4.1写出下列信号对应于s平面的复频率。 （1）)5sin( te t ? ? （2）)(3 te t ε ? （3）t2cos （4）)602cos(2 D + ? te t 4.2求下列函数的拉氏变换。 （1） at e ? ?1 （2）tt cos2sin + （3） t te 2? （4）)2sin( te t? （5） t et ? + )21( （6） t et β α ? ? )]cos(1[ （7）tt 2 2 + （8） t et 7 3)(2 ? ?δ （9）)sinh( te at β ? （10）)(cos 2 tΩ （11）)( 1 tt ee βα αβ ?? ? ? （12）)cos( )( te at ω +? （13）)1( )2( ? ?? tte t ε （14）)( a t fe a t ? ，设已知)()]([ sFtf =ξ （15）)( a t fe at? ，设已知)()]([ sFtf =ξ （16）)3(cos 3 tt （17）)2cos( 2 tt （18）)1( 1 at e t ? ? （19） t ee tt 53 ?? ? （20） t at)sin( 4.3确定下列函数的拉氏变换收敛域及零极点图。 （1）0),( >αtue at ； （2）0, || > ? be tb ； （3）)()( 2 tuetue tt ?? +； （4）)3( ?tu； （5）)()( 53 tuetue tt ?+?； （6）)( 0 tt ?δ； （7）)()( tut +δ； （8）)2()1( ??? tutu。 4.4求图P4.1所示各波形的拉氏变换。 001 2 3 1 2 3 t t 0 1 2 3 t4 0 1 3 5 t )( 1 tf 1 1 1 1 )( 2 tf )( 3 tf )( 4 tf )2/cos( tπ 图P4.1 4.5利用拉普拉斯变换的性质求下列函数的变换。 （1）)2cosh( t （2）) 4 3 2cos( π ?t （3） t te α? （4） t t)sin( （5）)]3()([ ?? ttt εε （6）)2()1( ?? tt εε 4.6应用拉普拉斯变换性质，证明下列变换成立。 （1） 222 )( 2 )()sin( ω ω εω + ? s s ttt （2） 3 2 )( 2 )( as tet at + ? ? ε （3）)1()( +? ? bsbF b t fe b t （4）)()( 2 bbsbF b t fe bt +? ? （5）) 1 arctan()()( s ttSa ?ε （6）) 1 arctan( 1 )()( ss ttSi ?ε 4.7求下列单边拉氏变换的逆变换。 （1） 65 1 2 2 ++ + ss s ； （2） 23 1 2 ++ ? ss s （3） )4( 2 2 +ss （4） )12)(2( 2 2 +++ sss s （5） )52( 5 2 ++ + sss s （6） )3)(2( 1 2 ?+ + sss s （7） )4)(2( 2 ?+ ss s （8） )1( 2 2 +ss （9） )1( 1 2 +s （10） 3 )3( 1 +s （11） )1( 1 s es ? + （12） )1)(( )1( 22 2 s s es e ? ? ?+ + π π 4.8已知下列拉普拉斯变换式)(sF及收敛域，求原函数)(tf： （1）1}Re{ )1( 1 2 2 ?> + +? s s ss （2）3)Re( 65 1 2 ?< ++ + s ss s （3）1}Re{0 )1( 1 2 2 << ? +? s ss ss （4）1}Re{ )2)(1( 1 23 ?> ++ ++ s ss ss （5）1}Re{ )2)(1( 1 2 ?> ++ ++ ?? s ss ee ss （6）1}Re{ 4)1( 2 2 )1( > +? + ?? s s e s （7）2}Re{1 2 12 2 <<? ?? ? s ss s （8）0}Re{ )1( 1 > + ? s es s 4.9用初值和终值定理求下列信号逆变换式的初值和终值： （1） s sX 1 )( =； （2） s e sX s? ? = 1 )(； （3） 1 1 )( 2 + = s sX； （4） 1 )1( )( 22 + ? = ? s ss sX s 。 4.10用拉普拉斯变换分析法，求下列系统的响应。 （1）2)0(,1)0(,0)(2 )( 3 )( ' 2 2 ===++ rrtr dt tdr dt trd （2）)()(,2)0(,0)()(2 )( tetertetr dt tdr t ε ? ===++ （3） ? ? ? ? ? =++? ====?