1
§ 3 函数概念
函数 是整个高等数学中最基本的研究 对 象,可以 说 数学分析就是研究函数
的, 因此我 们对 函数的概念以及常 见 的一些函数 应 有一个清楚的 认识,
一 函数的定 义
1, 函数的 几点 说 明,
函数的两要素, 定义域和对应法则
约定, 定 义 域是自 变 量所能取的使算式有意 义 的一切 实 数 值,
2
1,,[ 1,1 ]y x D? ? ?，例 如
2
1
,,( 1,1 )
1
yD
x
??
?
例 如,
(
(
)
)
0
x
0
()fx
对应 法 则 f
x
y
D
W
2
§ 3 函数概念
函数 是整个高等数学中最基本的研究 对 象,可以 说 数学分析就是研究函数
的, 因此我 们对 函数的概念以及常 见 的一些函数 应 有一个清楚的 认识,
一 函数的定 义
1, 函数的 几点 说 明,
函数的两要素, 定义域和对应法则
约定, 定 义 域是自 变 量所能取的使算式有意 义 的一切 实 数 值,
2
1,,[ 1,1 ]y x D? ? ?，例 如
2
1
,,( 1,1 )
1
yD
x
??
?
例 如,
(
(
)
)
0
x
0
()fx
对应 法 则 f
x
y
D
W
函数的表示法, 解析法,列表法,图 像法,
分段函 数
1,0
s g n 0,0
1,0
x
xx
x
??
?
???
?
??
?
狄里克雷函数
1,
()
0
x
Dx
x
?
? ?
?
为 有 理 数
,为 无 理 数
黎曼函数
1
,
()
0 0 1 0 1
p
x
qqRx
?
?
?
?
?
?
?
既 约 真 分 数
,下 ＝, 和 （, ） 内 的 无 理 数
y
1
- 1
x
o
图
数
为 有 理 数
,为 无 理 数
既 约 真 分 数
,下 ＝, 和 （, ） 内 的 无 理 数
§
对 象 说
的 见 应
一 义
说 明
定 义 变 义 实 数 值
，例 如
例 如,
法 则
图
数
为 有 理 数
,为 无 理 数
既 约 真 分 数
,下 ＝, 和 （, ） 内 的 无 理 数
图
数
为 有 理 数
,为 无 理 数
既 约 真 分 数
,下 ＝, 和 （, ） 内 的 无 理 数
3
? ?
2
2
1 ( ) 2 l g ( ) l g
2 ( ) a r c sin a r c c o s,
2
3 ( ) ( ),
f x x g x x
x g x x x x
f x x g x x
?
??
??
??
思考题：
下列函数是否相同，为什么？
、与
、f ( x ) = 与
、与
4
三 函数的四则运算
? ?
1 2 1 2
12
*
12
,,,
,
,
.
( ) 0
( ) 0,,
,.
f x D g x D D D D
D
D
D
D
D g x x
D x g x x D
fg
xD
D D D
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
??
I
I
I
*
*
给定两个函数 和 记,并设
，我们定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：
F(x)=f(x)+g(x),x
G(x)=f(x)-g(x),x
H(x)=f(x)g(x),x
若在 中剔除使 的 值，即令
D
可在D 上定义 与 的商运算如下：
f(x)
L(x)=
g(x)
注：若 fg，则 与 不能进行四则运算，例如：
5
? ? ? ?22 12
12
22
( ) 1,1,( ) 4,2,
( ) ( ) 1 4
f x x x D x x g x x x D x x
DD
f x g x x x
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
I因,所以表达式
是没有意义的。
四 复 合 函数,
设有两个函数 ExxguDuufy ????,)(,,)(,若
???? })(|{
*
EDxgxE ?,则
*
Ex ??, 通过函数 g 对应 D 内唯一 u,而 u
通过函数 f 对应唯一 y
这样，
*
Ex ?? 都有唯一 y 和它对应，因此确定了一个以 x 为自变量,y 为因变量
的函数，记作 ))(( xgfy ?,称为函数 gf 和 的复合函数，并称 f 为外函数,g
为内函数,u 为中间变量。
E
D
E*
g
)( ufy ?
})(|{ Dxgx ?
f
x
)( xgu ?
