*第四节
二、中值定理与泰勒公式
三、极值问题
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二元函数的泰勒公式
第十七章
一、高阶偏导数
一、高阶偏导数
设 z = f (x,y)在域 D 内存在连续的偏导数 ),(,),( yxf
y
zyxf
x
z
yx ??
??
?
?
若这两个偏导数仍存在偏导数,
)( xz??
)( yzx ????
)( xzy ????
),()( 2
2
yxf
y
z
y
z
y yy??
??
?
?
?
?
则称它们是 z = f ( x,y )
的 二阶偏导数, 按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导
2
2
x
z
?
??
);,( yxf xx? yx
z
??
?? 2
),( yxf yx?
);,(
2
yxfxy z xy?????
x?
?
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数,
类似可以定义更高阶的偏导数,
例如,z = f (x,y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x,y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数,再关于 y 的一阶
) (y?? yx
z
n
n
??
??
?1
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偏导数为
yxe 22 ??
例 5,求函数 yxez 2??
.2
3
xy
z
??
?
解, ??
?
x
z
?
?
?
2
2
x
z
) (
2
2
3
xy
z
xxy
z
??
?
?
??
??
?
???yz
???? xy z
2
???? yx z
2
?
?
?
2
2
y
z
注意,此处,
22
xy
z
yx
z
??
??
??
?
但这一结论并不总成立,
yxe 2? yxe 22 ?
yxe 2? yxe 22 ?
yxe 22 ? yxe 24 ?
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的二阶偏导数及
0,
)(
4 22
222
4224
??
?
?? yx
yx
yyxxx
y
fyf xx
y ?
??
??
)0,0(),0(lim
0
?),( yxf y
例如,
?),( yxf x
?)0,0(yxf
x
fxff yy
xxy ?
???
??
)0,0()0,(lim)0,0(
0
二
者
不
等
y
y
y ?
???
?? 0
l i m 1??
x
x
x ?
??
?? 0
lim1?
?),( yxf
0,0 22 ?? yx
0,
)(
4 22
222
4224
??
?
?? yx
yx
yyxxy
0,0 22 ?? yx
0,2222
22
??
?
? yx
yx
yxyx
0,0 22 ?? yx
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例 6,证明函数 满足拉普拉斯
02
2
2
2
2
2
?
?
??
?
??
?
?
z
u
y
u
x
u
证,
?
?
?
2
2
x
u
利用对称性,有
,31 5
2
32
2
r
y
ry
u ???
?
?
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
?
??
?
??
?
??
??u方程
3
1
r? x
r
r
x
?
???
4
3
5
2
3
31
r
x
r
???
5
2
32
2 31
r
z
rz
u ???
?
?
5
222
3
)(33
r
zyx
r
?????
2r?
0?
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,),()()( 00 连续都在点和若 yxx,yfx,yf xyyx
),(),( 0000 yxfyxf xyyx ?
则
证明 目录 上页 下页 返回 结束
定理,
例如,对三元函数 u = f (x,y,z),
说明,
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立,
函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导
数可以选择方便的求导顺序,
因为初等函数的偏导数仍为初等函数,
当三阶混合偏导数
在点 (x,y,z) 连续 时,有
而初等
(证明略 )
二、中值定理与泰勒公式
一元函数 )(xf 的泰勒公式, ????????? 20
000 !2
)()()()( hxfhxfxfhxf
n
n
hn xf ! )( 0
)(
?
)10( ?? ?推广
多元函数泰勒公式
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记号 (设下面涉及的偏导数连续 ),
),()( 00 yxfykxh ?????
),()( 002 yxfykxh ?????
),()( 00 yxfykxh m?????
),(),( 0000 yxfkyxfh yx ?表示
),(),(2),( 00200002 yxfkyxfkhyxfh yyyxxx ??
),(C 000 yxyx
fkh
pmp
m
pmp
m
p
p
m ?
?
? ??
??? 一般地,
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?
? 表示
表示
定理 1,),(),( 00 yxyxfz 在点设 ?的某一邻域内有直
到 n + 1 阶连续偏导数,),( 00 kyhx ??为此邻域内任
一点,则有
),(),( 0000 yxfkyhxf ??? ),()( 00 yxfkh yx ???? ??
???? ???? ),()( 002!21 yxfkh yx
),()( 00!1 yxfkh nyxn ???? ??
),()( 001!)1( 1 kyhxfkhR nyxnn ?? ???? ??????
)10( ?? ?
nR?
其中
①
②
① 称为 f 在点 (x0,y0 )的 n 阶泰勒公式,② 称为其 拉格
朗日型余项,
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证, 令 ),10(),()( 00 ????? tktyhtxft?
则 ),()1(,),()0( 0000 kyhxfyxf ???? ??
利用多元复合函数求导法则可得,
),(),()( 0000 tkythxfktkythxfht yx ????????