+ 0)(2 )( )( )()(,1)0(,2)0(),()()(2 )( 2 2 1 2121 1 tr dt tdr tr tterrtetrtr dt tdr ε 4．11求下列各微分方程所描述系统的冲击响应和阶跃响应。 （1）)(2)(4 )( 5 )( 2 2 txty dt tdy dt tyd =++ （2）)(6 )( 2)(4 )( 5 )( 2 2 tx dt tdx ty dt tdy dt tyd +=++ （3）)(6 )( 2)(2 )()( 2 2 3 3 tx dt tdx ty dt tyd dt tyd ?=+? 4．12已知连续系统的微分方程为 )(2)(2)(2)(3)( '''' tftftytyty +=++ 求在下列输入时的零状态响应： （1）)2()( ?= ttf ε； （2）)()( tetf t ε ? =； （3）)()( tttf ε=。 4．13求图P4.2所示电路的单位冲击响应)(tu c ，)(tu L 和)(ti，并画出波形。 )(tδ R L )(tu L C )(tu C )(ti 图P4.2 4.14图P4.3所示RLC系统，Vtu s 12)( =，HL 1= , FC 1= , Ω= 3 1 R , Ω= 2 2 R , Ω=1 3 R。 0<t时电路已经达到稳态，0<t时开关S闭合。求0≥t时电压)(tu的零输入响应、零 状态响应和完全响应。 1 R L C 3 R 2 R S )(tu s 图P4.3 4.15图P4.4所示电路中开关打开很长时间，0=t时闭合，求电流)(ti。 V10 0=t Ω3 Ω1 H1 H2 Ω2 Ω2 )(ti 图P4.4 4.16求图P4.5所示周期矩形脉冲和正弦全波整流脉冲的拉氏变换。 " " )(tf a )(tf b 0 0 t t 2 T 2 T T T2 T3 T4 T T2 )(a )(b 图P4.5 4.17已知系统阶跃响应为 t etg 2 1)( ? ?=，为使其响应为 tt teetr 22 1)( ? ??=，求激励信号 )(te。 4.18下列函数是否有双边拉普拉斯变换，如有求其)(sF d 并标注收敛区。 （1） ? ? ? = ? t t e e tf 3 2 )( 0 0 > < t t （2） ? ? ? = t t e e tf 3 4 )( 0 0 > < t t （3） ? ? ? = t t e e tf 4 3 )( 0 0 > < t t 4.19求下列)(sF d 的原时间信号。 （1） )3)(1( 1 ?? ss 31 <<σ （2） )2)(1( ++ ss s 12 ?<<? σ （3） 1 1 2 2 + ++ s ss 0<σ （4） )4)(25( 2542 2 2 ++ ??? ss ss 04 <<? σ 4．20已知线性连续系统的系统函数如下。用直接形式信号流图模拟系统，画出系统的方框 图。 （1） )3)(1( 2 )( ++ + = ss s sH； （2） )65)(2( 12 )( 2 2 +++ ++ = sss ss sH； 4.21求图P4.6中电路的系统函数，并绘出其零极点分布图。 0 R 1 R 2 R Ω30 Ω10 1 L 2 LH5.0 H1 )(te s )(a )(tu O L C F2 R Ω1 H 2 1 )(ti S )(b )(ti S S i20 Ω500 Ωk20 pF40 )(ti O Ωk20 )(c )(te S C IT IT 2 C C O R )(tu O )(d 图P4.6 4.22已知图P4.7所示电路。 （1）求 )( )( )( 1 2 sI sU sH =； （2）画出)(sH的零、极点分布图； （3）求冲击响应)(th； （4）求阶跃响应)(tg。 )( 2 tu Ω1 )(ti S H1 F27.0 F27.0F73.1 图P4.7 4.23分别画出下列系统函数的零极点分布和冲击响应波形，注意冲击响应波形之间的不同。 （1） 54 2 )( 2 ++ + = ss s sH； （2） 54 )( 2 ++ = ss s sH （3） 54 )2( )( 2 2 ++ + = ss s sH。 4.24分别画出下列系统函数的零极点分布和冲击响应波形，注意零极点分布的特点。 （1） s e sH sτ? ? = 1 )(； （2） τs e sH ? ? = 1 1 )(。 4.25根据相应的零极点图，确定下列每个拉氏变换相应系统的频率响应。 （1）1||Re, )3)(1( 1 )( 1 ?