第五章 导数和微分
? § 1 导数的概念
? § 2 求导法则
? § 3 参变量函数的导数
? § 4 高阶导数
? § 5 微分
1、给出了导数的物理模型 — 瞬时速度和几何模型 — 切线斜率。
2、给出了函数在一点的导数（可导）的定义和函数在一点的左,
右导数的定义，以及函数在区间上可导的定义；给出了可导与连
续的关系。
3、给出了导数的几何意义 — 切线的斜率。
教学内容,
4、给出了应用导数的定义计算导数的例题。
教学重点, 导数的定义和计算
要求,
1、知道导数的构造性定义,理解导数在研究函数性态方面的作用,
2、知道导数和连续的关系,即可导必连续,连续不一定可导,
3、应用导数的定义计算函数在一点的导数,
§ 1 导数的概念
问题的提出,
在中学里我们学习过，物体作匀速直线运动，其速度等
于位移除以时间。而物体的运动往往不可能总是匀速的，
通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的
平均速度。平均速度不能反映物体的瞬时速度。如果我
们已知物体的运动规律，如何计算它的瞬时速度?
两个例子,
1,瞬时速度
.0
).(
其在该时刻的速度为某一确定的时刻，求若
其运动规律为设一质点作直线运动，
t
tss ?
.]0,[],0[
0
)0()(
0
）上的平均速度（或是质点在时间段
的时刻，则为邻近于设
tttt
tt
tsts
v
tt
?
?
?
则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为
t
svtv
tt ?
???
???? 000
limlim)(
t
tstts
t ?
????
??
)()(l i m 00
0
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
2,切线的斜率
的斜率为因为割线时的位置沿曲线无限接近与点
当动点是割线处的切线在其上一点曲线
PQPQ
PQPTyxPxfy
.
)0,0()(?
x
Q
曲线 在其上一点 )0,0( yxP
,0 )0()( xx xfxfk ???
则极限的极限存在时如果所以当,0 kxx ?
)(xfy ?
0
)0()(lim
0 xx
xfxf
xx
k ??
?
?
即为曲线在点 P的切线的斜率,
O
P
T
y
一 导数的定义
x
y
x ?
?
???
?
0lim)0(xf
).0(,
0,0,
xf
xfxf
?记作处的导数
在点并称该极限为函数处可导在点则称函数存在
极限,的某 邻某邻域内有定义0 x在点 f ( x )设函数y ?
0
)0()(l i m
0 xx
xfxf
xx ?
?
?
定义 1,
即
0xx
)0f(xf ( x )
l im
)0f(x)0f(x
0
l im
0
?
?
?
?
?
???
??
?
xx
x
x
x
.处不可导0 x在点f式 极极限不存在，则 若 称
(1)
.处的切线方程 )1,1(点
并求曲 线,处的导数 1在点x2)( 求函数 1例 在?? xxf
解, 由定义求得
2)2(
0
lim
22
0
lim
x
12x)(1
lim
f ( 1 ))f ( 1
0
lim)1(
0
???
??
?
?
???
??
?
?
???
?
?
?
???
??
?
x
xx
xx
x
xxx
x
x
f
处的切线斜率为)1,1( 在点2 由此知道抛物 线 xy ?
2)( ??? xfk
所以切线方程为
)1(21 ??? xy 即,12 ?? xy
.处不可导 00在点 )(证明函数 2例 ?? xxxf
证 因为
??
?
??
???
?
?
0,1
,0,1
0
)0()(
x
x
x
x
x
fxf
.处不可导 0在点x 所以f,时极限不存在0 ??x当
注,
利用导数的定义可证,常量函数在任何点的导数为零,
即
.0??C
)0(
0x-x
)0f(xf ( x )
x
lim
)0f(x)0f(x
0
lim
0x
lim
0
????
?
?
?
?
???
??
?
?
?
??
?
??
x
x
x
x
xx
y
定义 2,
限
域
若右 极,有定 义
上 )0,0(的某 邻 0在点 )(设函数 ??? xxxxfy
,)0(记作,的右 导0 在点 则称该极限为,存在 xfxf ??数
类似地,可以定义 左导数
0x-x
)0f ( xf ( x )
x
l i m)0f ( x)0f ( x
0
l i m( x )/-f
0-
?
?
?? ???
??
? ?
xx
x
x
左 ﹑ 右导数统称为单侧导数,
单侧导数与导数的关系,
A)0(xf)0(x-fA)0(xf ????????
注, 下列函数个别点的导数或左右导数应用导数的定义,
(1) 函数在个别点的函数值单独定义的,其余点的函数
值用统一解析式定义的 (函数在个别点连续 ),
(2) 求分段函数在分段点的导数,
例
.
0)(
.0,
,0,c o s1
)(
导数与导数
处的左右在讨论设 ?
?
?
?
?
??
? xxf
xx
xx
xf
解 由于
??
?
?
?
??
??
?
??
?
?
???
,0,1
,0,c o s1)0()0(
x
x
x
x
x
fxf
因此
,0c o s1
0
l i m)0( ?? ??
??
??? ? x x
x
f
11
0
l i m)0( ?
??
??? ?
x
f
.处不可导 0 在 所以,)0()0( 因 为 ?????? xfff
.为狄利克雷函数 )(其中,处可导 00仅在点)(2)( 证明函数 4例 xDxxDxxf ??
.处可导0 在点
)(所以,处不连续 00在点 )(由 归归结原理可,时00 当 证
xx
xfxxfx
?
?? 得
.0)(
0
lim
0
)0()(
0
lim)0(
,)(,00
?
?
?
?
?
?
??
?
xxD
xx
fxf
x
f
xDx 因此得到为有界函数由于时当
可导 → 连续 。 即可导是连续的充分条件。
可以证明,
连续是可导的必要条件。
二 导函数
特别
例 证明
(i) nnnxnx,1)( ??? 为正整数,
(ii) xxxx s i n)( c o s,c o s)( s i n ?????
(iii) ),0,1,0(l o g1)( lo g ????? xaae
axxa,
1)(ln
xx ??
.上的可 导 为 则称 ),单侧导数
仅考虑相应的,对区间端点(一点都可 导上 若函数在区 间
函数
导每
If
I
即或记作,,dxdyyf ??
.,)()(0lim)( Ixx xfxxfxxf ?? ???????
定义,
证 (i)和 (iii)的证明略,
(ii) 下面只证第一个等式,类似地可证第二个等式, 由于
)
2
c o s (
2
2
s in)
2
c o s (
2
s in2s in)s in ( x
x
x
x
x
xxx
x
xxx ??
