3.1证明题图P3.1所示矩形函数)(tf与{ }为整数nnt |cos在区间)2,0( π上正交。 )(tf 0 π π2 t 1 1? 图P3.1 3.2证明两相互正交的信号)( 1 tf与)( 2 tf同时作用于单位电阻上产生的功率，等会每一信号 单独作用时产生的功率之和。以)( 1 tf与)( 2 tf分别为下列两组函数来验证此结论。 （1）)cos()( 1 wttf =， )sin()( 2 wttf =； （2）)cos()( 1 wttf = )30sin()( 2 ° += wttf。 3.3试求题图P3.2所示信号的三角型傅里叶级数展开式，并画出频谱图。 )(tf A 0 T? 2 T ? T 2 T t 图P3.2 3.4求下列周期信号的傅里叶级数表示式。 （1）如图P3.3所示。 （2）)(tf的周期为4，且 ? ? ? = 0 sin )( t tf π 42 20 ≤≤ ≤≤ t t """" )(tf e 1 1? 0 1 33? t 图P3.3 3.5（1）证明：以T为周期的信号)(tf，如果是偶信号，即)()( tftf ?=，则其三角函数 形式的傅里叶级数表示式中只含有余弦分量；如果)(tf是奇信号，即)()( tftf ?=，则其 三角函数形式的傅里叶级数中只含有正弦分量。 （2）如果以T为周期的信号)(tf同时满足) 2 ()( T tftf ?=，则称)(tf为偶谐信号；如果 同时满足) 2 ()( T tftf ??=，则称)(tf为奇谐信号。证明偶谐信号的傅里叶级数中只包含 偶次谐波；奇谐信号的傅里叶级数中只包含奇次谐波。 （3）如果)(tf是周期为2的奇谐信号，且ttf =)(，10 <<t，请画出)(tf的波形，并求 出它的傅里叶系数。 3.6已知周期信号)(tf前四分之一周期的波形如图P3.4所示，试分别绘出在下列条件下信 号在一个周期内的波形。 （1）是t的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波。 （2）是t的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波。 （3）是t的偶函数，其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波。 （4）是t的奇函数，其傅里叶级数只有偶次谐波。 （5）是t的奇函数，其傅里叶级数只有奇次谐波。 （6）是t的奇函数，其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波。 0 1 A )(tf 2 A? 1 T 2 T t 图P3.4 3.7试画出图P3.5所示信号的奇分量和偶分量。 A 0 2 T ? 2 T "" t )( 1 tf )(a A 0 "" t )( 2 tf )(b TT? A 0 2 T ? 2 T "" t )( 3 tf )(c T T? A2 0 "" t )( 4 tf )(d A? 3 T 3 2T T T? A? 图P3.5 3.8利用信号的奇偶性，判断图P3.6所示各信号的傅里叶级数所包含的分量。 0 T 2 T 2 T ? T? 1 t )( 1 tf 0 T 2 T 2 T ? T? 1 t )( 2 tf 0 T 2 T 2 T ?T? 1 t )( 3 tf 图P3.6 3.9 )( 1 tf和)( 2 tf的波形如图P3.7所示，已知)( 1 tf的傅里叶变换为)( 1 ωjF，试根据已知的 )( 1 ωjF求)( 2 tf的傅里叶变换)( 2 ωjF。 0 1 3 4 1 2 t )( 1 tf 0 1 3 4 1 2 t )( 2 tf )(a 0 1 1 t )( 1 tf 0 1 3 4 1 t )( 2 tf )(b 图P3.7 3.10求如图P3.8所示信号的傅里叶变换。 E E? t )( 1 tf 2 γ ? 2 γ E t )( 2 tf γ 0 t 2 γ 0 )( 3 tf 2 E 2 E ? γ t 2 γ 0 2 E 2 E ? 2 γ ? )( 4 tf 图P3.8 3.11已知图P3.9所示信号)( 1 tf的频谱函数为)()()( 1 ωωω jXRjF +=，式中)(ωR、)(ωX 均为ω的实函数，试求)( 2 tf的频谱函数)( 2 ωjF。（缺少图（b）） 3.12利用傅里叶变换的对称性，求下列信号的傅里叶变换。 （1） 22 2 )( β β + = t tf （2） )1( )1(2sin )( ? ? = t t tf π π （3） 2 )]2([)( tSatf π= （4） t tf π 1 )( = 3.13若已知)(tf的傅里叶变换为)(ωF，利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变 换： （1）)2( ttf； （2）)()2( tft ?； （3）)2()2( tft ?? （4） dt tdf t )( ； （5）)1( tf ?； （6）)1()1( tft ??； （7）)52( ?tf 3.14利用时域和频域的对称性，求下列傅里叶变换的时间函数： （1）)()( 0 ωωδω ?=jX； （2）)()()( 00 ωωωωω ??+= uujX； （3）1)(2)( ?= ωω ujX 3.15已知梯形信号)(tf如图P3.10所示， （1）利用三角形脉冲信号的傅里叶变换及时移性质，求)(tf的傅里叶变换； （2）利用微分性质求)(tf的傅里叶变换。 1 2 3 1 )(tf t 0 图P3.10 3.16试用时域微分、积分特性求下列波形信号的傅里叶变换。 