),()()0( 00 yxfkh yx ???? ???? ?
),()( 002 tkythxfht xx ??????
),(2 00 tkythxfkh yx ???
),( 002 tkythxfk yy ???
),()()0( 002 yxfkh yx ???? ????? ?
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),(C)( 000
)(
tkythxyx
fkht
pmp
m
pmp
m
p
p
m
m
????
??
?
?
?
??一般地,
),()()0( 00)( yxfkh myxm ???? ??? ?
由 )(t? 的麦克劳林公式,得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式,
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),()( 001!)1( 1 kyhxfkhR nyxnn ?? ???? ??????
说明,
(1) 余项估计式, 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭
邻域其绝对值必有上界 M,则有 1)(
!)1(
??
??
n
n khn
MR
?????? ?? ?? ?? s i nc o skh
11 )s i nc o s(
!)1(
?? ?
??
nn
n
M ???
)1(m a x 2]1,0[ xx ??利用
11)2(
!)1(
??
??
nn
n
M ?
)( no ??
2?
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(2) 当 n = 0 时,得二元函数的拉格朗日中值公式,
),(),( 0000 yxfkyhxf ???
),( 00 kyhxfh x ?? ??? ),( 00 kyhxfk y ?? ??? )10( ?? ?
(3) 若函数 ),( yxfz ? 在区域 D 上的两个一阶偏导数
恒为零,.),( 常数?yxf由中值公式可知在该区域上
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例 1,求函数 )0,0()1ln (),( 在点yxyxf ???
解, yxyxfyxf yx ???? 1
1),(),(
的三阶泰
勒公式,
2)1(
1),(),(),(
yx
yxfyxfyxf yyyxxx
??
????
33
3
)1(
!2
yxyx
f
pp ?????
?
? )3,2,1,0( ?p
44
4
)1(
!3
yxyx
f
pp ??
??
??
?
? )4,3,2,1,0( ?p
因此,)0,0()( fkh yx ???? ? )0,0()0,0( yx fkfh ?? kh ??
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)0,0()( 2 fkh yx ???? ?
)0,0()( 3 fkh yx ???? ?
)0,0()0,0(2)0,0( 22 yyyxxx fkfkhfh ???
)0,0(C 3
3
3
3
0
3 pp
pp
p
p
yx
fkh
?
?
? ??
?? ? 2)( kh ???
3)(2 kh ??
,0)0,0( ?f又 代入三阶泰勒公式得将 ykxh ??,
??? )1ln( yxyx? 2)(21 yx ?? 33)(31 Ryx ???
其中 ),()( 4
3 khfkhR yx ?????? ?? 4
4
)1(
)(
4
1
yx
yx
?? ??
????
yk xh?? )10( ?? ?
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x y
z
三,多元函数的极值问题
定义, 若函数
则称函数在该点取得 极大值 (极小值 ),
例如,
在点 (0,0) 有极小值 ;
在点 (0,0) 有极大值 ;
在点 (0,0) 无极值,
极大值和极小值
统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
的某邻域内有
x y
z
x
y
z
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说明, 使偏导数都为 0 的点称为 驻点,
例如,
定理 1 (必要条件 ) 函数
偏导数,
证,
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立,
0),(,0),( 0000 ???? yxfyxf yx
取得极值,
取得极值
取得极值
但驻点不一定是极值点,
有驻点 ( 0,0 ),但在该点不取极值,
且在该点取得极值,则有
存在
故
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时,具有极值
极值充分条件的证明
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且
令
则, 1) 当
A < 0 时取极大值 ;
A > 0 时取极小值,
2) 当
3) 当
时,没有极值,
时,不能确定,需另行讨论,
若函数 的在点 ),(),( 00 yxyxfz ?
0),(,0),( 0000 ?? yxfyxf yx
),(,),(,),( 000000 yxfCyxfByxfA yyyxxx ???
02 ?? BAC
02 ?? BAC
02 ?? BAC
定理 2 (充分条件 )
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证, 由二元函数的泰勒公式,并注意
0),(,0),( 0000 ?? yxfyxf yx
则有 ),(),( 0000 yxfkyhxfz ?????
20021 ),([ hkyhxf xx ?? ???
khkyhxf yx ),(2 00 ?? ??? ]),( 2
00 kkyhxf yy ?? ???
,),(),( 00 连续的二阶偏导数在点由于 yxyxf所以
??? ???? Akyhxf xx ),( 00
??? ???? Bkyhxf yx ),( 00
??? ???? Ckyhxf yy ),( 00
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]2[ 2221 kCkhBhA ??
其中 ?,?,? 是当 h →0,k →0 时的无穷小量,于是
??z
),(21 khQ? )( 22 kh ???
,,很小时因此当 kh,),( 确定的正负号可由 khQz?