?
?
?
?
???
?
?
???
因此得到,函数上的),( 是co s 又由 连续????x
xxx
xx
x
x
x c o s)
2
c o s (
0
lim
2
2
s in
0
lim)( s in ???
??
?
?
?
??
??
三 ﹑ 导数的几何意义
? ? ? ?
? ? ? ? 处切线方程为,0,0在点 所以曲 线
,处切线的斜率0,0 在点 等于曲 线)0(
yxxfy
yxxfyxf
?
??
? ?? ?000 xxxfyy ????
法线方程为,
)0()
0(
10 xx
xfyy ?????
注,
.
))0(,0()(,
,0)(.
))0(,0()(,0)(
垂直的切线
轴可能存在与在点即曲线是无穷大
它的导数可能不可导在因为函数可能存在切线
在点则曲线不可导在若函数
xxfxxfy
xxf
xfxxfyxxf
?
?
例
.法 线线方
处的切线方程与 )0,0(在点 3求曲 线
程
yxPxy ?
解 由于
,203203 xxxxxy ???????
? ?,203)203203(0lim0 xxxxxxxf ?????????
方程为的切 线 在点 3曲 线,所以 Pxy ?
)0(2030 xxxyy ???
方程为法 线的 在点 3曲 线 Pxy ?
)0(2
03
13
0 xxxxy ????
? ?
.值点
称极大值点﹑极小值点统,极值极大值﹑极小值统称为
,值点)小(为极大0 称点,值)小(取得 极 0在点 则称函数
) ),()0(()(0
有 )0(一切内 )0(的某 邻某0 在点 若函数
极
为
大
对
xxf
xfxfxfxf
xUxxUxf
??
?
定义 3
定理 (费马定理 )
0)0(
,0
.0,0
?? xf
fx
xxf
则必有的极值点为若点
可导且在点的某邻域内有定义在点设函数
注, 极值点与稳定点的关系,
1,极值点不一定是稳定点,稳定点也不一定是极值点,
2,可导函数的极值点一定是稳定点,
达布 (Darboux)定理 (导函数的介值定理 )
kf
ba
bfafkbfafbaf
??
?
?????????
)(
),,(,
)(),(),()(,],[
?
? 使得则至少存在一点之间任一数
为介于且上可导在若函数
证, (略 )
§ 2 求导法则
教学内容,
1,给出了函数的和、差、积、商的求导法则,
2,给出了反函数的求导法则,并得到了指数函数,反三角函数
的求导公式,
3,给出了复合函数的求导法则,并得到了幂函数的求导公式,
教学重点,
熟练掌握复合函数的求导法则,
要求,
1,掌握求导法则,尤其是复合函数的求导法则,
2,能熟练应用求导法则及基本初等函数的求导公式计算
初等函数的导数,
一 导数的四则运算和复合函数的链式法则
))(),((,.4
.
2
11
,
2
.3
);()(,)(.2;)(.1
为可导函数
为常数
xuufy
dx
du
du
dy
dx
dy
v
v
v
vuvu
v
u
cuccuvuvuuv
vuvu
?????
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
????????
??????
则有为可导函数已知,)(),( xvvxuu ??
问题的提出,
从上一节可以看到,应用导数的定义可以求函数的导数,
但通常比较繁琐,有没有更为简单、方便有效的方法求
函数特别是初等函数的导数?
初等函数导数的计算方法,
1.利用求导的四则运算法则及复合函数的链式法则求导；
2.利用反函数求导法则求导；
3.对数求导法；
4.利用导数的定义求导；
例 ).1(),0(,12)( ffxxf ???? 求设
解 由于
,
12
)12(
122
112)(
?
???
?
?
?
?
?
??
?
? ???
x
xx
x
xxf
.21)1(,0)0( ???? ff因此
例 求下列函数的导函数,
.12t a n)()2();21ln ()()1( xxfxxxf ????
解
.
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
)
2
1ln ()1(
xx
x
xx
xx
xx
xx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
二 反函数的导数
基本求导法则,
.1
dy
dxdx
dy ?
例,)(),1,0(ln)()1( xexeaaaxaxa ?????? 特别地其中
.2
1
1)( a r c c o s;
21
1)( a r c s i n)2(
x
x
x
x
?
???
?
??
.2
1
1)c o t(;
21
1)( a r c t a n)3(
x
xa r c
x
x
?
???
?
??
证
.ln
lo g)( lo g
1
)(
,),0(
,lo g,)1(
a
x
a
ea
y
ya
x
a
y
yaxRx
x
ay
??
?
??
???
???
故的反函数
为对数函数由于
(2) (3)的证明略去,
三 对数求导法
对数求导法的步骤,
1,两端取绝对值之后,再取自然对数,
2,等式两端分别对自变量求导,
( x ),yy,3,?左端即等式两端再乘以
例,),4(
)4(5)2(
)4(2)5(
2
1
3
1
yx
xx
xx
y ??
??
??
? 求设
先对函数取对数,得 解
).4l n (
2
1
)2l n (5)4l n (
3
1
)5l n (2
)4(
5
)2(
)4(
2
)5(
lnln
2
1
3
1
????????
??
??
?
xxxx
xx
xx
y
再对上式两边分别求对数,得
.)4(2 125)4(3 152 ????????? xxxxyy
整理后得到
.
)4(2
1
2
5
)4(3
1
5
2
)4(5)2(
)4(2)5(
2
1
3
1
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
xxxx
xx
xx
y
补充, 分段函数的导数
例 设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
? ),1,0(
0,
s i n
0,
2
1
2
)( aa
x
x
x
x
a
x
a
a
xf
).(xf ?求
当 解
2
s i nc o s
)(,0
ln
2
)(,0
x
xxx
xfx
x
aa
a
xfx
?
???
????
当
x
a
xa
a
xx
fxf
x
f
1212
0
lim
0
)0()(
0
lim)0(_
???
?
?
?
?
?
??
??
a
ax
xa
a
x
ln2
)1(2
0
l im ?
?
?
?
?
x
x
x
xx
fxf
x
f
1s in
0
lim)0()(
0
lim)0(
?
?
??
?
???
??
02 1c o s
0
lim2s i n
0
lim ??
?
??
?
? ?? xx
xx
xx
x
)0()0( ????? ff?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
???