6
四 复 合 函数,
设有两个函数 ExxguDuufy ????,)(,,)(,若
???? })(|{* EDxgxE ?,则 *Ex ??, 通过函数 g 对应 D 内唯一 u,而 u
通过函数 f 对应唯一 y
这样,*Ex ?? 都有唯一 y 和它对应，因此确定了一个以 x 为自变量,y 为因变量
的函数，记作 ))(( xgfy ?,称为函数 gf 和 的复合函数，并称 f 为外函数,g
为内函数,u 为中间变量。
E
D
E*
g
)( ufy ?
})(|{ Dxgx ?
f
x
)( xgu ?
22( ) 1 a r c sin ( 1 )f u u u x? ? ? ?
思考题：
与 是否可复合成函数？
五 反函数
0
x
0
y
0
x
0
y
x
y
)( xfy ?函数
o x
)( yx ??反函数
o
)( xfy ?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy ??反函数
7
五 反函数
0
x
0
y
0
x
0
y
x
y
)( xfy ?函数
o x
)( yx ??反函数
o
)( xfy ?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy ??反函数
六 初等函数
1、常数函数
2、幂函数
8
112
32( 0 )y x y x x x? ?? ? ?的图象，以,, 的图象为例:
9
121
2( 0 )y x y x x x? ? ???? ? ?的图象 以,, 的图象为例：
2yx??
1yx??
1
2yx??
10
4
( 0,1 )x a a
?
??
x
a
3,指数函数图象y = a ( a > 0,a 1 ),对数函数
y=log 图象:
01a?? 的情形
1
2
lo gyx?
1
2
x
y ???????
11
1? ? 的情形
12
5 三角函数
6 反三角函数 arcsinx,arccosx 图像
-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
asin ( x )
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
acos ( x )
13
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
atan ( x )
arctgx 图 像
14
思考题,
? ?1
2
(
y x y x
?
?
??,与 是初等函数吗？
,初等函数分为代数函数与初等超越函数两类，
这两种函数是如何定义的？无理函数是代数函数
吗？
3, 为什么称三角函数、反三角函数、指数函数、
对数函数与幂函数x 是无理数）为初等超越
函数？
§ 3 函数概念
函数 是整个高等数学中最基本的研究 对 象,可以 说 数学分析就是研究函数
的, 因此我 们对 函数的概念以及常 见 的一些函数 应 有一个清楚的 认识,
一 函数的定 义
1, 函数的 几点 说 明,
函数的两要素, 定义域和对应法则
约定, 定 义 域是自 变 量所能取的使算式有意 义 的一切 实 数 值,
2
1,,[ 1,1 ]y x D? ? ?，例 如
2
1
,,( 1,1 )
1
yD
x
??
?
例 如,
(
(
)
)
0
x
0
()fx
对应 法 则 f
x
y
D
W
2
§ 3 函数概念
函数 是整个高等数学中最基本的研究 对 象,可以 说 数学分析就是研究函数
的, 因此我 们对 函数的概念以及常 见 的一些函数 应 有一个清楚的 认识,
一 函数的定 义
1, 函数的 几点 说 明,
函数的两要素, 定义域和对应法则
约定, 定 义 域是自 变 量所能取的使算式有意 义 的一切 实 数 值,
2
1,,[ 1,1 ]y x D? ? ?，例 如
2
1
,,( 1,1 )
1
yD
x
??
?
例 如,
(
(
)
)
0
x
0
()fx
对应 法 则 f
x
y
D
W
函数的表示法, 解析法,列表法,图 像法,
分段函 数
1,0
s g n 0,0
1,0
x
xx
x
??
?
???
?
??
?
狄里克雷函数
1,
()
0
x
Dx
x
?
? ?
?
为 有 理 数
,为 无 理 数
黎曼函数
1
,
()
0 0 1 0 1
p
x
qqRx
?
?
?
?
?
?
?
既 约 真 分 数
,下 ＝, 和 （, ） 内 的 无 理 数
y
1
- 1
x
o
图
数
为 有 理 数
,为 无 理 数
既 约 真 分 数
,下 ＝, 和 （, ） 内 的 无 理 数
§
对 象 说
的 见 应
一 义
说 明
定 义 变 义 实 数 值
，例 如
例 如,
法 则
图
数
为 有 理 数
,为 无 理 数
既 约 真 分 数
,下 ＝, 和 （, ） 内 的 无 理 数
图
数
为 有 理 数
,为 无 理 数
既 约 真 分 数
,下 ＝, 和 （, ） 内 的 无 理 数
3
? ?