(1) 当 AC－ B2 ＞ 0 时,必有 A≠0,且 A 与 C 同号,
])()2[(),( 222221 kBACkBkhBAhAkhQ A ??????
])())[( 2221 kBACkBhAA ????
可见,,0),(,0 ?? khQA 时当 从而△ z＞ 0,因此 ),( yxf;),( 00 有极小值在点 yx
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( 2?o?
]2[ 2221 kkhh ??? ???
,0),(,0 ?? khQA 时当 从而 △ z＜ 0,在点因此 ),( yxf;),( 00 有极大值yx
(2) 当 AC－ B2 ＜ 0 时,若 A,C不全为零,无妨设 A≠0,
则 ]))[(),( 221 kkBhAkhQ A ???)( 2BAC ?
),(0)()(),( 0000 yxyyBxxAyx 接近沿直线当 ????
时,有,0?? kBhA AkhQ 与故 )(异号 ;
),( yx当,),(0 000 时接近沿直线 yxyy ??,0?k有
AkhQ 与故 ),(同号,
可见 △ z 在 (x0,y0) 邻近有正有负,
在点因此 ),( yxf ;),( 00 无极值yx x
y
),( 00 yx
o
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+
+ －
x
y
),( 00 yx
o
若 A＝ C ＝ 0,则必有 B≠0,不妨设 B＞ 0,此时
22 2),( kCkhBhAkhQ ???
),( 00 kyhx ??对点
,,同号时当 kh,0),( ?khQ
,,异号时当 kh,0),( ?khQ
可见 △ z 在 (x0,y0) 邻近有正有负,
在点因此 ),( yxf ;),( 00 无极值yx
khB2?
,0?? z从而
,0?? z从而
(3) 当 AC－ B2 ＝ 0 时,
若 A≠0,则 21 )(),( kBhAkhQ A ??
若 A＝ 0,则 B＝ 0,2),( kCkhQ ?
可能),( khQ
为零或非零
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此时 )(),( 2
21 ?okhQz ???
因此
第十节 目录 上页 下页 返回 结束
,)(,0),( 2 确定的正负号由时因为 ?ozkhQ ??
不能断定 (x0,y0) 是否为极值点,
例 1,求函数
解, 第一步 求驻点,
得驻点, (1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2),
第二步 判别,
在点 (1,0) 处
为极小值 ;
解方程组
A
B
C
的极值,
求二阶偏导数
,66),( ?? xyxf xx,0),( ?yxf yx 66),( ??? yyxf yy
,06122 ???? BAC,0?A
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在点 (?3,0) 处
不是极值 ;
在点 (?3,2) 处
为极大值,
,66),( ?? xyxf xx,0),( ?yxf yx 66),( ??? yyxf yy
,06122 ????? BAC
,0)6(122 ?????? BAC,0?A
在点 (1,2) 处
不是极值 ;,0)6(122 ????? BAC
A B C
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例 2.讨论函数 及
是否取得极值,
解, 显然 (0,0) 都是它们的驻点,
在 (0,0)点邻域内的取值
,因此 z(0,0) 不是极值,
因此
,022 时当 ?? yx 222 )( yxz ?? 0)0,0( ?? z
为极小值,
正
负
0
在点 (0,0)
x y
z
o
并且在 (0,0) 都有
可能为
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最值应用问题
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
??
?
驻点
边界上的最值点
特别,当区域内部最值存在,且 只有一个 极值点 P 时,
)(Pf 为极小 值 )(Pf 为最小 值 (大 ) (大 )
依据
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例 3,
解, 设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为
则水箱所用材料的面积为
令 得驻点
某厂要用铁板做一个体积为 2
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,
的有盖长方体水
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?
,m2yx
? ?yxyx 222 ???
0)(2 22 ??? xx yA
0)(2 22 ??? yy xA
因此可
断定此唯一驻点就是最小值点, 即当长、宽均为
高为 时,水箱所用材料最省,
)2,2( 33
32
322 2 233 ??
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例 4,有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成
解, 设折起来的边长为 x cm,则断面面积
x
24
一个断面为等腰梯形的水槽,
倾角为 ?,
?c o s2224 xx ??(21 ?sin) x?
???? s inc o ss in2s in24 22 xxx ???
x224 ?
? x
积最大,
)0,120:( 2?? ???? xD
为
问怎样折法才能使断面面
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?co s24 x ?c o s2 2x? 0)s in( c o s 222 ??? ??x令
?xA ?sin24 ?s in4 x? 0c o ss i n2 ?? ??x
??A
解得,
由题意知,最大值在定义域 D 内达到,而在域 D 内只有
一个驻点,故此点即为所求,
,0s in ?? 0x
???? s inc o ss in2s in24 22 xxxA ??? )0,120:(
2?? ???? xD
0c o s212 ??? ?xx
0)s in(c o sc o s2c o s24 22 ???? ???? xx
(c m )8,603 ??? x???