.0,
2
s i nc o s
,0,ln
2
)()0(
x
x
xxx
xxaa
axff 因此不存在，故
§ 3 参变量函数的导数
教学内容,
本节给出了由参量方程所确定的参变量函数的
求导法则,
教学重点,
参量方程的求导法则,
要求,
能熟练求出参变量函数的导数,
问题的提出,
前面两节我们学习了显函数的导数的求解方法,如何
求由参量方程所确定的参变量函数的导数呢?
)(
)(
)(
.1
??
?
?
??
?
?
?
?
?
t
ty
tx
C 量方程一般的表达形式是参变平面曲线
)1()( )( ttdxdy ?? ???则
)2(
t a n)()(
)(t a n)(
,)(.2
?????
?????
???
??
??
?
?
dx
dy
C 则给出由极坐标曲线
例 试求由上半椭圆的参变量方程
?????? ?? ttby tax 0,s i n,c o s
所确定的函数 )( xyy ? 的导数,
解 由公式 (1)求得
? ?
? ? ta
b
ta
tb
dt
dx
dt
dy
dx
dy c o t
c o s
s in ??
?
?
??
例
.,2 为常量的夹角上所有点的切线与向径对数螺线证明 ?? ?e?
证 由公式 (2)有
2a r c t a n
,2
2
1)(
)(
t a n
2
2
于的切线与向径的夹角等即在对数螺线上任一点
??
?
?
?
?
??
??
?
e
e
§ 4 高阶导数
教学内容,
1、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数 y=xn、三角函数
y=sinx,y=cosx、指数函数 y=ex的 n阶导数公式。
2、给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。
3、给出了求由参量方程所确定的函数的二阶导数的计算公式。
教学重点,
各类函数高阶导数的计算。
要求,
熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式的应用。
问题的提出,
速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速
度与位移是什么关系呢？
一 高阶导数的概念
1,二阶导数的定义
定义 1：若函数 的导函数 在点 可导，则称 在点
的导数为 在点 的二阶导数，记作,即
同时称 在点 为二阶可导。
2,n 阶导数,的 n-1阶导数的导数称为 的 n 阶导数。
3,高阶导数,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。
0x
f f?
f?f
0x
0x
0()fx??
0
0
0
( ) ( )l i m ( ),
x
f x f x fx
xx??
??? ???
?
f 0x
ff
二 高阶导数的计算
1,n 个初等函数的高阶导数
例 1 求幂函数 （ n 为正整数）的各阶导数。 nyx?
解 由幂函数的求导公式得
1
2
( 1 ) ( 2 )
( ) ( 1 )
( 1 ) ( 2 )
,
( 1 ),
( ) ( 1 ) 2
( ) ( ( 1 ) 2 ) !,
n
n
nn
nn
nn
y n x
y n n x
y y n n x
y y n n x n
yy
?
?
??
?
??
? ?
?? ??
?? ? ?
??? ? ? ?
?
??
?，
?
= ?= 0.
由此可见，对于正整数幂函数 xn，每求导一次，其幂次降低 1，
第 n 阶导数为一常数，大于 n 阶的导数都等于 0。
注,用类似的方法，可求得三角函数 y=sin x,y=cos x及指
数函数的各阶导数。
()
()
()
( sin ) sin ( )
2
( c os ) c os( )
2
()
n
n
x n x
x x n
x x n
ee
?
?
? ? ?
? ? ?
?
2、利用莱布尼茨公式求两个函数乘积的高阶导数
莱布尼茨公式,
)()0()()()1()1(1)0()()()( nkknknnnnn vuvucvucvuuv ???????? ??
?
?
??
n
k
kknk
n vuc
0
)()(
例 4：设,求 xey x c o s?,)5(y
解 令 由例 2和例 3有 xxvexu x c o s)(,)( ??
).2c o s ()(,)( )()( ????? nxxvexu nxn
应用莱布尼茨公式（ n=5）得
)22c o s (10)2c o s (5c o s)5( ?? ?????? xexexey xxx
)25c o s ()24c o s (5)23c o s (10 ??? ????????? xexexe xxx
)c o s( s i n4 xxe x ??
3、分段函数的高阶导数
例 5 研究函数 的高阶导数。
?
?
?
??
??
0,
,0,)(
2
2
xx
xxxf
解 当 时,
当 时,
当 时，由左右导数定义不难求得
而当 时,不存在，整理后得
当 时
0?x
0?x
);3(0)(,2)(,2)( )( ??????? kxfxfxxf k
).3(0)(,2)(,2)( )( ????????? kxfxfxxf k
0?x
,0)0()0()0( ?????? ?? fff
2?n )0()( nf
?
?
?
?
?
??
?
?
??
,0,2
,0,0
,0,2
)(
xx
x
xx
xf
?
?
?
?
?
??
?
?
???
,0,2
,0
,0,2
)(
x
x
x
xf 不存在，
3?n
不存在。)0(),0(0)( )()( nn fxxf ??
4、由参量方程所确定的函数的高阶导数
由参量方程 所确定的函数 的一阶、二阶
导数分别为, ??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
? )( xyy ?
)(
)(
t
t
dx
dy
?
?
?
?? （ 1）
? ? 32
2
)(
)()()()(
t
tttt
dx
yd
?
????
?
???????? （ 2）
例 6 试求由摆线参量方程 所确定的函数
的二阶导数。 ?
?? ??
??
)c os(
),s i n(
ttay
ttax
)( xyy ?
解 由公式（ 1）得
再由公式（ 2）得
.2c o tc o s1 s i n))s i n(( ))c o s1(( ttttta tadxdy ????? ???
.
2
c s c
4
1
)c o s1(
2
c s c
2
1
))s i n((
)
2
( c o t
4
2
2
2 t
ata
t
tta
t
dx
yd ??
?
?
?
??
?
?
§ 5 微分
教学内容,
1、给出了函数在一点得微分（可微）的概念，并证明了可导与
可微是等价的。
2、微分运算法则以及一阶微分形式的不变性。
3、高阶微分的定义与计算，并说明高阶微分不具有形式的不变
性。
4、微分在近似计算中的应用。
要求,
1、掌握微分概念，理解微分的分析和几何意义。
2、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联系。
问题的提出,
恩格斯在, 反社林论, 中指出：“高等数学的主要基础之一
是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。这
里所说的“一定条件”指的是什么？换句话说，怎样的函数可用线
性函数去逼近？
由两部分组成,
（ Ⅰ ） （阴影部分）
（ Ⅱ ） 它是关于 的高阶无穷小量
s?
xx02
,)( 2x? x?
