§ 3 瑕积分的性质与收敛判别
教学内容,
1,瑕积分的性质
2,瑕积分收敛的判别
。其它几种情形类似可得
的性质及收敛判别，为瑕点）以下只给出；无穷积分的相应的内容本节的内容类似于上节说明：
?
b
a
adxxf ()()2(
)1(
一, 瑕积分的性质
存在的柯西准则可得是否存在极限。由极限
时当收敛与否取决于，则设 ??? ?? auuFdxxfdxxfuF b
a
b
u
)()()()(
1,瑕积分收敛的柯西准则
?
??
?
???
???
?
?? ?
?
2
11 2
)()()(
),(0
0()(
21
u
u
b
u
b
u
b
a
dxxfdxxfdxxf
aauu
adxxf
，便有、只要，存在
，给收敛的充要条件是：任为瑕点）瑕积分定理 11.5,
2,瑕积分的性质
性质 1,
? ??
?
??
???
?
?
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxfkdxxfkdxxfkxfk
dxxfkxfkkk
dxxfdxxfaxff
)1()()()]()([
)]()([
)()(,
22112211
221121
2121
也收敛，且为任意常数，则、
收敛，都与若的瑕点同为与设函数
性质 2,
分。其中右边第二项是定积
同敛态，且有与
为任一常数。则瑕积分的瑕点为设函数
? ??
??
??
??
b
a
b
c
c
a
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
dxxfdxxf
bacaxf
)2()()()(
)()(
),(,
3,瑕积分的绝对收敛与条件收敛
收敛，则称若瑕积分的瑕点为设函数 ?? ba dxxfaxf )(,
绝对收敛；
收敛，发散，而若 ? ?ba ba dxxfdxxf )()(
条件收敛。
? ba dxxf )(瑕积分
? ba dxxf )(则称瑕积分
性质 3,
??
??
?
?
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxf
dxxfdxxf
bubafaxf
)3()()(
)()(
],[],(,
亦必收敛，且有收敛时，则当
上可积。的任一内闭区间在的瑕点为设函数
说明：性质 3指出：绝对收敛的瑕积分必收敛，但反之未必。
（今后举例说明）
二, 瑕积分敛散性的判别
时条件：当 0)( ?xf
1,瑕积分收敛的比较判别法
（ 1）不等式形式
定理 11.6,
必发散。发散时，）当（
必收敛；收敛时，）当则（
，
上可积，且满足都在任何区间
瑕点均为和上的两个非负函数设定义在
??
? ?
??
?
?
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxf
dxxfdxxg
baxxgxf
babu
axgfba
)()(2
)()(1
],()()(
],(],[
,],(
定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散。（与级数类似）
（ 2）极限形式
推论 1,
则有：上可积，若有任何区间
且它们都在瑕点同为和设函数
＋
,
)(
)(lim],(],[
,0)(,0)(,
c
xg
xfbabu
xgxfaxgf
ax
??
???
?
也发散。发散可推知时，由）当（
也收敛；收敛可推知时，由）当（
同敛态；与时，）当（
??
??
? ?
???
?
????
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxgc
dxxfdxxgc
dxxgdxxfc
)()(3
)()(02
)()(01
注意, 1.推论中，当 c=0时只能判别收敛；当 c为正无穷大时
只能判别发散；
2.用此推论时要找分母的 g(x)且 敛散性要知道；的? b
a dxxg )(
3.找 g(x)的时候最好使极限是一个非 0的常数。
可以得柯西判别法特殊地，取 paxxg )( 1)( ??
2,瑕积分收敛的柯西判别法
上可积，则有：且在任何区间
为其瑕点定义在不等式形式）设
],[
,0)(,],,((
bu
xfabaf ?推论 2,
发散。时且）当（
收敛；时且）当（
?
?
?
?
?
??
?
?
b
ap
b
ap
dxxfp
ax
xf
dxxfp
ax
xf
)(,1,
)(
1
)(2
)(,10,
)(
1
)(1
推论 3,
，则有：上可积，如果区间
且在任何为其瑕点定义在极限形式）设
????
?
??
)()(lim],(],[
,0)(,,],((
xfaxbabu
xfabaf
p
ax
发散。时）当（
收敛；时）当（
?
?
?????
??????
b
a
b
a
dxxfp
dxxfp
)(,0,12
)(,0,101
?
?
注意, 1.实际应用中，常用推论 3；
2.用推论 3时要找 p,使同时满足 p及 的条件；?