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三、条件极值
极值问题 无条件极值,
条 件 极 值,
条件极值的求法,
方法 1 代入法,
求一元函数 的无条件极值问题
对自变量只有定义域限制
对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制
例如,
转
化
,0),( 下在条件 ?yx? 的极值求函数 ),( yxfz ?
)(0),( xyyx ?? ?? 中解出从条件
))(,( xxfz ??
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,0),( 下在条件 ?yx?
方法 2 拉格朗日乘数法,
如方法 1 所述,
则问题等价于一元函数
可确定隐函数
的极值问题,
极值点必满足
设
记
.),( 的极值求函数 yxfz ?
0),( ?yx?,)( xy ??
))(( xxfz ??
例如,
故
0dddd ??? xyffxz yx
,dd
y
x
x
y
?
???因 0??
y
xyx ff
?
?
y
y
x
x ff
??
?
故有
???
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引入辅助函数
辅助函数 F 称为拉格朗日 ( Lagrange )函数, 利用拉格
极值点必满足
0?? xxf ??
0?? yyf ??
0),( ?yx?
则极值点满足,
朗日函数求极值的方法称为 拉格朗日乘数法,
),(),( yxyxfF ????
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推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形,
设
解方程组
可得到条件极值的可疑点,
例如,求函数
下的极值,
在条件 ),,( zyxfu ?,0),,( ?zyx?
0),,( ?zyx?
),,(),,(),,( 21 zyxzyxzyxfF ???? ???
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例 5,要设计一个容量为
0V
则问题为求 x,y,
令
解方程组
解, 设 x,y,z 分别表示长、宽、高,
下水箱表面积
最小,
z 使在条件
02 ??? zyyz ?
02 ??? zxxz ?
0)(2 ??? yxyx ?
00 ?? Vzyx
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
的长方体开口水箱,试问
0Vzyx ? yxzyzxS ??? )(2
)()(2 0VzyxyxzyzxF ????? ?
x y
z
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得唯一驻点,22 3 0Vzyx ??? 3 02 4V???
由题意可知合理的设计是存在的,
长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省,
因此,当高为,3 40V
x y
z
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思考,
1) 当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?
提示, 利用对称性可知,3 0Vzyx ???
2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价
最省,应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?
提示, )()(2 0VzyxyxzyzxF ????? ?2
长、宽、高尺寸相等,
内容小结
1,函数的极值问题
第一步 利用必要条件在定义域内找驻点,
即解方程组
第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点,
2,函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
,),( yxfz ?
??
?
?
?
0),(
0),(
yxf
yxf
y
x如对二元函数
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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设拉格朗日函数
如求二元函数 下的极值,
解方程组
第二步 判别
? 比较驻点及边界点上函数值的大小
? 根据问题的实际意义确定最值
第一步 找目标函数,确定定义域 ( 及约束条件 )
3,函数的最值问题
在条件
求驻点,
),( yxfz ? 0),( ?yx?
),(),( yxyxfF ????
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已知平面上两定点 A( 1,3 ),B( 4,2 ),
试在椭圆 圆周上求一点 C,使
△ ABC 面积 S△ 最大,
解答提示,
C
B
A
o
y
xE
D设 C 点坐标为 (x,y),
思考与练习
031
013
??
?
yx
kji
???
)103,0,0(21 ??? yx
)0,0(149
22
???? yxyx
则
10321 ??? yx
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设拉格朗日函数
解方程组
得驻点 对应面积
而 比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形
面积最大,
)491()103(
22
2 yxyxF ?????? ?
092)103(2 ???? xyx ?
042)103(6 ???? yyx ?
0491
22
??? yx
646.1?S,5
4,
5
3 ?? yx
,5.3,2 ?? CD SS
点击图中任意点
动画开始或暂停
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作业
P61 3,4,8,9,10
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备用题 1,求半径为 R 的圆的内接三角形中面积最大者,
解, 设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则,2 ???? zyx
z
y
x
它们所对应的三个三角形面积分别为
zRS s in2213 ?
0,0,0 ??? zyx
设拉氏函数 )2(s ins ins in ?? ??????? zyxzyxF
解方程组
0c o s ?? ?x
,得 3
2 ???? zyx
故圆内接正三角形面积最大,最大面积为
3
2s in3
2
2
m ax
??? RS,
4
33 2R?
0c o s ?? ?y 0c o s ?? ?z
02 ???? ?zyx
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为边的面积最大的四边形,
试列出其目标函数和约束条件?
提示,
?? sin21sin21 dcbaS ??
)0,0( ???? ????
目标函数,
?? c o s2c o s2 2222 dcdcbaba ?????约束条件,
dcba,,,
a b
cd
?
?