例：设一边长为 x的正方形，它的面积 是 的函数。若边
长由 增加了,相应地正方形面积地增量 2xs ?
x
0x x?
202020 )(2)( xxxxxxs ?????????
x?
因此，当给 一个微小增量 时，由此引
起的正方形增量 可近似地用 的线性部分 来代替，且
由此产生的误差是一个关于 的高阶无穷小量。
0x x?
s? x? xx ?02
x?
一 微分的概念
定义,设函数 定义在点 的某邻域 内。当给
一个增量 时，相应地得到函数的增量为,
如果存在常数 A，使得 能表示成
则称函数 在点 可微，并称（ 1）式中的第一项 为 在
点 的微分，记作
)( xfy ? 0x )(
0xU 0x
)(,00 xUxxx ????
).()( 00 xfxxfy ?????
y?
f 0x
),( xxAy ????? ?（ 1）
xA? f
0x
xAdy xx ??? 0 或 xAxdf xx ??? 0)(
注意,①函数的微分与增量之间仅相差一个关于 的高阶无穷
小量。
②若函数 在点 可微，则在点 的小邻域内可
用切线代替曲线。
x?
f 0x ))(,( 00 xfx
二 可导与可微的联系与区别
1、函数 在点 可导与可微是等价的，且
.)( 0 xxfdy ???
f 0x
))(( 00 xxxfdy ???2、函数 在点 的导数 与微分
的区别。
① 是一个函数，而微分 是 的线性函数,
它的定义域是 R,它是无穷小，即
②从几何意义上说，导数 是曲线 在点 的
切线斜率，而微分 是曲线 在点
的切线方程在点 的纵坐标。
③导数通常用于关于函数性质理论的研究，而微分通常用于近似
计算和微分运算。
)(xf 0x )( 0xf ?
)( 0xf? ))(( 00 xxxfdy ??? x
? ?,0))((limlim 00
00
???? ?? xxxfdy xxxx
)( 0xf? )( xfy ? ))(,( 00 xfx
))(( 00 xxxfdy ??? )( xfy ?
))(,( 00 xfx x
三 微分的运算法则
1、微分运算法则
①
②
③
④
? ? ；)()()()( xdvxduxvxud ???
? ? );()()()()()( xdvxuxduxvxvxud ??;
)(
)()()()(
)(
)(
2 xv
xdvxuxduxv
xv
xud ??
???
?
???
?
).(,)()())(( xgudxxgufxgfd ????? 其中
2、一阶微分方程的不变性
? ? ),(,)( xguxgfy ??
则 ? ? duufdxxgxgfdy )()()( ????
3、函数微分的计算方法
（ 1） 利用微分运算法则
例 1 求 的微分。
22 c o s xI n xxy ??解
)( c o s)()c o s( 2222 xdI n xxdxI n xxddy ????
)( c o s)()( 222 xdI n xdxxI n x d ???
dxxI n xx )s i n212( 2???
（ 2） 利用函数的导数求微分，即 ).( xfdy ??
例 求 的微分。 xIny 2t a n?
解 因为
所以
x
xx
xy 2
2
c o s
s i n22s e c
t a n
1 ?????
dxxxdy 3c o ss i n2?
（ 3）利用一阶微分形式的不变性
例 2 求 的微分。
)s i n ( baxey ??
解 由一阶微分形式不变性，可得
))( s i n ()s i n ( baxdedy bax ?? ?
)()c o s ()s i n ( baxdbaxe bax ??? ?
dxbaxae bax )c o s ()s i n ( ?? ＋
四 高阶微分
3,高阶微分,二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
.)( 22 dxxfyd ???
1,二阶微分,一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
yd2
（ 1）
2,n阶微分,n-1阶微分的微分称为 n阶微分，记作
且有
ydn
.)()( nnn dxxfyd ? （ 2）
例 3 设 分别依公式（ 1）,
（ 2）求
.)(,s i n)( 2ttxxxfy ???? ?
.2yd
解 由 得
依公式（ 1）得
类似地，依公式（ 2）得
,s i n4c o s2,c o s2 2222 tttytty ??????
.)s i n4c o s2( 22222 dttttyd ??
22222 c o ss i n)()( xdxxdxxdxfdxxfyd ????????
22222 2c o s)2(s i n dttdttt ?????
.)s i n4c o s2( 2222 dtttt ??
2s in ty ?
五 微分在近似计算
1、函数的近似计算
近似计算公式,
① 当 很小时,x? xxfdyy ????? )( 0
例 5 设钟摆的周期是 1秒，在冬季摆长至多缩短 0.01cm，试
问此钟每天至多快几秒？
解 由物理学知道，单摆周期 T与摆长 l的关系为,2
g
lT ??
其中 g是重力加速度。已知钟摆周期为 1秒，故此摆原长为
.)2( 20 ?gl ?
当摆长最多缩短 0.01cm时，摆长的增量 它引起
单摆周期的增量 （见下页）
,01.0??? l
lgllgldldTT ll ????????? ?
2
0
21
0
??
).(0002,0)01.0(9802
2
秒???? ?
这就是说,加快约 0.0002秒,因此每天大约加快
).(28.170 0 0 2.0246060 秒????
例 4 求 的近似值。 ?33sin
),606s i n (33s i n ?? ???解 由于 因此取,6,s i n)( 0
??? xxxf
,60???x 由上述式子得到
602
3
2
1
606c o s6s i n33s i n
???? ???????,545.0?
② 当 很小时,xxfxfxxf ????? )()()(
000x?
注,利用该公式时，要找一邻近 的点,使得 和
容易计算。
x )( 0xf0x
)( 0xf?
注,在原点附近常用的近似公式,
xx ?s in xx ?ta n
xxIn ?? )1( xe x ?? 1
2、误差估计
绝对误差限公式,
xxfxxfy ?)()( 00 ??????
（ 为误差限）
x?
相对误差限公式,
x
y
xf
xf
y ?
?
)(
)(
0
0
0
??
例 6 设测得一球体的直径为 42cm，测量工具的精度为 0.05cm,
试求以此直径计算球体体积时所引起的误差。
解 由直径 d计算球体体积的函数式为 3
6
1 dV ??
取 求得,05.0,420 ?? dd ? ),(39.38792
6
1 33
00 cmdV ?? ?
并由上述公式可求得体积的绝对误差限和相对误差限分别为
)(54.138
05.042
22
1
3
22
0
cm
d dv
?
?????
?
???
00
057.33
6
1
2
1
03
0
2
0
0
???? ddv
dd
d
V
??
