§2 函数极限的性质 在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限： 1）；???? 2）；???? 3）； 4）；?? 5）； ??6）。 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。 至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。 定理3.2（唯一性）若极限 ?存在，则此极限是唯一的。 证? 设、都是当时的极限，则对任给的，分别存在正数与，使得当 时有 ?????????????????????????????? （1） 当 时有 ??????????????????????????????? （2） 取，则当时，（1）式与 (2) 式同时成立，故有  由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。 定理3.3（局部有界性） 若极限 ?存在，则在某空心邻域内有界。 证? 设 。取，则存在，使得对一切有 。 这就证明了在内有界。 定理3.4（局部保号性）若（或），则对任何正数 （或），存在 ，使得对一切 ?有 （或）。 证 设，对任何，取，则存在，使得对一切有 ，这就证得结论。对于的情形可类似地证明。 定理3.5（保不等式性）设?与都存在，且在某邻域?内有，则 。??????????????????????? ? （3） 证 设，，则对任给的，分别存在正数与，使得当时 ?????????????????????????? （4） 当 ?时有 ????????????????????????????（5） 令，则当时，不等式 ?与（4）,（5）式同时成立，于是 有，从而。由的任意性得，即（3）式成立。 定理3.6（迫敛性）设==，且在某内有 ???????????????? （6） 则 。 证 按假设，对任给的，分别存在正数 ?与 ，使得当时 ??????????????????????? （7） 当时有 ?????????????????????????? （8） 令，则当 时，不等式（6）、（7）、（8）式同时成立，故有 ，由此得 ，所以。 定理3.7（四则运算法则）若极限?与 ?都存在，则函数，当? ?时极限也存在，且 1）= 2）= 又若，则当时极限也存在，且有 3） ?这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。 利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。 例1求。 解 由第一章§3习题13，当?时有 ，而 ，故由迫敛性得 ? 。 另一方面，当时有 ，故由迫敛性又可得。 综上，我们求得? 。 例2 求。 解? 由 ??及§1例4所得的  并按四则运算法则有 = 例3 求?  解 当?时有 。 故所求极限等于? 。 例4?? 证明 证? 任给（不妨设），为使 ????????????????????????? （9） 即，利用对数函数（当时）的严格增性，只要  于是，令，则当时，就有（9）式成立，从而证得结论。