答案,,??? ?? 即四边形内接于圆时面积最大,
2,求平面上以
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二、中值定理与泰勒公式
三、极值问题
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二元函数的泰勒公式
第十七章
一、高阶偏导数
一、高阶偏导数
设 z = f (x,y)在域 D 内存在连续的偏导数 ),(,),( yxf
y
zyxf
x
z
yx ??
??
?
?
若这两个偏导数仍存在偏导数,
)( xz??
)( yzx ????
)( xzy ????
),()( 2
2
yxf
y
z
y
z
y yy??
??
?
?
?
?
则称它们是 z = f ( x,y )
的 二阶偏导数, 按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导
2
2
x
z
?
??
);,( yxf xx? yx
z
??
?? 2
),( yxf yx?
);,(
2
yxfxy z xy?????
x?
?
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数,
类似可以定义更高阶的偏导数,
例如,z = f (x,y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x,y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数,再关于 y 的一阶
) (y?? yx
z
n
n
??
??
?1
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偏导数为
yxe 22 ??
例 5,求函数 yxez 2??
.2
3
xy
z
??
?
解, ??
?
x
z
?
?
?
2
2
x
z
) (
2
2
3
xy
z
xxy
z
??
?
?
??
??
?
???yz
???? xy z
2
???? yx z
2
?
?
?
2
2
y
z
注意,此处,
22
xy
z
yx
z
??
??
??
?
但这一结论并不总成立,
yxe 2? yxe 22 ?
yxe 2? yxe 22 ?
yxe 22 ? yxe 24 ?
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的二阶偏导数及
0,
)(
4 22
222
4224
??
?
?? yx
yx
yyxxx
y
fyf xx
y ?
??
??
)0,0(),0(lim
0
?),( yxf y
例如,
?),( yxf x
?)0,0(yxf
x
fxff yy
xxy ?
???
??
)0,0()0,(lim)0,0(
0
二
者
不
等
y
y
y ?
???
?? 0
l i m 1??
x
x
x ?
??
?? 0
lim1?
?),( yxf
0,0 22 ?? yx
0,
)(
4 22
222
4224
??
?
?? yx
yx
yyxxy
0,0 22 ?? yx
0,2222
22
??
?
? yx
yx
yxyx
0,0 22 ?? yx
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例 6,证明函数 满足拉普拉斯
02
2
2
2
2
2
?
?
??
?
??
?
?
z
u
y
u
x
u
证,
?
?
?
2
2
x
u
利用对称性,有
,31 5
2
32
2
r
y
ry
u ???
?
?
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
?
??
?
??
?
??
??u方程
3
1
r? x
r
r
x
?
???
4
3
5
2
3
31
r
x
r
???
5
2
32
2 31
r
z
rz
u ???
?
?
5
222
3
)(33
r
zyx
r
?????
2r?
0?
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,),()()( 00 连续都在点和若 yxx,yfx,yf xyyx
),(),( 0000 yxfyxf xyyx ?
则
证明 目录 上页 下页 返回 结束
定理,
例如,对三元函数 u = f (x,y,z),
说明,
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立,
函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导
数可以选择方便的求导顺序,
因为初等函数的偏导数仍为初等函数,
当三阶混合偏导数
在点 (x,y,z) 连续 时,有
而初等
(证明略 )
二、中值定理与泰勒公式
一元函数 )(xf 的泰勒公式, ????????? 20
000 !2
)()()()( hxfhxfxfhxf
n
n
hn xf ! )( 0
)(
?
)10( ?? ?推广
多元函数泰勒公式
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记号 (设下面涉及的偏导数连续 ),
),()( 00 yxfykxh ?????
),()( 002 yxfykxh ?????
),()( 00 yxfykxh m?????
),(),( 0000 yxfkyxfh yx ?表示
),(),(2),( 00200002 yxfkyxfkhyxfh yyyxxx ??
),(C 000 yxyx
fkh
pmp
m
pmp
m
p
p
m ?
?
? ??
??? 一般地,
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?
? 表示
表示
定理 1,),(),( 00 yxyxfz 在点设 ?的某一邻域内有直
到 n + 1 阶连续偏导数,),( 00 kyhx ??为此邻域内任
一点,则有
),(),( 0000 yxfkyhxf ??? ),()( 00 yxfkh yx ???? ??
???? ???? ),()( 002!21 yxfkh yx
),()( 00!1 yxfkh nyxn ???? ??
),()( 001!)1( 1 kyhxfkhR nyxnn ?? ???? ??????
)10( ?? ?
nR?
其中
①
②
① 称为 f 在点 (x0,y0 )的 n 阶泰勒公式,② 称为其 拉格
朗日型余项,
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证, 令 ),10(),()( 00 ????? tktyhtxft?
则 ),()1(,),()0( 0000 kyhxfyxf ???? ??
利用多元复合函数求导法则可得,
),(),()( 0000 tkythxfktkythxfht yx ????????
