§ 2 第二型曲面积分
教学内容,1.曲面的侧
2.第二型曲面积分的概念
3.第二型曲面积分的计算
教学难点,第二型曲面积分的概念与计算
教学重点,1.第二型曲面积分的方向性
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧
n?
曲面的分类, 1.双侧曲面 ; 2.单侧曲面,
典
型
双
侧
曲
面
莫比乌斯带 典型 单侧曲面,
播放
曲面法 向量的指向 决定曲面的 侧,
决定了侧的曲面称为 有向曲面,
曲面的投影问题,
面在 xoyS?,
在有向曲面 Σ 上取一小块
.
0c o s0
0c o s)(
0c o s)(
)(
?
?
?
?
?
?
???
??
??
时当
时当
时当
?
??
??
xy
xy
xyS
.)( 表示投影区域的面积其中 xy??
为上的投影 xyS )( ?曲面 S?
二、第二型曲面积分的概念
1.实例, 流向曲面一侧的流量,
(1) 流速场为常向量 v?,有向平面区域 A,求单位
时间流过 A 的流体的质量 ? ( 假定密度为 1),
A
v?
0n?
?
AvnvA
vA
????
?
????
??
0
c o s ?
流量
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 ( 假定密度为 1)
的速度场由
kzyxRjzyxQizyxPzyxv
???
?
),,(),,(),,(),,( ???
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
都在 Σ 上连续,求在单位
时间内流向 Σ 指定侧的流
体的质量 ?,
x
y
z
o
?
x
y
z
o
? ?
iS? ),,( iii ???
iv
?
in?
把曲面 Σ 分成 n 小块
i
s? (
i
s? 同时也代表
第 i 小块曲面的面积 ),
在 is? 上任取一点
),,(
iii
???,
(1),分割
则该点流速为, iv?
法向量为, in?
该点处曲面 Σ 的单位法向量
kjin iiii ???? ??? c o sc o sc o s0 ???,
通过 is? 流向指定侧的流量的近似值为
).,,2,1( niSnv iii ????
,),,(),,(),,(
),,(
kRjQiP
vv
iiiiiiiii
iiii ???
?
?????????
???
???
?
(2),近似代替
iiiii
iiii
n
i
iiii
SR
QP
??
?? ?
?
]c o s),,(
c o s),,(c o s),,([
1
????
????????
xyiiii
xziiiiyz
n
i
iiii
SR
SQSP
))(,,(
))(,,())(,,([
1
??
???? ?
?
???
??????
(4).取极限 0??,的精确值取极限得到流量 ?
(3),求和 通过 Σ 流向指定侧的流量?
?
????
n
i
iii Snv
1
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有
界,把Σ分成 n 块小曲面
i
S? (
i
S? 同时又表示第
i 块小曲面的面积 ),
i
S? 在 x o y 面上的投影为
xyi
S )( ?,),,(
iii
??? 是
i
S? 上任意取定的一点,如
果当各小块曲面的直径的最大值 0?? 时,
?
?
?
?
n
i
xyiiii
SR
1
0
))(,,(lim ???
?
存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxR 在有向曲面 Σ 上
对坐标 yx,的曲面积分 ( 也称 第二 型 曲面积分 )
2、概念
记作 ??
?
dxdyzyxR ),,(,即
???
???
??
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,( ???
?
被积函数 积分曲面
类似可定义 ???
???
??
n
i
yziiii SPd y d zzyxP
10
))(,,(lim),,( ???
?
???
???
??
n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,( ???
?
① 存在条件,
当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲
面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
② 组合形式,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ????
?
③ 物理意义,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ???? ??
?
3、几点说明,
④ 注意符号
同理,
4、性质,
????
??
??
???
??????
???
21
21
).2(
R dx dyQ dz dxP dy dzR dx dyQ dz dxP dy dz
R dx dyQ dz dxP dy dz 可加性
????
????
????
???
???
???
??
??
??
dx dyzyxRdx dyzyxR
dz dxzyxQdz dxzyxQ
dy dzzyxPdy dzzyxP
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,().3(
(1),线性组合性质
设积分曲面 Σ 是由
方程 ),( yxzz ? 所给
出的曲面上侧,Σ 在
x o y 面上的投影区域
为
xy
D,函数
),( yxzz ? 在
xy
D 上具
有一阶连续偏导数,
被积函数 ),,( zyxR 在
Σ 上连续,
? ),( yxfz ?
xyD
x
y
z
o
xys)(?
三、第二型曲面积分的计算
步骤,
1.写出曲面方程,z=z(x,y)
2,把 Σ 投影在 x o y 面上得投影区域为
xy
D
3.把曲面方程,z=z(x,y)代入 R(x,y,z)中得
?? ??
?
??
xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )),(,,(),,(
4.求二重积分
则有给出由如果,),( zyxx ?? ???? ??
? yzD
d yd zzyzyxPd yd zzyxP ],),,([),,(
则有给出由如果,),( xzyy ?? ???? ??
? zxD
d z d xzxzyxQd z d xzyxQ ]),,(,[),,(
注意,
同理,
① 第二型曲面积分,必须注意曲面所取的侧,
由侧决定二重积分前面的正负号。
② 若要求的第二型曲面积分由几部分组成,
可以拆成各个部分来做，再求和。
例 1 计算 ??
?
x y z d x d y
其中 Σ 是球面
1
222
??? zyx 外侧
在 0,0 ?? yx 的部分,
解 两部分和分成把 21 ???;1,2211 yxz ?????
