§3? 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 ) 一.? 有界性: 命题1?? ,? ??在上. 证法 一?? ( 用区间套定理 ). 反证法. 证法 二?? ( 用列紧性 ). 反证法. 证法 三?? ( 用有限复盖定理 ). 二.?????? 最值性: 命题2?? ,? ??在上取得最大值和最小值. ( 只证取得最大值 ) 证?? ( 用确界原理 )? 参阅[1]P226[ 证法 二 ] 后半段. 三.??????? 介值性:? 证明与其等价的“零点定理 ”. 命题3 ( 零点定理 ) 证法 一?? ( 用区间套定理 ) . 证法 二?? ( 用确界原理 ). 不妨设 ?. 令, 则非空有界, ?有上确界.? 设有.? 现证 ?,? ( 为此证明且 ).?? 取> 且. 由在点连续和,? ??, ? .? 于是. 由在点连续和, ? .? 因此只能有. 证法 三?? ( 用有限复盖定理 ). 四.?????? 一致连续性: 命题4? ( Cantor定理 ) 证法 一?? ( 用区间套定理 ) . ?? 证法 二?? ( 用列紧性 ).?????? ?? ? 二.?????? 实数基本定理应用举例： 例1?????????? 设是闭区间上的递增函数,? 但不必连续 .? 如果, ,? 则,? 使.?? ( 山东大学研究生入学试题 ) 证法 一? ( 用确界技术 .? 参阅[3] P76例10? 证法1 ) 设集合 .? 则,? 不空 ; ??, 有界 . 由确界原理 ,有上确界. 设 , 则 . 下证? . ⅰ） 若,? 有; 又, 得. ?由 递增和,? 有, 可见. 由, ?. 于是 , 只能有. ⅱ） 若,? 则存在内的数列, 使↗, ; 也存在数列 , ?↘,. 由递增, 以及, 就有式 ? 对任何 成立 . 令, 得  于是有. 证法二? ( 用区间套技术, 参阅[3] P77例10? 证法2?? ) 当或 时,或就是方程在上的实根 . 以下总设. 对分区间, 设分 点为 .? 倘有, 就是方程在上的实根.(为行文简练计,? 以下总设不会 出现这种情况 ) . 若,? 取; 若,? 取, 如此得一级区间 ?.? 依此构造区间套, 对,有 . 由区间套定理, , 使对 任何,有. ? 现证.? 事实上,? 注意到时↗和↘以及递增,就有 . 令 , 得于是有. 例2 ??设在闭区间上函数连续,? 递增 ,? 且有, .? 试证明:? 方程 在区间 内有实根 . 证?? 构造区间套,使 .由区间套定理,, 使对, 有. 现证 . ?事实上, 由在上的递增性和的构造以及↗ 和↘,, 有 . 注意到在点连续，由Heine归并原则, 有 ?????????????? ???,??  ? , ?. 为方程在区间 内的实根. 例3 ?试证明:? 区间 上的全体实数是不可列的 . 证?? ( 用区间套技术,? 具体用反证法 )? 反设区间 上的全体实数是可列的,即可排成一列:  把区间 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为一级区间. 把区 间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为二级区间. …… . 依此得区间套, 其中区间不含.? 由区间套定理, , 使对, 有 .? 当然有 .???? 但对 有 ?而, ??. 矛盾. ? 习?? 题?? 课 （ 4 时 ） 一．???????? 实数基本定理互证举例： 例4 ??用“区间套定理”证明“单调有界原理”. 证?? 设数列递增有上界. 取闭区间 , 使不是的上界, ?是的上界. 易见 在闭区间 内含有数列的无穷多项, 而在 外仅含有的有限项. 对分, 取 使有的性质.…….于是得区间套,有公共点.? 易见在点的任何邻域内有数 列的无穷多项而在其外仅含有的有限项, ??. 例5? ?用“确界原理”证明“区间套定理”. 证?? 为区间套. 先证每个为数列的下界, 而每个为数列的上界. 由确界原 理 , 数列有上确界, 数列有下确界 .? 设???? ,? .易见有? ?和. ?由，. 例6????? 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”. 证? ( 用反证法 )? 设为有界无限点集,? . 反设的每一点都不是的聚点,? 则对 ,? 存在开区间 ,? 使在内仅有的有限个点. …… . 例7 ??用“确界原理”证明“聚点原理”. 证?? 设为有界无限点集.? 构造数集 中大于的点有无穷多个. 易见数集非空有上界,? 由确界原理, 有上确界.? 设 . 则对,由不是的上界 ?中大于的点有无穷多个; 由是的上界,? 中大于的点仅有有限个. 于是, 在 内有的无穷多个点,即是的一个聚点 .