2
2
1 ( ) 2 l g ( ) l g
2 ( ) a r c sin a r c c o s,
2
3 ( ) ( ),
f x x g x x
x g x x x x
f x x g x x
?
??
??
??
思考题：
下列函数是否相同，为什么？
、与
、f ( x ) = 与
、与
4
三 函数的四则运算
? ?
1 2 1 2
12
*
12
,,,
,
,
.
( ) 0
( ) 0,,
,.
f x D g x D D D D
D
D
D
D
D g x x
D x g x x D
fg
xD
D D D
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
??
I
I
I
*
*
给定两个函数 和 记,并设
，我们定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：
F(x)=f(x)+g(x),x
G(x)=f(x)-g(x),x
H(x)=f(x)g(x),x
若在 中剔除使 的 值，即令
D
可在D 上定义 与 的商运算如下：
f(x)
L(x)=
g(x)
注：若 fg，则 与 不能进行四则运算，例如：
5
? ? ? ?22 12
12
22
( ) 1,1,( ) 4,2,
( ) ( ) 1 4
f x x x D x x g x x x D x x
DD
f x g x x x
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
I因,所以表达式
是没有意义的。
四 复 合 函数,
设有两个函数 ExxguDuufy ????,)(,,)(,若
???? })(|{
*
EDxgxE ?,则
*
Ex ??, 通过函数 g 对应 D 内唯一 u,而 u
通过函数 f 对应唯一 y
这样，
*
Ex ?? 都有唯一 y 和它对应，因此确定了一个以 x 为自变量,y 为因变量
的函数，记作 ))(( xgfy ?,称为函数 gf 和 的复合函数，并称 f 为外函数,g
为内函数,u 为中间变量。
E
D
E*
g
)( ufy ?
})(|{ Dxgx ?
f
x
)( xgu ?
6
四 复 合 函数,
设有两个函数 ExxguDuufy ????,)(,,)(,若
???? })(|{* EDxgxE ?,则 *Ex ??, 通过函数 g 对应 D 内唯一 u,而 u
通过函数 f 对应唯一 y
这样,*Ex ?? 都有唯一 y 和它对应，因此确定了一个以 x 为自变量,y 为因变量
的函数，记作 ))(( xgfy ?,称为函数 gf 和 的复合函数，并称 f 为外函数,g
为内函数,u 为中间变量。
E
D
E*
g
)( ufy ?
})(|{ Dxgx ?
f
x
)( xgu ?
22( ) 1 a r c sin ( 1 )f u u u x? ? ? ?
思考题：
与 是否可复合成函数？
五 反函数
0
x
0
y
0
x
0
y
x
y
)( xfy ?函数
o x
)( yx ??反函数
o
)( xfy ?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy ??反函数
7
五 反函数
0
x
0
y
0
x
0
y
x
y
)( xfy ?函数
o x
)( yx ??反函数
o
)( xfy ?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy ??反函数
六 初等函数
1、常数函数
2、幂函数
8
112
32( 0 )y x y x x x? ?? ? ?的图象，以,, 的图象为例:
9
121
2( 0 )y x y x x x? ? ???? ? ?的图象 以,, 的图象为例：
2yx??
1yx??
1
2yx??
10
4
( 0,1 )x a a
?
??
x
a
3,指数函数图象y = a ( a > 0,a 1 ),对数函数
y=log 图象:
01a?? 的情形
1
2
lo gyx?
1
2
x
y ???????
11
1? ? 的情形
12
5 三角函数
6 反三角函数 arcsinx,arccosx 图像
-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
asin ( x )
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
acos ( x )
13
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
atan ( x )
arctgx 图 像
14
思考题,
? ?1
2
(
y x y x
?
?
??,与 是初等函数吗？
,初等函数分为代数函数与初等超越函数两类，
这两种函数是如何定义的？无理函数是代数函数
吗？
3, 为什么称三角函数、反三角函数、指数函数、
对数函数与幂函数x 是无理数）为初等超越
函数？
