§3 初等函数连续性 从前面两节知道基本初等函数中：常函数，三角函数，反三角函数，以及有理指数幂函数，都是定义 域上的连续函数.本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂函数在其定义域内的连续性，以及初等函数在 其定义域内的连续性。 一 指数函数的连续性 在第一章中，我们已定义了实指数的乘幂，并证明了指数函数 在上是严格单调 的.下面先把关于有理指数幂的一个重要性质推广到一般指数幂,然后证明指数函数的连续性。 定理4.10 设 ?为任意实数,则有 . 证明 不妨设，则由第一章§3（6）式所定义，即 . 任给，设为两个有理数，且，使得 . 由 ?的严格增递性，得? . 又有 ，故得 . 由任意性推出? . 为证相反的不等式, 设 为有理数，且 ，使得 . 再取有理数 ?使 , 则有  故得到?? . 由任意性推出,所以有. (后一等式的证明留给读者.) 定理4.11 指数函数在R上是连续的. 证明 先设.有第三章§2例4知  这表明在连续.现任取.由定理4.10得 ?????????????????????????? . 令则当时有,从而有 . 这证明了在任一点处连续. 当时,令,则有,而可看作函数与的复合，所以此时亦在 上连续。利用指数函数的连续性，以及第三章§5例4中已证明的  可知的值域为（）( 时也是如此).于是 的反函数—对数函数 ?在其定义域 () 内也连续. 例1 设.证明 . 证明 补充定义 , 则 ?连续,从而知 在 连续, 所以 ?在 连续.由此得 . 二 初等函数的连续性 由于幂函数（为实数）可表为，它是函数与的复合，故有指数函数与对数函 数的连续性以及复合函数的连续性，推得幂函数在其定义域（）上连续。 前面已经指出，常函数，三角函数，反三角函数都是定义域上的连续函数.因此我们有下述定理： 定理 4.12 一切基本初等函数都是定义域上的连续性函数. 由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到,所以有： 定理4.13 任何初等函数都是定义域上的连续性函数. 例 1 ?求?  解?? ?利用对数函数的连续性， ? 例 2? 求 ? 解 由于是初等函数 定义域内的点，利用初等函数连续性，? 例3? ??????作倒代换 例4? ? 解?? I =  例5?  解??  因? ? 故??? I =  ????? 习? 题? 课 例1? 设函数在区间上连续, 且?? 证明: 在区间上至少存在某个?使  证? 若, 取 或 ?即可; 若?不妨设?设, 应用零点 定理即得所证. 例2设函数在区间上连续，? 试证明：?使? ? 例3? 设?试证明：方程 在区间内有实根. 例4? 设函数在内连续且 ?则在内有最小值. 与 ?比较. 例5? 设函数 ?和 ?在区间I上连续, 且在I的有理点,有  证明: 在I上. 例6 设函数和在区间I上一致连续. 证明函数在区间I上一致连续. 例7 设函数在有限开区间内连续. 则在有限开区间内一致连续 ???和 ?存在( 有限 ). 例 8 设函数在有限开区间 ?内连续. 则 在 ?内一致连续, ?在内一致连续.