> ++ = s ss sH； （2）1||Re, 12 )( 2 2 2 ?> ++ = s ss s sH； 4.26已知二阶线性连续系统的系统函数)(sH如下。求系统的频率响应，粗略地画出幅频响 应和相频响应曲线。 （1） 22 )( 2 ++ = ss s sH； （2） 2 )( + = s s sH。 4.27写出图P4.8所示各梯形网络的电压转移函数 )( )( )( 1 2 sV sV sH =，在s平面表示出其零、极 点分布。 F1 F1 )( 1 tv Ω1 Ω1 )( 2 tv )(a F1 F1 )( 1 tv )( 2 tv )(d )( 1 tv )( 2 tv )(b Ω1 Ω1 )( 1 tv )( 2 tv )(c H1 H1 H1 H1 H2 H2 F2 F2 图P4.8 4.28系统函数的极零图如图P4.9所示，且其幅频特性的最大为1。画出系统函数的波特图。 × × 1? 2j 2j? 0 σ ωj × × 1? 2j 2j? 0 σ ωj × × 1? 2j 2j? 0 σ ωj )2( )(a )(b )(c 图P4.9 4.29已知线性连续系统地系统函数如下。检验各系统是否稳定。 （1） 23 1 )( 2 ++ ? = ss s sH； （2） 123 1 )( 234 2 ++++ + = ssss s sH； （3） )1232 )1( )( 234 2 ++++ ? = ssss ss sH； （4） 232 1 )( 24 +++ + = sss s sH。 4.30已知系统的 36303625115 22 )( 23456 2 ++++++ ++ = ssssss ss sH试判断系统是否稳定。 4.31已知电路如图P4.10所示，求： （1） )( )( )( sF sY sH =； （2）使系统稳定的K得取值范围； （3）)(sin25)(,5.0 ttfK ε==时的零状态响应； （4）)(sin)(,5.2 ttfK ε==时的零状态响应； )(tf Ω1 Ω1 Ω2 H2 F1 )( 1 tu )( 1 tKu )(ty 图P4.10 4．32图P4.11所示系统为单位反馈系统，为使系统稳定，试求K的取值范围。 )1( + + ss Ks 2 1 +s ∑ 1? )(sF )(sY 图P4.11 4.33某线性时不变因果系统框图如图P4.12所示，试确定： （1）系统函数)(sH； （2）使系统稳定的K的取值范围。 ∑ 1 1 +s 3 1 +s )(tf )(ty ∑ 图P4.12 4.34线性连续系统分别如图P4.13（a）、（b）所示。为使系统稳定，求系数K的取值范围。 )(sF )(sY ∑ )3)(1( )2( ?+ + ss sK )(sF )(sY ∑ )3)(1( )2( ?+ + ss sK 3 1 +s )(a )(b 图P4.13 4.35 已知图P4.14所示系统。 （1）求 )( )( )( sF sY sH =； （2）欲使系统稳定，试确定K的取值范围； （3）若系统属临界稳定，试确定它们在ωj轴上的极点的值。 1? 1? 10 1 1? s 1? s 1 1? s1 1 1 K? )(sF )(sY 图P4.14 4.36已知系统的微分方程为)()(6)(5)( ''' tftytyty =++。（1）求系统函数)(sH；（2）画 出s域模拟图。 4.37已知激励信号为 t ete ? =)(，零状态响应为 ttt eeetr 32 2 2 1 )( +?= ?? ，求此系统的冲击 响应)(th。 4.38若在图P4.15所示的电路中，接入)(sin40)( tutte ?=，求)( 2 tv，指出其中的自由响 应与强迫响应。 )(te )( 2 tv H1F4Ω4 Ω4 图P4.15 4.39如图P4.16所示电路，若激励信号)()23()( 32 tueete tt ?? +=，求响应)( 2 tv，并指出响 应中的强迫分量、自由分量、瞬态分量与稳态分量。 )(te )( 2 tv Ω1 Ω1 F 2 1 图P4.16 4.40对图P4.17中所示各系统，求解下列问题。 （1）写出系统函数)(/)()( sXsYsH =； （2）画出系统函数的零极点分布； （3）粗略画出系统的幅频特性曲线，并说明它们各自属于哪一种滤波器（设图中 0 12 >>ττ）。 )(sF )(sY 1 1 +sτ ∑ 1 1 +sτ )(sF )(sY )(a )(b ∑ 1 1 1 +sτ 1 1 2 +sτ )(sF )(sY ∑ 1 1 +s 3 3 +s )(sF )(sY ∑ )(c )(d 图P4.17