn
n
l
xf
n
??
?
?
?
?
? ?
?
?；
l
xnn
n
ll
xf
n
n
?
???
?
?
?? ?
?
?
c o s])1(1
2
c o s2[
12
4
)(
1
22
)0( lx ??,
三,?
?
?
?
??
??
?
1
2
)]
2
)(12c o s [(
)12(
14
)(
n
xn
n
xf
)0( lx ??,