第 十 章??? 定 积 分 的 应 用 ?§ 1??平 面 图 形 的 面 积 ? 教学内容： 平面图形面积的计算 教学目的： 理解定积分的意义；学会、掌握微元法处理问题的基本思想 熟记平面图形面积的计算公式。 ???????? 一．??直角坐标系下平面图形的面积 ： ?由定积分的几何意义，连续曲线 ?与直线 ?轴所围成的曲边梯形的  ? 面积为 ? 若 ?在 上不都是非负的，则所围成的面积为 ?????????????????????????????? 一般的，有两条连续曲线 ?及直线 所围成的平面图形的面积为 ??????? ??????? ?? ? 1．????? 简单图形： 型和型平面图形 . ?2．????? 简单图形的面积 :? 给出型和型平面图形的面积公式. 对由曲线 ?和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图?形的几何特征 简化计算.? ? 例 1? 求抛物线? ??与直线 ??所围的平面图形的面积. ?  ? 所给的区域不是一个规范的x-区域,? 如图需将其切成两块,? 即可化成x-形区域的面积问题 第一块的面积等于 ??? int('2*sqrt(x)','x',0,1) ans = 4/3 ?? ??????????????????? 第二块的面积等于 int('sqrt(x)-(x-3)/2','x',1,9) ? ans =? 28/3 28/3+4/3 ans =?? 10.6667  总面积???  我们也可以把图形看成 y-形区域计算其面积 int('-y^2+2*y+3','y',-1,3) ans =? 32/3 例2? 求由曲线 围成的平面图形的面积. 例3? 求由抛物线 与直线 所围平面图形的面积. ?3．?参数方程下曲边梯形的面积公式： 设区间上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示 ??? ? 且? 在 上连续，，? （对于 或? 的情况类似讨论）。 ? ?计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法： 1）具体计算时常利用图形的几何特征 .??????????????? 2）从 参数方程 ?定义域的分析确定 ?例2? 求摆线??? ??的一拱与x 轴所围的平面图形的面积? 由图看出,? ?对应原点 (0 , 0 ) ,?? ?对应一拱的终点 ?所以其面积为 ??????????????????????????  int('a^2*(1-cos(t))^2',0,2*pi) ? ans = 3*pi*a^2 ? 例2????? 求由曲线? ??所围图形的面积.? (cd3) 由图看出, 积分的上下限应为 t? 从? –1? 到? 1,?? 其面积为: ?  ?极坐标下平面图形的面积 :  ? ? 若曲线是极坐标方程   ?和参数方程一样，极坐标情况 面积的计算主要困难是积分上下限 的确定。确定上下限方法通常也是 1）利用图象；2）分析 定义域? ?  ?   ? ?　　 例3????????????? 求双扭线 ?所围成的平面图形的面积  ? ? 解? 先看一下双纽线的图象， ?t=0:pi/50:2*pi; r=sqrt(cos(2*t)); r1=real(r); polar(t,r1,'r') ?它由两支，因 ?，所以双扭线 ?所围成的平面图形的面积为 ?? ?int('a^2*cos(2*x)', -pi/4,pi/4) ? ?ans = a^2 ? ?例?? 求曲线与?所围部分的面积 ??????? [例题演示] ?2．三叶形曲线双扭线 ?所围成的平面图形的面积(cd4(n) ) ????t=0:pi/50:2*pi; r=sin(3*t); r1=real(r); polar(t,r1,'r') ? ? ?