t 1 1 )(tf 0 )(tf 0 1 21?2? 1 t )(a )(b )(tf 0 1 1? 1 1? t )(c 图P3.11 3.17已知图P3.12中两矩形脉冲)( 1 tf及)( 2 tf，且) 2 ()]([ 1 111 ωτ τ SaEtfF =， ) 2 ()]([ 2 222 ωτ τ SaEtfF = （1）画出)()( 21 tftf ?的图形； （2）求)()( 21 tftf ?的频谱。 0 1 E 2 E 2 1 τ ? 2 1 τ t )( 1 tf )( 2 tf 0 2 2 τ ? t 2 2 τ 图P3.12 3.18由冲激的傅里叶变换求图P3.13所示波形信号的傅里叶变换。 )( 1 tf 1 1? τ? τ 0 0 1 2 )( 2 tf 1 21?2? tt tt 00 τ ττ? 11 )( 3 tf )( 4 tf 图P3.13 3.19已知三角形、升余弦脉冲的频谱，大致画出图P3.14中各脉冲被冲激抽样后信号的频谱 （抽样间隔为 s T，令 8 τ = s T）。 0 1 1 )(tf )(tf t tττ? 0 2 τ ? 2 τ )(a )(b 图P3.14 3.20已知)( 1 tf的傅里叶变换为)( 1 ωjF，将)( 1 tf按图P3.15所示的波形关系构成周期信号 )( 2 tf，求此周期信号的傅里叶变换。 0 )( 1 tf t 1 0 1 2 3 4 t 1? )( 2 tf 图P3.15 3.21如图P3.16所示周期信号)(tv i 加到RC低通滤波器电路，已知)(tv i 的基波频率 kHz t f 1 2 0 == π ，VE 1=，Ω= kR 1，FC μ1.0=： （1）设电容器两端电压为)(tv c ，求系统转移函数 )( )( )( ω ω ω jV jV jH i c =； （2）求)(tv c 的直流分量、基波和五次谐波的幅度。 )(tv c )(tv i R C )(a "" t 0 )(tv i 2 T TT? 2 T ? )(b 图P3.16 3.22图P3.17所示的周期性矩形脉冲信号，其频率kHzf 10=，加到一谐振频率为 kHz LC f 30 2 1 0 == π 的并联谐振电路，以取得三倍频信号输出。并联谐振电路的转移函 数为 )(1 1 )( 0 0 ω ω ω ω ω ?+ = jQ jH，如要求输出中其他分量的幅度小于三次谐波分量幅度的 1％，求并联谐振电路的品质因素Q。 )(ti C L )(tτ )(a 0 f 1 f 1 ? A t )(ti )(b 图P3.17 3.23已知系统函数为 23 )( 2 ++? = ωω ω ω j j jH，系统的初始状态为2)0( =y，1)0( ' =y， 激励)()( tete t ε ? =。求全响应)(tr。 3.24假设某系统的转移函数为 23 3 )( 2 ++? + = ωω ω ω j j jH，输入信号为)()( 4 tete t ε ? =，求 零状态响应)(tr。 3.25为了通信保密，可将语音信号在传输前进行倒频，接收端收到倒频信号后，再设法恢复 原频谱。如输入带限信号)(te的频谱如图P3.18(a)所示，其最高角频率为 m ω。图P3.18(b) 是一倒频系统。已知 mb ωω >，图中HP是理想高通滤波器，其截至频率为 b ω，即 ? ? ? = 0 )( 1 1 K jH ω b b ωω ωω < > ，图中LP为理想低通滤波器，截至角频率为 m ω，即 ? ? ? = 0 )( 1 2 K jH ω m m ωω ωω < > ，试画出)(tx与)(tr的频谱图。 0 m ω m ω? ω )( ωjE 1 )(a HP LP )(te )(tr )( 1 ωjH )( 2 ωjH )(tx )cos( t b ω ])cos[( t mb ωω + )(b 图P3.18 3.26某系统幅频特性)( ωjH和相频特性)(ω?如图P3.19所示。试求其冲激响应)(th。 1 0 ω? 0 0 ω ω )( ωjH )(ω? 2 π 2 π ? 0 ω? 0 0 ω ω 图P3.19 3.27一个理想带通滤波器的幅频特性和相频特性如图P3.20所示。试求它的冲激响应 0 )( ωjH ω c ωω ? 0 0 ω c ωω + 0 1 )( 0 c ωω +? )( 0 c ωω ?? 0 ω? )(ω? ω 0 ω 0 ω? 0 00 )( tωω?? 00 )( tωω+? 图P3.20 3.28有一调幅信号为)sin()]cos(1.0)cos(3.01[)( 21 tttAta c ωωω ++=其中 srad /1052 3 1 ××= πω，srad /1032 3 2 ××= πω，srad c /10452 6 ××= πω， VA 100=。试求： （1）部分调幅系数； （2）调幅信号包含的频率分量，绘出调制信号与调幅信号的频谱图，并求此调幅信号的频 带宽度； （3）此调幅信号加到Ωk1电阻上产生的平均功率与峰值功率，载波功率与变频功率。 3.29试分析信号通过图P3.21所示的斜格型网络有无幅度失真与相位失真。 )( 1 tu C C L L C L R = )(tu O 图P3.21 3.30试证明图P3.22所示电路在 1221 LRLR =条件下为一无失真系统。 1 L 1 R)(te 2 R 2 L )(tr 图P3.22 3.31如图P3.23所示电路，在电流源)(ti s 激励下得到输出电压)(tu o 。求网络转移函数 )( ωjH；要使)(tu o 和)(ti s 的波形无失真，确定 1 R、 2 R的值。 )(ti s 1 R 2 R L C H1 F1 )(tu o 图P3.23