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§ 3,平面曲线的弧长与曲率
本节主要介绍平面曲线弧长的计算公式
一、平面曲线的弧长
1、平面曲线弧长的概念
我们已经学习过，利用刘嶶割圆术定义了圆的周长，现将
刘嶶的割圆术加以推广，则可定义出平面曲线的弧长，并得到
平面曲线弧长的计算公式。
0 1 2 1 1
(
,
,,,,,,,,
,
i i n
n
C A B
C A B
A P P P P P P
P B C
??
?
?
?
LL
设平面曲线 为曲线弧），如图
所示 在 上从 到 依次取分点：
它们成为对曲线 的一个分割 x
=A =B
y
o
1P
2P
1?iP
iP
1?nP0P
nP
2
? ?
1
11
1
1
0
( 1,2,,),.
m a x,( ),
.
1
l i m ( ),
ii
n
i i i i
in
i
T
T T C n
P P i n n C
T P P s T P P
CT
s T s C s
?
??
??
?
?
?
??
?
?
L
，记为,然后用线段联结 中每相邻两点，得到 的 条弦：
这 条弦又成为 的一条内接折线 记
分别表示最长弦与折线的总长度
定义 对于曲线 的无论怎样分割,如果存在有限极限
里 则称曲线 是可求长的，并把极限 定义
为曲线的弧长。
一般来说，平面上连续的曲线不一定都可求长，但如果 是
平面上光滑的曲线段一定是可求长的。以下讨论的曲线求
长问题都是指光滑曲线求长的问题。为此先给出光滑曲线
的定义。
3
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
22
22
2 ( ),( ),[,]
,( ) ( ) [,] ( ) ( ) 0 [,
2
1 ) ( ),( ),,
( ) ( ), ( 1 )
2)
C x x t y y t t
x t y t x t y t t
C
C x x t y y t t C
s x t y t dt
C
?
?
??
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ?
????
?
定义 设平面曲线 由参数方程,给出
如果, 在 上连续，且：,,
则称曲线 为一条光滑曲线。
、光滑曲线的弧长公式
、若光滑线 由参数方程,给出，则
一定可求长，则其长为：
证明
、若光滑线 由直角坐标方 ( ),[,] (
( ),[,] ) 1
y f x x a b
x g y y a b
??
??
程,或：
给出，则由（）易得其弧长公式为：
4
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
22
22
22
1 ( ), ( 1 ( ),) ( 2 )
3 ) ( ),( )
( ) ( ) 0 1
( ) ( ),, ( 3 )
bb
aa
s f x d x s g y d y
C r r r
rr
s r r d
?
?
? ? ? ? ?
??
? ? ?
??? ? ? ?
???
???
???
??
?
或：
、若光滑线 由极坐标方程：,,（ 连续，
）给出，则由（）易得其弧长公式为：
? ? ? ?1 s i n,1 c o s,( 0 )x a t t y a t a? ? ? ? ?例 求摆线,一拱的弧长。
解：如图所示
x
y
5
2 0 0
2
xxee
y x x a
??
? ? ? ?例 求悬链线 从 到 的那一段弧长。
解：如图所示：
10
8
6
4
2
-5 5 10
M
o a
ao
x
y
2
xxee
y
??
?
6
6
4
2
2
4
5 5 10
C
B D
2a
x 0
y
? ?1 c o sra ???
3 ( 1 c o s ) ( 0 )r a a?? ? ?例 求心形线 的周长。
解：如图所示：