),()()0( 00 yxfkh yx ???? ???? ?
),()( 002 tkythxfht xx ??????
),(2 00 tkythxfkh yx ???
),( 002 tkythxfk yy ???
),()()0( 002 yxfkh yx ???? ????? ?
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),(C)( 000
)(
tkythxyx
fkht
pmp
m
pmp
m
p
p
m
m
????
??
?
?
?
??一般地,
),()()0( 00)( yxfkh myxm ???? ??? ?
由 )(t? 的麦克劳林公式,得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式,
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),()( 001!)1( 1 kyhxfkhR nyxnn ?? ???? ??????
说明,
(1) 余项估计式, 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,在某闭
邻域其绝对值必有上界 M,则有 1)(
!)1(
??
??
n
n khn
MR
?????? ?? ?? ?? s i nc o skh
11 )s i nc o s(
!)1(
?? ?
??
nn
n
M ???
)1(m a x 2]1,0[ xx ??利用
11)2(
!)1(
??
??
nn
n
M ?
)( no ??
2?
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(2) 当 n = 0 时,得二元函数的拉格朗日中值公式,
),(),( 0000 yxfkyhxf ???
),( 00 kyhxfh x ?? ??? ),( 00 kyhxfk y ?? ??? )10( ?? ?
(3) 若函数 ),( yxfz ? 在区域 D 上的两个一阶偏导数
恒为零,.),( 常数?yxf由中值公式可知在该区域上
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例 1,求函数 )0,0()1ln (),( 在点yxyxf ???
解, yxyxfyxf yx ???? 1
1),(),(
的三阶泰
勒公式,
2)1(
1),(),(),(
yx
yxfyxfyxf yyyxxx
??
????
33
3
)1(
!2
yxyx
f
pp ?????
?
? )3,2,1,0( ?p
44
4
)1(
!3
yxyx
f
pp ??
??
??
?
? )4,3,2,1,0( ?p
因此,)0,0()( fkh yx ???? ? )0,0()0,0( yx fkfh ?? kh ??
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)0,0()( 2 fkh yx ???? ?
)0,0()( 3 fkh yx ???? ?
)0,0()0,0(2)0,0( 22 yyyxxx fkfkhfh ???
)0,0(C 3
3
3
3
0
3 pp
pp
p
p
yx
fkh
?
?
? ??
?? ? 2)( kh ???
3)(2 kh ??
,0)0,0( ?f又 代入三阶泰勒公式得将 ykxh ??,
??? )1ln( yxyx? 2)(21 yx ?? 33)(31 Ryx ???
其中 ),()( 4
3 khfkhR yx ?????? ?? 4
4
)1(
)(
4
1
yx
yx
?? ??
????
yk xh?? )10( ?? ?
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x y
z
三,多元函数的极值问题
定义, 若函数
则称函数在该点取得 极大值 (极小值 ),
例如,
在点 (0,0) 有极小值 ;
在点 (0,0) 有极大值 ;
在点 (0,0) 无极值,
极大值和极小值
统称为 极值,使函数取得极值的点称为 极值点,
的某邻域内有
x y
z
x
y
z
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说明, 使偏导数都为 0 的点称为 驻点,
例如,
定理 1 (必要条件 ) 函数
偏导数,
证,
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立,
0),(,0),( 0000 ???? yxfyxf yx
取得极值,
取得极值
取得极值
但驻点不一定是极值点,
有驻点 ( 0,0 ),但在该点不取极值,
且在该点取得极值,则有
存在
故
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时,具有极值
极值充分条件的证明
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且
令
则, 1) 当
A < 0 时取极大值 ;
A > 0 时取极小值,
2) 当
3) 当
时,没有极值,
时,不能确定,需另行讨论,
若函数 的在点 ),(),( 00 yxyxfz ?
0),(,0),( 0000 ?? yxfyxf yx
),(,),(,),( 000000 yxfCyxfByxfA yyyxxx ???
02 ?? BAC
02 ?? BAC
02 ?? BAC
定理 2 (充分条件 )
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证, 由二元函数的泰勒公式,并注意
0),(,0),( 0000 ?? yxfyxf yx
则有 ),(),( 0000 yxfkyhxfz ?????
20021 ),([ hkyhxf xx ?? ???
khkyhxf yx ),(2 00 ?? ??? ]),( 2
00 kkyhxf yy ?? ???
,),(),( 00 连续的二阶偏导数在点由于 yxyxf所以
??? ???? Akyhxf xx ),( 00
??? ???? Bkyhxf yx ),( 00
??? ???? Ckyhxf yy ),( 00
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]2[ 2221 kCkhBhA ??
其中 ?,?,? 是当 h →0,k →0 时的无穷小量,于是
??z
),(21 khQ? )( 22 kh ???
,,很小时因此当 kh,),( 确定的正负号可由 khQz?