,1,2222 yxz ????
x
y
z
2?
?
1? ?
??????
???
??
12
x y z d x d yx y z d x d yx y z d x d y
???? ???????
xyxy DD
dxdyyxxydxdyyxxy )1(1 2222
?? ???
xyD
d x d yyxxy 2212
.1521c o ss i n2 22?? ???
xyD
r d r drr ???
例 2,P289习题 1（ 2）
四、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz ? 给出,Σ 在
xoy 面上的投影区域为
xy
D,函数 ),( yxzz ? 在
xy
D
上具有一阶连续偏导数,),,( zyxR 在 Σ 上连续,
对坐标的曲面积分为
??
??
??
?
xyD
d x d yyxzyxR
d x d yzyxR
)],(,,[
),,(
xyD
),( yxfz ?
?
x
y
z
o
dsn?
曲面 Σ 的法向量的方向余弦为
.
1
1
c o s
,
1
c o s
,
1
c o s
22
22
22
yx
yx
y
yx
x
zz
zz
z
zz
z
??
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
对面积的曲面积分为
???? ??
? xyD
dxdyyxzyxRdSzyxR )],(,,[co s),,( ?所以 dSzyxRd x d yzyxR ?c o s),,(),,( ????
??
?
( 注意取曲面的两侧均成立 )
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s( ?????
??
?
?
???
??
两类曲面积分之间的联系
向量形式
????????
????
????? dSAsdAdSnASdA n??????? 或
其中 }c os,c os,{ c os},,,{ ????? nRQPA
??
为
有向曲面 Σ 上点 ),,( zyx 处的单位法向量,
},,{ dx dydz dxdy dzdSnSd ??
??
称为 有 向 曲 面
元,nA 为向量 A
?
在 n
?
上的投影,
教学内容,1.曲面的侧
2.第二型曲面积分的概念
3.第二型曲面积分的计算
教学难点,第二型曲面积分的概念与计算
教学重点,1.第二型曲面积分的方向性
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧
n?
曲面的分类, 1.双侧曲面 ; 2.单侧曲面,
典
型
双
侧
曲
面
莫比乌斯带 典型 单侧曲面,
播放
曲面法 向量的指向 决定曲面的 侧,
决定了侧的曲面称为 有向曲面,
曲面的投影问题,
面在 xoyS?,
在有向曲面 Σ 上取一小块
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.)( 表示投影区域的面积其中 xy??
为上的投影 xyS )( ?曲面 S?
二、第二型曲面积分的概念
1.实例, 流向曲面一侧的流量,
(1) 流速场为常向量 v?,有向平面区域 A,求单位
时间流过 A 的流体的质量 ? ( 假定密度为 1),
A
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0n?
?
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流量
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 ( 假定密度为 1)
的速度场由
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给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
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都在 Σ 上连续,求在单位
时间内流向 Σ 指定侧的流
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把曲面 Σ 分成 n 小块
i
s? (
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s? 同时也代表
第 i 小块曲面的面积 ),
在 is? 上任取一点
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(1),分割
则该点流速为, iv?
法向量为, in?
该点处曲面 Σ 的单位法向量
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(4).取极限 0??,的精确值取极限得到流量 ?
(3),求和 通过 Σ 流向指定侧的流量?
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1
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有
界,把Σ分成 n 块小曲面
i
S? (
i
S? 同时又表示第
i 块小曲面的面积 ),
i
S? 在 x o y 面上的投影为
xyi
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果当各小块曲面的直径的最大值 0?? 时,
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1
0
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存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxR 在有向曲面 Σ 上
对坐标 yx,的曲面积分 ( 也称 第二 型 曲面积分 )
2、概念
记作 ??
?
dxdyzyxR ),,(,即
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n
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10
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被积函数 积分曲面
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① 存在条件,
当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲
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② 组合形式,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ????
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③ 物理意义,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ???? ??
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3、几点说明,
④ 注意符号
同理,
4、性质,
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21
21
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方程 ),( yxzz ? 所给
出的曲面上侧,Σ 在
x o y 面上的投影区域
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有一阶连续偏导数,
被积函数 ),,( zyxR 在
Σ 上连续,
? ),( yxfz ?
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三、第二型曲面积分的计算
步骤,
1.写出曲面方程,z=z(x,y)
2,把 Σ 投影在 x o y 面上得投影区域为
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3.把曲面方程,z=z(x,y)代入 R(x,y,z)中得
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4.求二重积分
则有给出由如果,),( zyxx ?? ???? ??
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同理,
① 第二型曲面积分,必须注意曲面所取的侧,
由侧决定二重积分前面的正负号。
② 若要求的第二型曲面积分由几部分组成,
可以拆成各个部分来做，再求和。
例 1 计算 ??
?
x y z d x d y
其中 Σ 是球面
1
222
??? zyx 外侧
在 0,0 ?? yx 的部分,
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例 2,P289习题 1（ 2）
四、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz ? 给出,Σ 在
xoy 面上的投影区域为
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上具有一阶连续偏导数,),,( zyxR 在 Σ 上连续,
对坐标的曲面积分为
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曲面 Σ 的法向量的方向余弦为
.
1
1
c o s
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对面积的曲面积分为
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( 注意取曲面的两侧均成立 )
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两类曲面积分之间的联系
向量形式
????????
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其中 }c os,c os,{ c os},,,{ ????? nRQPA
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有向曲面 Σ 上点 ),,( zyx 处的单位法向量,
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称为 有 向 曲 面
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