?
??
? § 1 导数的概念
? § 2 求导法则
? § 3 参变量函数的导数
? § 4 高阶导数
? § 5 微分
1、给出了导数的物理模型 — 瞬时速度和几何模型 — 切线斜率。
2、给出了函数在一点的导数（可导）的定义和函数在一点的左,
右导数的定义，以及函数在区间上可导的定义；给出了可导与连
续的关系。
3、给出了导数的几何意义 — 切线的斜率。
教学内容,
4、给出了应用导数的定义计算导数的例题。
教学重点, 导数的定义和计算
要求,
1、知道导数的构造性定义,理解导数在研究函数性态方面的作用,
2、知道导数和连续的关系,即可导必连续,连续不一定可导,
3、应用导数的定义计算函数在一点的导数,
§ 1 导数的概念
问题的提出,
在中学里我们学习过，物体作匀速直线运动，其速度等
于位移除以时间。而物体的运动往往不可能总是匀速的，
通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的
平均速度。平均速度不能反映物体的瞬时速度。如果我
们已知物体的运动规律，如何计算它的瞬时速度?
两个例子,
1,瞬时速度
.0
).(
其在该时刻的速度为某一确定的时刻，求若
其运动规律为设一质点作直线运动，
t
tss ?
.]0,[],0[
0
)0()(
0
）上的平均速度（或是质点在时间段
的时刻，则为邻近于设
tttt
tt
tsts
v
tt
?
?
?
则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为
t
svtv
tt ?
???
???? 000
limlim)(
t
tstts
t ?
????
??
)()(l i m 00
0
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
2,切线的斜率
的斜率为因为割线时的位置沿曲线无限接近与点
当动点是割线处的切线在其上一点曲线
PQPQ
PQPTyxPxfy
.
)0,0()(?
x
Q
曲线 在其上一点 )0,0( yxP
,0 )0()( xx xfxfk ???
则极限的极限存在时如果所以当,0 kxx ?
)(xfy ?
0
)0()(lim
0 xx
xfxf
xx
k ??
?
?
即为曲线在点 P的切线的斜率,
O
P
T
y
一 导数的定义
x
y
x ?
?
???
?
0lim)0(xf
).0(,
0,0,
xf
xfxf
?记作处的导数
在点并称该极限为函数处可导在点则称函数存在
极限,的某 邻某邻域内有定义0 x在点 f ( x )设函数y ?
0
)0()(l i m
0 xx
xfxf
xx ?
?
?
定义 1,
即
0xx
)0f(xf ( x )
l im
)0f(x)0f(x
0
l im
0
?
?
?
?
?
???
??
?
xx
x
x
x
.处不可导0 x在点f式 极极限不存在，则 若 称
(1)
.处的切线方程 )1,1(点
并求曲 线,处的导数 1在点x2)( 求函数 1例 在?? xxf
解, 由定义求得
2)2(
0
lim
22
0
lim
x
12x)(1
lim
f ( 1 ))f ( 1
0
lim)1(
0
???
??
?
?
???
??
?
?
???
?
?
?
???
??
?
x
xx
xx
x
xxx
x
x
f
处的切线斜率为)1,1( 在点2 由此知道抛物 线 xy ?
2)( ??? xfk
所以切线方程为
)1(21 ??? xy 即,12 ?? xy
.处不可导 00在点 )(证明函数 2例 ?? xxxf
证 因为
??
?
??
???
?
?
0,1
,0,1
0
)0()(
x
x
x
x
x
fxf
.处不可导 0在点x 所以f,时极限不存在0 ??x当
注,
利用导数的定义可证,常量函数在任何点的导数为零,
即
.0??C
)0(
0x-x
)0f(xf ( x )
x
lim
)0f(x)0f(x
0
lim
0x
lim
0
????
?
?
?
?
???
??
?
?
?
??
?
??
x
x
x
x
xx
y
定义 2,
限
域
若右 极,有定 义
上 )0,0(的某 邻 0在点 )(设函数 ??? xxxxfy
,)0(记作,的右 导0 在点 则称该极限为,存在 xfxf ??数
类似地,可以定义 左导数
0x-x
)0f ( xf ( x )
x
l i m)0f ( x)0f ( x
0
l i m( x )/-f
0-
?
?
?? ???
??
? ?
xx
x
x
左 ﹑ 右导数统称为单侧导数,
单侧导数与导数的关系,
A)0(xf)0(x-fA)0(xf ????????
注, 下列函数个别点的导数或左右导数应用导数的定义,
(1) 函数在个别点的函数值单独定义的,其余点的函数
值用统一解析式定义的 (函数在个别点连续 ),
(2) 求分段函数在分段点的导数,
例
.
0)(
.0,
,0,c o s1
)(
导数与导数
处的左右在讨论设 ?
?
?
?
?
??
? xxf
xx
xx
xf
解 由于
??
?
?
?
??
??
?
??
?
?
???
,0,1
,0,c o s1)0()0(
x
x
x
x
x
fxf
因此
,0c o s1
0
l i m)0( ?? ??
??
??? ? x x
x
f
11
0
l i m)0( ?
??
??? ?
x
f
.处不可导 0 在 所以,)0()0( 因 为 ?????? xfff
.为狄利克雷函数 )(其中,处可导 00仅在点)(2)( 证明函数 4例 xDxxDxxf ??
.处可导0 在点
)(所以,处不连续 00在点 )(由 归归结原理可,时00 当 证
xx
xfxxfx
?
?? 得
.0)(
0
lim
0
)0()(
0
lim)0(
,)(,00
?
?
?
?
?
?
??
?
xxD
xx
fxf
x
f
xDx 因此得到为有界函数由于时当
可导 → 连续 。 即可导是连续的充分条件。
可以证明,
连续是可导的必要条件。
二 导函数
特别
例 证明
(i) nnnxnx,1)( ??? 为正整数,
(ii) xxxx s i n)( c o s,c o s)( s i n ?????
(iii) ),0,1,0(l o g1)( lo g ????? xaae
axxa,
1)(ln
xx ??
.上的可 导 为 则称 ),单侧导数
仅考虑相应的,对区间端点(一点都可 导上 若函数在区 间
函数
导每
If
I
即或记作,,dxdyyf ??
.,)()(0lim)( Ixx xfxxfxxf ?? ???????
定义,
证 (i)和 (iii)的证明略,
(ii) 下面只证第一个等式,类似地可证第二个等式, 由于
)
2
c o s (
2
2
s in)
2
c o s (
2
s in2s in)s in ( x
x
x
x
x
xxx
x
xxx ??