3.找 p的时候最好使极限是一个非 0的常数。
例 1,讨论下列瑕积分的收敛性,
?? 2110 ln)2(ln1 dxxxdxxx ；）（
解题思路,1.解题前要先判别瑕点是哪个；
2.要用柯西判别法必须保证被积函数是非负函数。
解,(1)
x
xx
x
x ln]1,0(,0ln ???,所以考虑由于
的瑕点是所以再因为 xxxxxx ln0,)ln(lim 0 ???????
0)4(limlnlim)ln(lim 4
1
0
4
10
43
0
?????
??? ????
x
x
x
x
xx
xxx
由于
,ln3,043 10 是收敛的得所以由推论，此时 dxxxp ? ??? ?
,lnln 1010 是同敛散的与而 dxxxdxxx ?? ? 是收敛的。所以 dxxx? 10 ln
(2),]2,1(,0
ln ?? xx
x 的瑕点是所以因为
x
xx
x
x
x ln
1,lnlim
1
????
?
1ln 1limln)1(lim
11
????? ??
?? x
x
x
xx
xx
由于
是发散的。得所以由推论，此时 dxxxp ??? 21 ln3,11 ?
下面看一个无穷积分及瑕积分的综合例子,
例 2,讨论反常积分 的收敛性。dx
x
x? ?? ?
?? 0
1
1)(
?
??
解题思路：此题既是无穷积分也是瑕积分 (x=0是瑕点 ),要分开考虑。
解, )()(
11)( 1
11
0
1
????
??
JIdxxxdxxx ????? ?? ??
??
＋
：先讨论 dxxxI ? ??
?1
0
1
1)(
?
?
时它是定积分；，即－当 101)1( ?? ??
是瑕点。时它是瑕积分，，即－当 0101)2( ??? x??
可知由推论由于 － 3,11lim 110 ??? ?? ? xxxx ??
收敛；时，，即当 )(1,0110 ???? Ip ??????
发散。时，，即当 )(1,011 ???? Ip ?????
：再讨论 dxxxJ ? ??
?
?? 1
1
1)(
?
?
可知由上节推论由于 － 3,11lim1lim 12 ????? ??????? xxxxx xx ??
收敛；时，，即当 )(1,112 ???? Jp ?????
发散。时，，即当 )(1,112 ???? Jp ?????
综上所述，把讨论结果列表如下,
?
)(?I
)(?J
)(??
0?? 10 ?? ? 1??
发散
发散
发散
发散
收敛
收敛
收敛
收敛
定积分
由此可见，反常积分 时才是收敛的。只有当 10)( ?? ???
教学内容,
1,瑕积分的性质
2,瑕积分收敛的判别
。其它几种情形类似可得
的性质及收敛判别，为瑕点）以下只给出；无穷积分的相应的内容本节的内容类似于上节说明：
?
b
a
adxxf ()()2(
)1(
一, 瑕积分的性质
存在的柯西准则可得是否存在极限。由极限
时当收敛与否取决于，则设 ??? ?? auuFdxxfdxxfuF b
a
b
u
)()()()(
1,瑕积分收敛的柯西准则
?
??
?
???
???
?
?? ?
?
2
11 2
)()()(
),(0
0()(
21
u
u
b
u
b
u
b
a
dxxfdxxfdxxf
aauu
adxxf
，便有、只要，存在
，给收敛的充要条件是：任为瑕点）瑕积分定理 11.5,
2,瑕积分的性质
性质 1,
? ??
?
??
???
?
?
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxfkdxxfkdxxfkxfk
dxxfkxfkkk
dxxfdxxfaxff
)1()()()]()([
)]()([
)()(,
22112211
221121
2121
也收敛，且为任意常数，则、
收敛，都与若的瑕点同为与设函数
性质 2,
分。其中右边第二项是定积
同敛态，且有与
为任一常数。则瑕积分的瑕点为设函数
? ??
??
??
??
b
a
b
c
c
a
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
dxxfdxxf
bacaxf
)2()()()(
)()(
),(,
3,瑕积分的绝对收敛与条件收敛
收敛，则称若瑕积分的瑕点为设函数 ?? ba dxxfaxf )(,
绝对收敛；
收敛，发散，而若 ? ?ba ba dxxfdxxf )()(
条件收敛。
? ba dxxf )(瑕积分
? ba dxxf )(则称瑕积分
性质 3,
??
??
?
?
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxf
dxxfdxxf
bubafaxf
)3()()(
)()(
],[],(,
亦必收敛，且有收敛时，则当
上可积。的任一内闭区间在的瑕点为设函数
说明：性质 3指出：绝对收敛的瑕积分必收敛，但反之未必。
（今后举例说明）
二, 瑕积分敛散性的判别
时条件：当 0)( ?xf
1,瑕积分收敛的比较判别法
（ 1）不等式形式
定理 11.6,
必发散。发散时，）当（
必收敛；收敛时，）当则（
，
上可积，且满足都在任何区间
瑕点均为和上的两个非负函数设定义在
??
