1
第 十 章 定 积 分 的 应 用
§ 1 平 面 图 形 的 面 积
教学内容,平面图形面积的计算
教学目的,
理解定积分的意义；学会、掌握微元法处理问题的基 本思想
熟记平面图形面积的计算公式。
一, 直角坐标系下平面图形的面积,
由定积分的几何意义，连续曲线 与直线,
轴所围成的曲边梯形的面积为,
2
( ) [,],
( ),
( ) ( )
( ) ( ),
b
a
cd
ac
eb
de
f x a b
A f x dx
f x dx f x dx
f x dx f x dx
?
??
??
?
??
??
若 在 上不都是非负的
则所围成图形（如右图）
的面积为 )(xfy ?
a
0
x
y
b
b
o
)( xfy ?
c d e x
y
o a
3
? ?
1 1 2 2
12
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ),
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b
a
x
y f x y f x
x a x b
A f x f x
y
x g y x g y
y a y b
??
??
??
??
??
?
一般地，若平面区域是 —区域：由上
曲线,下曲线,
左直线,右直线 所围成，
则其面积公式为：
若平面区域是 —区域：由左曲线
、右曲线,
下直线,上直线
x— 区域
21
,
( ) ( ),
b
a
A g y g y dy???
所围成 则其面积公式为：
如
图所示。
y— 区域
y
x o
)(11 xfy ?
)(22 xfy ?
a b
x
y
o
a
b
)(1 ygx ? )(2 ygx ?
4
如果平面区域既不是 x— 型区域，也不是 y— 型区域，则用一组
平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个 x— 型
区域与 y— 型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总
的面积等于各区域面积之和。如右下图,
上曲线由三条不同的曲线：
AB,BC与 CD 构成；下曲
线由两条不同曲线,EF与
FG所构成。为计算其面积，
可分别过点 B,C与 F作平行
于 y轴的直线，则把平面区
域分成 4个 x— 型区域。
y
x
E
a b
A B
C
D
F
G
o
5
如图所示：：解法
积所围成的平面区域的面
与直线：求抛物线例
1
.
0321 2 ???? yxxy
所给的区域不是一个规范的 x-域,如图
需将其切成两块,即可化成 x-形区域的
面积问题。
第一块的面积,
A
B
1A
2A
,第二块的面积,
,总面积,
6
? ?? ?,
3
2
1032
3
,1,32
,
2
3
1
2
2
?
?
????
?
????
?
dyyyA
yy
yyx
yxy
积域面积的计算公式得面
型区—直接由上直线为：
下直线：右曲线为：
型区域：则左曲线为：—
成若把围成的平面区域看：解法
二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积
设区间 上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示
7
且,在 上连续,
,（ 对于 或 的情况类似讨论 ）,
则
计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常
有两种方法,
1）具体计算时常利用图形的几何特征
2）从 参数方程 定义域的分析确定
22
22 1
xy
ab
??例2 求由椭圆 所围成的面积。
解
8
例 3 求摆线 的一
拱与 x 轴所围的平面图形的面积 (如图阴影部分 )
由图看出,对应原点 (0,0 ),对应一拱的终点
,所以其面积为,
9
三、极坐标下平面图形的面积
??
????
???
??????
?
?
?
drA
C
r
rrC
??
??
??
?
?
)(
2
1
.2
],[)(],[
,)(
2
平面图形的面积：
所围成的、两射线：
与由曲线上连续，
在给出，其中
由极坐标方程曲线设
o
)(?rr ?
?
?
)( 1?? irr ?)( irr ??
i??
x
和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上
下限的确定。确定上下限方法通常也是
1）利用图象； 2）分析 定义域 （见下页示图）
10
?
? ?
?
11
例 4 求双扭线 所围成的平面图形的面积
x
y
]
4
,0[
4
?
?
象限变化的范围为：
在第一而倍。限部分面积的
一象的，故其面积是其在第
对称平面图形是关于坐标轴
它所围成的如图所示，解：
2
4
0
2
2c o s4 adaA ?? ? ??
?
的面积为：
区域故双纽线所围成的平面
第 十 章 定 积 分 的 应 用
§ 1 平 面 图 形 的 面 积
教学内容,平面图形面积的计算
教学目的,
理解定积分的意义；学会、掌握微元法处理问题的基 本思想
熟记平面图形面积的计算公式。
一, 直角坐标系下平面图形的面积,
由定积分的几何意义，连续曲线 与直线,
轴所围成的曲边梯形的面积为,
2
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曲线,下曲线,
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则其面积公式为：
若平面区域是 —区域：由左曲线
、右曲线,
下直线,上直线
x— 区域
21
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所围成 则其面积公式为：
如
图所示。
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如果平面区域既不是 x— 型区域，也不是 y— 型区域，则用一组
平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个 x— 型
区域与 y— 型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总
的面积等于各区域面积之和。如右下图,
上曲线由三条不同的曲线：
AB,BC与 CD 构成；下曲
线由两条不同曲线,EF与
FG所构成。为计算其面积，
可分别过点 B,C与 F作平行
于 y轴的直线，则把平面区
域分成 4个 x— 型区域。
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如图所示：：解法
积所围成的平面区域的面
与直线：求抛物线例
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.
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所给的区域不是一个规范的 x-域,如图
需将其切成两块,即可化成 x-形区域的
面积问题。
第一块的面积,
A
B
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积域面积的计算公式得面
型区—直接由上直线为：
下直线：右曲线为：
型区域：则左曲线为：—
成若把围成的平面区域看：解法
二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积
设区间 上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示
7
且,在 上连续,
,（ 对于 或 的情况类似讨论 ）,
则
计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常
有两种方法,
1）具体计算时常利用图形的几何特征
2）从 参数方程 定义域的分析确定
22
22 1
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解
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例 3 求摆线 的一
拱与 x 轴所围的平面图形的面积 (如图阴影部分 )
由图看出,对应原点 (0,0 ),对应一拱的终点
,所以其面积为,
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三、极坐标下平面图形的面积
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平面图形的面积：
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和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上
下限的确定。确定上下限方法通常也是
1）利用图象； 2）分析 定义域 （见下页示图）
10
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例 4 求双扭线 所围成的平面图形的面积
x
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象限变化的范围为：
在第一而倍。限部分面积的
一象的，故其面积是其在第
对称平面图形是关于坐标轴
它所围成的如图所示，解：
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的面积为：
区域故双纽线所围成的平面