(1) 当 AC－ B2 ＞ 0 时,必有 A≠0,且 A 与 C 同号,
])()2[(),( 222221 kBACkBkhBAhAkhQ A ??????
])())[( 2221 kBACkBhAA ????
可见,,0),(,0 ?? khQA 时当 从而△ z＞ 0,因此 ),( yxf;),( 00 有极小值在点 yx
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( 2?o?
]2[ 2221 kkhh ??? ???
,0),(,0 ?? khQA 时当 从而 △ z＜ 0,在点因此 ),( yxf;),( 00 有极大值yx
(2) 当 AC－ B2 ＜ 0 时,若 A,C不全为零,无妨设 A≠0,
则 ]))[(),( 221 kkBhAkhQ A ???)( 2BAC ?
),(0)()(),( 0000 yxyyBxxAyx 接近沿直线当 ????
时,有,0?? kBhA AkhQ 与故 )(异号 ;
),( yx当,),(0 000 时接近沿直线 yxyy ??,0?k有
AkhQ 与故 ),(同号,
可见 △ z 在 (x0,y0) 邻近有正有负,
在点因此 ),( yxf ;),( 00 无极值yx x
y
),( 00 yx
o
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+
+ －
x
y
),( 00 yx
o
若 A＝ C ＝ 0,则必有 B≠0,不妨设 B＞ 0,此时
22 2),( kCkhBhAkhQ ???
),( 00 kyhx ??对点
,,同号时当 kh,0),( ?khQ
,,异号时当 kh,0),( ?khQ
可见 △ z 在 (x0,y0) 邻近有正有负,
在点因此 ),( yxf ;),( 00 无极值yx
khB2?
,0?? z从而
,0?? z从而
(3) 当 AC－ B2 ＝ 0 时,
若 A≠0,则 21 )(),( kBhAkhQ A ??
若 A＝ 0,则 B＝ 0,2),( kCkhQ ?
可能),( khQ
为零或非零
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此时 )(),( 2
21 ?okhQz ???
因此
第十节 目录 上页 下页 返回 结束
,)(,0),( 2 确定的正负号由时因为 ?ozkhQ ??
不能断定 (x0,y0) 是否为极值点,
例 1,求函数
解, 第一步 求驻点,
得驻点, (1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2),
第二步 判别,
在点 (1,0) 处
为极小值 ;
解方程组
A
B
C
的极值,
求二阶偏导数
,66),( ?? xyxf xx,0),( ?yxf yx 66),( ??? yyxf yy
,06122 ???? BAC,0?A
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在点 (?3,0) 处
不是极值 ;
在点 (?3,2) 处
为极大值,
,66),( ?? xyxf xx,0),( ?yxf yx 66),( ??? yyxf yy
,06122 ????? BAC
,0)6(122 ?????? BAC,0?A
在点 (1,2) 处
不是极值 ;,0)6(122 ????? BAC
A B C
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例 2.讨论函数 及
是否取得极值,
解, 显然 (0,0) 都是它们的驻点,
在 (0,0)点邻域内的取值
,因此 z(0,0) 不是极值,
因此
,022 时当 ?? yx 222 )( yxz ?? 0)0,0( ?? z
为极小值,
正
负
0
在点 (0,0)
x y
z
o
并且在 (0,0) 都有
可能为
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最值应用问题
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
??
?
驻点
边界上的最值点
特别,当区域内部最值存在,且 只有一个 极值点 P 时,
)(Pf 为极小 值 )(Pf 为最小 值 (大 ) (大 )
依据
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例 3,
解, 设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为
则水箱所用材料的面积为
令 得驻点
某厂要用铁板做一个体积为 2
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,
的有盖长方体水
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?
,m2yx
? ?yxyx 222 ???
0)(2 22 ??? xx yA
0)(2 22 ??? yy xA
因此可
断定此唯一驻点就是最小值点, 即当长、宽均为
高为 时,水箱所用材料最省,
)2,2( 33
32
322 2 233 ??
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例 4,有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成
解, 设折起来的边长为 x cm,则断面面积
x
24
一个断面为等腰梯形的水槽,
倾角为 ?,
?c o s2224 xx ??(21 ?sin) x?
???? s inc o ss in2s in24 22 xxx ???
x224 ?
? x
积最大,
)0,120:( 2?? ???? xD
为
问怎样折法才能使断面面
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?co s24 x ?c o s2 2x? 0)s in( c o s 222 ??? ??x令
?xA ?sin24 ?s in4 x? 0c o ss i n2 ?? ??x
??A
解得,
由题意知,最大值在定义域 D 内达到,而在域 D 内只有
一个驻点,故此点即为所求,
,0s in ?? 0x
???? s inc o ss in2s in24 22 xxxA ??? )0,120:(
2?? ???? xD
0c o s212 ??? ?xx
0)s in(c o sc o s2c o s24 22 ???? ???? xx
(c m )8,603 ??? x???