? ?
??
?
?
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxf
dxxfdxxg
baxxgxf
babu
axgfba
)()(2
)()(1
],()()(
],(],[
,],(
定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散。（与级数类似）
（ 2）极限形式
推论 1,
则有：上可积，若有任何区间
且它们都在瑕点同为和设函数
＋
,
)(
)(lim],(],[
,0)(,0)(,
c
xg
xfbabu
xgxfaxgf
ax
??
???
?
也发散。发散可推知时，由）当（
也收敛；收敛可推知时，由）当（
同敛态；与时，）当（
??
??
? ?
???
?
????
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxgc
dxxfdxxgc
dxxgdxxfc
)()(3
)()(02
)()(01
注意, 1.推论中，当 c=0时只能判别收敛；当 c为正无穷大时
只能判别发散；
2.用此推论时要找分母的 g(x)且 敛散性要知道；的? b
a dxxg )(
3.找 g(x)的时候最好使极限是一个非 0的常数。
可以得柯西判别法特殊地，取 paxxg )( 1)( ??
2,瑕积分收敛的柯西判别法
上可积，则有：且在任何区间
为其瑕点定义在不等式形式）设
],[
,0)(,],,((
bu
xfabaf ?推论 2,
发散。时且）当（
收敛；时且）当（
?
?
?
?
?
??
?
?
b
ap
b
ap
dxxfp
ax
xf
dxxfp
ax
xf
)(,1,
)(
1
)(2
)(,10,
)(
1
)(1
推论 3,
，则有：上可积，如果区间
且在任何为其瑕点定义在极限形式）设
????
?
??
)()(lim],(],[
,0)(,,],((
xfaxbabu
xfabaf
p
ax
发散。时）当（
收敛；时）当（
?
?
?????
??????
b
a
b
a
dxxfp
dxxfp
)(,0,12
)(,0,101
?
?
注意, 1.实际应用中，常用推论 3；
2.用推论 3时要找 p,使同时满足 p及 的条件；?
3.找 p的时候最好使极限是一个非 0的常数。
例 1,讨论下列瑕积分的收敛性,
?? 2110 ln)2(ln1 dxxxdxxx ；）（
解题思路,1.解题前要先判别瑕点是哪个；
2.要用柯西判别法必须保证被积函数是非负函数。
解,(1)
x
xx
x
x ln]1,0(,0ln ???,所以考虑由于
的瑕点是所以再因为 xxxxxx ln0,)ln(lim 0 ???????
0)4(limlnlim)ln(lim 4
1
0
4
10
43
0
?????
??? ????
x
x
x
x
xx
xxx
由于
,ln3,043 10 是收敛的得所以由推论，此时 dxxxp ? ??? ?
,lnln 1010 是同敛散的与而 dxxxdxxx ?? ? 是收敛的。所以 dxxx? 10 ln
(2),]2,1(,0
ln ?? xx
x 的瑕点是所以因为
x
xx
x
x
x ln
1,lnlim
1
????
?
1ln 1limln)1(lim
11
????? ??
?? x
x
x
xx
xx
由于
是发散的。得所以由推论，此时 dxxxp ??? 21 ln3,11 ?
下面看一个无穷积分及瑕积分的综合例子,
例 2,讨论反常积分 的收敛性。dx
x
x? ?? ?
?? 0
1
1)(
?
??
解题思路：此题既是无穷积分也是瑕积分 (x=0是瑕点 ),要分开考虑。
解, )()(
11)( 1
11
0
1
????
??
JIdxxxdxxx ????? ?? ??
??
＋
：先讨论 dxxxI ? ??
?1
0
1
1)(
?
?
时它是定积分；，即－当 101)1( ?? ??
是瑕点。时它是瑕积分，，即－当 0101)2( ??? x??
可知由推论由于 － 3,11lim 110 ??? ?? ? xxxx ??
收敛；时，，即当 )(1,0110 ???? Ip ??????
发散。时，，即当 )(1,011 ???? Ip ?????
：再讨论 dxxxJ ? ??
?
?? 1
1
1)(
?
?
可知由上节推论由于 － 3,11lim1lim 12 ????? ??????? xxxxx xx ??
收敛；时，，即当 )(1,112 ???? Jp ?????
发散。时，，即当 )(1,112 ???? Jp ?????
综上所述，把讨论结果列表如下,
?
)(?I
)(?J
)(??
0?? 10 ?? ? 1??
发散
发散
发散
发散
收敛
收敛
收敛
收敛
定积分
由此可见，反常积分 时才是收敛的。只有当 10)( ?? ???