?
?
?
?
???
?
?
???
因此得到,函数上的),( 是co s 又由 连续????x
xxx
xx
x
x
x c o s)
2
c o s (
0
lim
2
2
s in
0
lim)( s in ???
??
?
?
?
??
??
三 ﹑ 导数的几何意义
? ? ? ?
? ? ? ? 处切线方程为,0,0在点 所以曲 线
,处切线的斜率0,0 在点 等于曲 线)0(
yxxfy
yxxfyxf
?
??
? ?? ?000 xxxfyy ????
法线方程为,
)0()
0(
10 xx
xfyy ?????
注,
.
))0(,0()(,
,0)(.
))0(,0()(,0)(
垂直的切线
轴可能存在与在点即曲线是无穷大
它的导数可能不可导在因为函数可能存在切线
在点则曲线不可导在若函数
xxfxxfy
xxf
xfxxfyxxf
?
?
例
.法 线线方
处的切线方程与 )0,0(在点 3求曲 线
程
yxPxy ?
解 由于
,203203 xxxxxy ???????
? ?,203)203203(0lim0 xxxxxxxf ?????????
方程为的切 线 在点 3曲 线,所以 Pxy ?
)0(2030 xxxyy ???
方程为法 线的 在点 3曲 线 Pxy ?
)0(2
03
13
0 xxxxy ????
? ?
.值点
称极大值点﹑极小值点统,极值极大值﹑极小值统称为
,值点)小(为极大0 称点,值)小(取得 极 0在点 则称函数
) ),()0(()(0
有 )0(一切内 )0(的某 邻某0 在点 若函数
极
为
大
对
xxf
xfxfxfxf
xUxxUxf
??
?
定义 3
定理 (费马定理 )
0)0(
,0
.0,0
?? xf
fx
xxf
则必有的极值点为若点
可导且在点的某邻域内有定义在点设函数
注, 极值点与稳定点的关系,
1,极值点不一定是稳定点,稳定点也不一定是极值点,
2,可导函数的极值点一定是稳定点,
达布 (Darboux)定理 (导函数的介值定理 )
kf
ba
bfafkbfafbaf
??
?
?????????
)(
),,(,
)(),(),()(,],[
?
? 使得则至少存在一点之间任一数
为介于且上可导在若函数
证, (略 )
§ 2 求导法则
教学内容,
1,给出了函数的和、差、积、商的求导法则,
2,给出了反函数的求导法则,并得到了指数函数,反三角函数
的求导公式,
3,给出了复合函数的求导法则,并得到了幂函数的求导公式,
教学重点,
熟练掌握复合函数的求导法则,
要求,
1,掌握求导法则,尤其是复合函数的求导法则,
2,能熟练应用求导法则及基本初等函数的求导公式计算
初等函数的导数,
一 导数的四则运算和复合函数的链式法则
))(),((,.4
.
2
11
,
2
.3
);()(,)(.2;)(.1
为可导函数
为常数
xuufy
dx
du
du
dy
dx
dy
v
v
v
vuvu
v
u
cuccuvuvuuv
vuvu
?????
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
????????
??????
则有为可导函数已知,)(),( xvvxuu ??
问题的提出,
从上一节可以看到,应用导数的定义可以求函数的导数,
但通常比较繁琐,有没有更为简单、方便有效的方法求
函数特别是初等函数的导数?
初等函数导数的计算方法,
1.利用求导的四则运算法则及复合函数的链式法则求导；
2.利用反函数求导法则求导；
3.对数求导法；
4.利用导数的定义求导；
例 ).1(),0(,12)( ffxxf ???? 求设
解 由于
,
12
)12(
122
112)(
?
???
?
?
?
?
?
??
?
? ???
x
xx
x
xxf
.21)1(,0)0( ???? ff因此
例 求下列函数的导函数,
.12t a n)()2();21ln ()()1( xxfxxxf ????
解
.
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
)
2
1ln ()1(
xx
x
xx
xx
xx
xx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
二 反函数的导数
基本求导法则,
.1
dy
dxdx
dy ?
例,)(),1,0(ln)()1( xexeaaaxaxa ?????? 特别地其中
.2
1
1)( a r c c o s;
21
1)( a r c s i n)2(
x
x
x
x
?
???
?
??
.2
1
1)c o t(;
21
1)( a r c t a n)3(
x
xa r c
x
x
?
???
?
??
证
.ln
lo g)( lo g
1
)(
,),0(
,lo g,)1(
a
x
a
ea
y
ya
x
a
y
yaxRx
x
ay
??
?
??
???
???
故的反函数
为对数函数由于
(2) (3)的证明略去,
三 对数求导法
对数求导法的步骤,
1,两端取绝对值之后,再取自然对数,
2,等式两端分别对自变量求导,
( x ),yy,3,?左端即等式两端再乘以
例,),4(
)4(5)2(
)4(2)5(
2
1
3
1
yx
xx
xx
y ??
??
??
? 求设
先对函数取对数,得 解
).4l n (
2
1
)2l n (5)4l n (
3
1
)5l n (2
)4(
5
)2(
)4(
2
)5(
lnln
2
1
3
1
????????
??
??
?
xxxx
xx
xx
y
再对上式两边分别求对数,得
.)4(2 125)4(3 152 ????????? xxxxyy
整理后得到
.
)4(2
1
2
5
)4(3
1
5
2
)4(5)2(
)4(2)5(
2
1
3
1
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
xxxx
xx
xx
y
补充, 分段函数的导数
例 设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
? ),1,0(
0,
s i n
0,
2
1
2
)( aa
x
x
x
x
a
x
a
a
xf
).(xf ?求
当 解
2
s i nc o s
)(,0
ln
2
)(,0
x
xxx
xfx
x
aa
a
xfx
?
???
????
当
x
a
xa
a
xx
fxf
x
f
1212
0
lim
0
)0()(
0
lim)0(_
???
?
?
?
?
?
??
??
a
ax
xa
a
x
ln2
)1(2
0
l im ?
?
?
?
?
x
x
x
xx
fxf
x
f
1s in
0
lim)0()(
0
lim)0(
?
?
??
?
???
??
02 1c o s
0
lim2s i n
0
lim ??
?
??
?
? ?? xx
xx
xx
x
)0()0( ????? ff?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
???
