§ 6 重积分的应用
教学内容：曲面的面积
一、问题的提出
把定积分的元素法推广到二重积分的应用中,
?d
?d
?dyxf ),(
?dyxf ),(),( yx
若要计算的某个量 U对于闭区域 D具有可加性
(即当闭区域 D分成许多小闭区域时，所求量 U相应
地分成许多部分量，且 U等于部分量之和 )，并且
在闭区域 D内任取一个直径很小的闭区域 时，
相应地部分量可近似地表示为 的形式，
其中 在 内．这个 称为所求量 U
的 微 元,记为,所求量的积分表达式为
???
D
dyxfU ?),(
dU
实例 　 一颗地球的同步轨道通讯
卫星的轨道位于地球的赤道平面
内，且可近似认为是圆轨道．通
讯卫星运行的角速率与地球自转
的角速率相同，即人们看到它在
天空不动．若地球半径取为
R
，
问卫星距地面的高度
h
应为多少？
通讯卫星的覆盖面积是多大？
二、曲面的面积
卫星
h
o x
z
１．设曲面的方程为,),( yxfz ?
,Dx o y 面上的投影区域为在
,Dd ??设小区域
,),( ?dyx ?点
.
)),(,,(
的切平面
上过为 yxfyxMS?
.dsdA
dAdss
zd
?
?
?
则有
，为；截切平面为柱面，截曲面
轴的小于边界为准线，母线平行以
如图,
?d
),( yx
M dA
x
y
z
s
?
o ?
,面上的投影在为 xoydAd ??
????? dffdA yx 221
,1 22?? ????
D
yx dffA ?
曲面 S的面积元素
曲面面积公式为,
z
dA
?d
n?
３．设曲面的方程为,),( xzhy ?
曲面面积公式为,.1 22 d z d xhhA
zxD
xz?? ???
２．设曲面的方程为,),( zygx ?
曲面面积公式为,;1 22 d y d zggA
yzD
zy?? ???
同理可得
例 1 求圆锥 22 yxz ??,含在圆柱体
xyx ?? 22 内部的那部分面积,
在 平面上的投影域为 xy
22 yx
xz
x
?
?
22 yx
yz
y
?
?
21 22 ??? yx zz
?
4
22 ?? ?? d x d yS
xyD
面积
解,