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三、条件极值
极值问题 无条件极值,
条 件 极 值,
条件极值的求法,
方法 1 代入法,
求一元函数 的无条件极值问题
对自变量只有定义域限制
对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制
例如,
转
化
,0),( 下在条件 ?yx? 的极值求函数 ),( yxfz ?
)(0),( xyyx ?? ?? 中解出从条件
))(,( xxfz ??
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,0),( 下在条件 ?yx?
方法 2 拉格朗日乘数法,
如方法 1 所述,
则问题等价于一元函数
可确定隐函数
的极值问题,
极值点必满足
设
记
.),( 的极值求函数 yxfz ?
0),( ?yx?,)( xy ??
))(( xxfz ??
例如,
故
0dddd ??? xyffxz yx
,dd
y
x
x
y
?
???因 0??
y
xyx ff
?
?
y
y
x
x ff
??
?
故有
???
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引入辅助函数
辅助函数 F 称为拉格朗日 ( Lagrange )函数, 利用拉格
极值点必满足
0?? xxf ??
0?? yyf ??
0),( ?yx?
则极值点满足,
朗日函数求极值的方法称为 拉格朗日乘数法,
),(),( yxyxfF ????
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推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形,
设
解方程组
可得到条件极值的可疑点,
例如,求函数
下的极值,
在条件 ),,( zyxfu ?,0),,( ?zyx?
0),,( ?zyx?
),,(),,(),,( 21 zyxzyxzyxfF ???? ???
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例 5,要设计一个容量为
0V
则问题为求 x,y,
令
解方程组
解, 设 x,y,z 分别表示长、宽、高,
下水箱表面积
最小,
z 使在条件
02 ??? zyyz ?
02 ??? zxxz ?
0)(2 ??? yxyx ?
00 ?? Vzyx
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
的长方体开口水箱,试问
0Vzyx ? yxzyzxS ??? )(2
)()(2 0VzyxyxzyzxF ????? ?
x y
z
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得唯一驻点,22 3 0Vzyx ??? 3 02 4V???
由题意可知合理的设计是存在的,
长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省,
因此,当高为,3 40V
x y
z
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思考,
1) 当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?
提示, 利用对称性可知,3 0Vzyx ???
2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价
最省,应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?
提示, )()(2 0VzyxyxzyzxF ????? ?2
长、宽、高尺寸相等,
内容小结
1,函数的极值问题
第一步 利用必要条件在定义域内找驻点,
即解方程组
第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点,
2,函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
,),( yxfz ?
??
?
?
?
0),(
0),(
yxf
yxf
y
x如对二元函数
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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设拉格朗日函数
如求二元函数 下的极值,
解方程组
第二步 判别
? 比较驻点及边界点上函数值的大小
? 根据问题的实际意义确定最值
第一步 找目标函数,确定定义域 ( 及约束条件 )
3,函数的最值问题
在条件
求驻点,
),( yxfz ? 0),( ?yx?
),(),( yxyxfF ????
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已知平面上两定点 A( 1,3 ),B( 4,2 ),
试在椭圆 圆周上求一点 C,使
△ ABC 面积 S△ 最大,
解答提示,
C
B
A
o
y
xE
D设 C 点坐标为 (x,y),
思考与练习
031
013
??
?
yx
kji
???
)103,0,0(21 ??? yx
)0,0(149
22
???? yxyx
则
10321 ??? yx
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设拉格朗日函数
解方程组
得驻点 对应面积
而 比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形
面积最大,
)491()103(
22
2 yxyxF ?????? ?
092)103(2 ???? xyx ?
042)103(6 ???? yyx ?
0491
22
??? yx
646.1?S,5
4,
5
3 ?? yx
,5.3,2 ?? CD SS
点击图中任意点
动画开始或暂停
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作业
P61 3,4,8,9,10
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 1,求半径为 R 的圆的内接三角形中面积最大者,
解, 设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则,2 ???? zyx
z
y
x
它们所对应的三个三角形面积分别为
zRS s in2213 ?
0,0,0 ??? zyx
设拉氏函数 )2(s ins ins in ?? ??????? zyxzyxF
解方程组
0c o s ?? ?x
,得 3
2 ???? zyx
故圆内接正三角形面积最大,最大面积为
3
2s in3
2
2
m ax
??? RS,
4
33 2R?
0c o s ?? ?y 0c o s ?? ?z
02 ???? ?zyx
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为边的面积最大的四边形,
试列出其目标函数和约束条件?
提示,
?? sin21sin21 dcbaS ??
)0,0( ???? ????
目标函数,
?? c o s2c o s2 2222 dcdcbaba ?????约束条件,
dcba,,,
a b
cd
?
?
答案,,??? ?? 即四边形内接于圆时面积最大,
2,求平面上以
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