.0,
2
s i nc o s
,0,ln
2
)()0(
x
x
xxx
xxaa
axff 因此不存在，故
§ 3 参变量函数的导数
教学内容,
本节给出了由参量方程所确定的参变量函数的
求导法则,
教学重点,
参量方程的求导法则,
要求,
能熟练求出参变量函数的导数,
问题的提出,
前面两节我们学习了显函数的导数的求解方法,如何
求由参量方程所确定的参变量函数的导数呢?
)(
)(
)(
.1
??
?
?
??
?
?
?
?
?
t
ty
tx
C 量方程一般的表达形式是参变平面曲线
)1()( )( ttdxdy ?? ???则
)2(
t a n)()(
)(t a n)(
,)(.2
?????
?????
???
??
??
?
?
dx
dy
C 则给出由极坐标曲线
例 试求由上半椭圆的参变量方程
?????? ?? ttby tax 0,s i n,c o s
所确定的函数 )( xyy ? 的导数,
解 由公式 (1)求得
? ?
? ? ta
b
ta
tb
dt
dx
dt
dy
dx
dy c o t
c o s
s in ??
?
?
??
例
.,2 为常量的夹角上所有点的切线与向径对数螺线证明 ?? ?e?
证 由公式 (2)有
2a r c t a n
,2
2
1)(
)(
t a n
2
2
于的切线与向径的夹角等即在对数螺线上任一点
??
?
?
?
?
??
??
?
e
e
§ 4 高阶导数
教学内容,
1、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数 y=xn、三角函数
y=sinx,y=cosx、指数函数 y=ex的 n阶导数公式。
2、给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。
3、给出了求由参量方程所确定的函数的二阶导数的计算公式。
教学重点,
各类函数高阶导数的计算。
要求,
熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式的应用。
问题的提出,
速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速
度与位移是什么关系呢？
一 高阶导数的概念
1,二阶导数的定义
定义 1：若函数 的导函数 在点 可导，则称 在点
的导数为 在点 的二阶导数，记作,即
同时称 在点 为二阶可导。
2,n 阶导数,的 n-1阶导数的导数称为 的 n 阶导数。
3,高阶导数,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。
0x
f f?
f?f
0x
0x
0()fx??
0
0
0
( ) ( )l i m ( ),
x
f x f x fx
xx??
??? ???
?
f 0x
ff
二 高阶导数的计算
1,n 个初等函数的高阶导数
例 1 求幂函数 （ n 为正整数）的各阶导数。 nyx?
解 由幂函数的求导公式得
1
2
( 1 ) ( 2 )
( ) ( 1 )
( 1 ) ( 2 )
,
( 1 ),
( ) ( 1 ) 2
( ) ( ( 1 ) 2 ) !,
n
n
nn
nn
nn
y n x
y n n x
y y n n x
y y n n x n
yy
?
?
??
?
??
? ?
?? ??
?? ? ?
??? ? ? ?
?
??
?，
?
= ?= 0.
由此可见，对于正整数幂函数 xn，每求导一次，其幂次降低 1，
第 n 阶导数为一常数，大于 n 阶的导数都等于 0。
注,用类似的方法，可求得三角函数 y=sin x,y=cos x及指
数函数的各阶导数。
()
()
()
( sin ) sin ( )
2
( c os ) c os( )
2
()
n
n
x n x
x x n
x x n
ee
?
?
? ? ?
? ? ?
?
2、利用莱布尼茨公式求两个函数乘积的高阶导数
莱布尼茨公式,
)()0()()()1()1(1)0()()()( nkknknnnnn vuvucvucvuuv ???????? ??
?
?
??
n
k
kknk
n vuc
0
)()(
例 4：设,求 xey x c o s?,)5(y
解 令 由例 2和例 3有 xxvexu x c o s)(,)( ??
).2c o s ()(,)( )()( ????? nxxvexu nxn
应用莱布尼茨公式（ n=5）得
)22c o s (10)2c o s (5c o s)5( ?? ?????? xexexey xxx
)25c o s ()24c o s (5)23c o s (10 ??? ????????? xexexe xxx
)c o s( s i n4 xxe x ??
3、分段函数的高阶导数
例 5 研究函数 的高阶导数。
?
?
?
??
??
0,
,0,)(
2
2
xx
xxxf
解 当 时,
当 时,
当 时，由左右导数定义不难求得
而当 时,不存在，整理后得
当 时
0?x
0?x
);3(0)(,2)(,2)( )( ??????? kxfxfxxf k
).3(0)(,2)(,2)( )( ????????? kxfxfxxf k
0?x
,0)0()0()0( ?????? ?? fff
2?n )0()( nf
?
?
?
?
?
??
?
?
??
,0,2
,0,0
,0,2
)(
xx
x
xx
xf
?
?
?
?
?
??
?
?
???
,0,2
,0
,0,2
)(
x
x
x
xf 不存在，
3?n
不存在。)0(),0(0)( )()( nn fxxf ??
4、由参量方程所确定的函数的高阶导数
由参量方程 所确定的函数 的一阶、二阶
导数分别为, ??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
? )( xyy ?
)(
)(
t
t
dx
dy
?
?
?
?? （ 1）
? ? 32
2
)(
)()()()(
t
tttt
dx
yd
?
????
?
???????? （ 2）
例 6 试求由摆线参量方程 所确定的函数
的二阶导数。 ?
?? ??
??
)c os(
),s i n(
ttay
ttax
)( xyy ?
解 由公式（ 1）得
再由公式（ 2）得
.2c o tc o s1 s i n))s i n(( ))c o s1(( ttttta tadxdy ????? ???
.
2
c s c
4
1
)c o s1(
2
c s c
2
1
))s i n((
)
2
( c o t
4
2
2
2 t
ata
t
tta
t
dx
yd ??
?
?
?
??
?
?
§ 5 微分
教学内容,
1、给出了函数在一点得微分（可微）的概念，并证明了可导与
可微是等价的。
2、微分运算法则以及一阶微分形式的不变性。
3、高阶微分的定义与计算，并说明高阶微分不具有形式的不变
性。
4、微分在近似计算中的应用。
要求,
1、掌握微分概念，理解微分的分析和几何意义。
2、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联系。
问题的提出,
恩格斯在, 反社林论, 中指出：“高等数学的主要基础之一
是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。这
里所说的“一定条件”指的是什么？换句话说，怎样的函数可用线
性函数去逼近？
由两部分组成,
（ Ⅰ ） （阴影部分）
（ Ⅱ ） 它是关于 的高阶无穷小量
s?
xx02
,)( 2x? x?
例：设一边长为 x的正方形，它的面积 是 的函数。若边
长由 增加了,相应地正方形面积地增量 2xs ?
x
0x x?
202020 )(2)( xxxxxxs ?????????
x?
因此，当给 一个微小增量 时，由此引
起的正方形增量 可近似地用 的线性部分 来代替，且
由此产生的误差是一个关于 的高阶无穷小量。
0x x?
s? x? xx ?02
x?
一 微分的概念
定义,设函数 定义在点 的某邻域 内。当给
一个增量 时，相应地得到函数的增量为,
如果存在常数 A，使得 能表示成
则称函数 在点 可微，并称（ 1）式中的第一项 为 在
点 的微分，记作
)( xfy ? 0x )(
0xU 0x
)(,00 xUxxx ????
).()( 00 xfxxfy ?????
y?
f 0x
),( xxAy ????? ?（ 1）
xA? f
0x
xAdy xx ??? 0 或 xAxdf xx ??? 0)(
注意,①函数的微分与增量之间仅相差一个关于 的高阶无穷
小量。
②若函数 在点 可微，则在点 的小邻域内可
用切线代替曲线。
x?
f 0x ))(,( 00 xfx
二 可导与可微的联系与区别
1、函数 在点 可导与可微是等价的，且
.)( 0 xxfdy ???
f 0x
))(( 00 xxxfdy ???2、函数 在点 的导数 与微分
的区别。
① 是一个函数，而微分 是 的线性函数,
它的定义域是 R,它是无穷小，即
②从几何意义上说，导数 是曲线 在点 的
切线斜率，而微分 是曲线 在点
的切线方程在点 的纵坐标。
③导数通常用于关于函数性质理论的研究，而微分通常用于近似
计算和微分运算。
)(xf 0x )( 0xf ?
)( 0xf? ))(( 00 xxxfdy ??? x
? ?,0))((limlim 00
00
???? ?? xxxfdy xxxx
)( 0xf? )( xfy ? ))(,( 00 xfx
))(( 00 xxxfdy ??? )( xfy ?
))(,( 00 xfx x
三 微分的运算法则
1、微分运算法则
①
②
③
④
? ? ；)()()()( xdvxduxvxud ???
? ? );()()()()()( xdvxuxduxvxvxud ??;
)(
)()()()(
)(
)(
2 xv
xdvxuxduxv
xv
xud ??
???
?
???
?
).(,)()())(( xgudxxgufxgfd ????? 其中
2、一阶微分方程的不变性
? ? ),(,)( xguxgfy ??
则 ? ? duufdxxgxgfdy )()()( ????
3、函数微分的计算方法
（ 1） 利用微分运算法则
例 1 求 的微分。
22 c o s xI n xxy ??解
)( c o s)()c o s( 2222 xdI n xxdxI n xxddy ????
)( c o s)()( 222 xdI n xdxxI n x d ???
dxxI n xx )s i n212( 2???
（ 2） 利用函数的导数求微分，即 ).( xfdy ??
例 求 的微分。 xIny 2t a n?
解 因为
所以
x
xx
xy 2
2
c o s
s i n22s e c
t a n
1 ?????
dxxxdy 3c o ss i n2?
（ 3）利用一阶微分形式的不变性
例 2 求 的微分。
)s i n ( baxey ??
解 由一阶微分形式不变性，可得
))( s i n ()s i n ( baxdedy bax ?? ?
)()c o s ()s i n ( baxdbaxe bax ??? ?
dxbaxae bax )c o s ()s i n ( ?? ＋
四 高阶微分
3,高阶微分,二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
.)( 22 dxxfyd ???
1,二阶微分,一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
yd2
（ 1）
2,n阶微分,n-1阶微分的微分称为 n阶微分，记作
且有
ydn
.)()( nnn dxxfyd ? （ 2）
例 3 设 分别依公式（ 1）,
（ 2）求
.)(,s i n)( 2ttxxxfy ???? ?
.2yd
解 由 得
依公式（ 1）得
类似地，依公式（ 2）得
,s i n4c o s2,c o s2 2222 tttytty ??????
.)s i n4c o s2( 22222 dttttyd ??
22222 c o ss i n)()( xdxxdxxdxfdxxfyd ????????
22222 2c o s)2(s i n dttdttt ?????
.)s i n4c o s2( 2222 dtttt ??
2s in ty ?
五 微分在近似计算
1、函数的近似计算
近似计算公式,
① 当 很小时,x? xxfdyy ????? )( 0
例 5 设钟摆的周期是 1秒，在冬季摆长至多缩短 0.01cm，试
问此钟每天至多快几秒？
解 由物理学知道，单摆周期 T与摆长 l的关系为,2
g
lT ??
其中 g是重力加速度。已知钟摆周期为 1秒，故此摆原长为
.)2( 20 ?gl ?
当摆长最多缩短 0.01cm时，摆长的增量 它引起
单摆周期的增量 （见下页）
,01.0??? l
lgllgldldTT ll ????????? ?
2
0
21
0
??
).(0002,0)01.0(9802
2
秒???? ?
这就是说,加快约 0.0002秒,因此每天大约加快
).(28.170 0 0 2.0246060 秒????
例 4 求 的近似值。 ?33sin
),606s i n (33s i n ?? ???解 由于 因此取,6,s i n)( 0
??? xxxf
,60???x 由上述式子得到
602
3
2
1
606c o s6s i n33s i n
???? ???????,545.0?
② 当 很小时,xxfxfxxf ????? )()()(
000x?
注,利用该公式时，要找一邻近 的点,使得 和
容易计算。
x )( 0xf0x
)( 0xf?
注,在原点附近常用的近似公式,
xx ?s in xx ?ta n
xxIn ?? )1( xe x ?? 1
2、误差估计
绝对误差限公式,
xxfxxfy ?)()( 00 ??????
（ 为误差限）
x?
相对误差限公式,
x
y
xf
xf
y ?
?
)(
)(
0
0
0
??
例 6 设测得一球体的直径为 42cm，测量工具的精度为 0.05cm,
试求以此直径计算球体体积时所引起的误差。
解 由直径 d计算球体体积的函数式为 3
6
1 dV ??
取 求得,05.0,420 ?? dd ? ),(39.38792
6
1 33
00 cmdV ?? ?
并由上述公式可求得体积的绝对误差限和相对误差限分别为
)(54.138
05.042
22
1
3
22
0
cm
d dv
?
?????
?
???
00
057.33
6
1
2
1
03
0
2
0
0
???? ddv
dd
d
V
??
?
??
