卡诺定理 — 热二律的推论之一
定理：在两个不同温度的 恒温热源 间工作的
所有热机，以 可逆热机 的热效率为 最高 。
卡诺提出,卡诺循环 效率最高
即在恒温 T1,T2下 t,Rt,???任
结论正确, 但推导过程是错误的
当时盛行, 热质说,
1850年开尔文, 1851年克劳修斯分别重新证明
Carnot principles
卡诺 的证明 — 反证法
假定 Q1= Q1’
要证明
T1
T2
IR R RW
Q1
Q2 Q2’ Q2’
Q1’ Q1’
W ’
t,IR t,R???
如果 >
t,IR
1
W
Q? ?
'
t,R '
1
W
Q
? ?
∵ Q1= Q1’ ∴ W > W ’
“热质说”，水,高位到低位，
作功，流量不变
热经过热机作功，高温到低
温，热量不变
Q2= Q1 Q2’= Q1’ Q2= Q2’
T1和 T2无变化，作出净功 W-W ’,违反热一律
把 R逆转
卡诺 证明 的错误
恩格斯 说卡诺定理头重脚轻
? 开尔文重新证明
? 克劳修斯重新证明
? 热质说
? 用第一定律证明第二定律
开尔文的证明 — 反证法
若 ?tIR > ?tR T1
T2
IR R
Q1 Q1’
Q2 Q2’
WIRIR R
WW?
WIR- WR = Q2’ - Q2 > 0
T1无变化
从 T2吸热 Q2’-Q2
违反开表述，单热源热机
WR
假定 Q1= Q1’
要证明 tIR tR???
把 R逆转
-WRW
IR=Q1-Q2 WR=Q1’-Q2’
对外作功 WIR-WR
克劳修斯的证明 — 反证法
假定,WIR=WR
若 ?tIR > ?tR
T1
T2
IR R
Q1 Q1’
Q2 Q2’
WIR
IR R
'
11
WW
QQ
?
Q1 < Q1’
Q1’- Q1 = Q2’ - Q2 > 0
从 T2吸热 Q2’-Q2
向 T1放热 Q1’-Q1 不付代价
违反克表述
要证明 tIR tR???
Q1-Q2= Q1’-Q2 ’ WR
把 R逆转
卡诺定理 推论一
在两个不同温度的 恒温热源 间工作的一
切 可逆热机,具有 相同 的 热效率,且与工质
的性质无关。
T1
T2
R1 R2
Q1 Q1’
Q2 Q2’
WR1
求证,?tR1 = ?tR2
由卡诺定理
?tR1 > ?tR2 ?tR2 > ?tR1 W
R2只有,?tR1 = ?tR2
?tR1 = ?tR2= ?tC
与工质无关
卡诺定理 推论二
在两个不同温度的 恒温热源 间工作的任
何 不可逆热机,其热效率 总小于 这两个热源
间工作的 可逆热机 的效率。
T1
T2
IR R
Q1 Q1’
Q2 Q2’
WIR
已证,?tIR > ?tR 证明 ?tIR = ?tR
反证法,假定,?tIR = ?tR
令 Q1 = Q1’ 则 WIR = WR
工质循环、冷热源均恢复原状，
外界无痕迹，只有可逆才行，
与原假定矛盾。
∴ Q1’- Q1 = Q2’ - Q2= 0
WR
多热源 （变热源） 可逆机
多热源 可逆热机与相同温度界限的 卡诺
热机相比,热效率 如何？
Q1C > Q1R多 Q2C < Q2R多 b
c
d
a
3
21
4
56
2
t
1
1 Q
Q
? ??
T2
T1
平均温度法：
2
tR _
1
1
T
T
?
?
??多
∴ ?tC > ?tR多
Q1R多 = T1(sc-sa)
Q2R多 = T2(sc-sa)
T
s
概括性卡诺热机
如果 吸热 和 放热 的多变指数相同
b
cd
a
fe
T1
T2
完全回热
T
s
2
tCtR
1
1 T
T
??? ? ?概括
n n
∴ ab = cd = ef
这个结论提供了一个提高热效率的途径
Ericsson cycle
卡诺定理小结
1,在两个不同 T 的 恒温热源 间工作的一切
可逆 热机 ?tR = ?tC
2,多 热源间工作的一切可逆热机
?tR多 < 同温限间工作卡诺机 ?tC
3,不可逆 热机 ?tIR < 同热源间工作 可逆 热机 ?tR
?tIR < ?tR=?tC
∴ 在给定的温度界限间 工作的 一切热机,
?tC最高 热机极限
The Carnot Principles
1,The efficiency of an irreversible
heat engine is always less than the
efficiency of a reversible one
operating between the same two
reservoirs.
2,The efficiencies of all reversible
heat engines operating between the
same two reservoirs are the same.
卡诺定理的意义
从理论上确定了通过热机循环
实现热能转变为机械能的条件，指
出了提高热机热效率的方向，是研
究热机性能不可缺少的准绳。
对热力学第二定律的建立具有
重大意义。
卡诺定理举例
A 热机是否能实现
1000 K
300 K
A
2000 kJ
800 kJ
1200 kJ可能
如果,W=1500 kJ
2
tC
1
3001 1 7 0 %
1000
T
T
? ? ? ? ? ?
t
1
1200 60%
2000
w
q
? ? ? ? 1500 kJ
t
1500 75%
2000
? ?? 不可能
500 kJ
实际 循环与卡诺循环
内燃机 t1=2000oC,t2=300oC
?tC =74.7% 实际 ?t=30~40%
卡诺热机 只有 理论 意义,最高理想
实际上 T s 很难实现
火力发电 t1=600oC,t2=25oC
?tC =65.9% 实际 ?t=40%
回热和联合循环 ?t可达 50%
§ 4-3 克劳修斯不等式
§ 4-3,§ 4-4熵, § 4-5孤立系熵增原理
围绕方向性问题,不等式
热二律推论之一
卡诺定理 给出热机的 最高理想
热二律推论之二
克劳修斯不等式 反映 方向性
定义 熵
Clausius inequality
克劳修斯不等式
克劳修斯不等式的研究对象是 循环
方向性的 判据
正 循环
逆 循环
可逆 循环
不可逆 循环
克劳修斯不等式
的推导
克劳修斯不等式的推导
（ 1） 可逆循环
1,正循环（ 卡诺循环 ）
T1
T2
R
Q1
Q2
W
12 0Q Q Q? ? ? ???
吸热
2 2
11
11t
Q T
QT
? ? ? ? ? 21
12
QQ
TT
?
∴ 21
12
0
QQQ
T T T
? ? ? ???
克劳修斯不等式的推导
（ 2） 不可逆循环
1,正循环（ 卡诺循环 ）
T1
T2
R
Q1
Q2
W
''
12 0Q Q Q? ? ? ???
吸热
21
12
QQ
TT
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∴
''
21
12
0
QQQ
T T T
?
? ? ???
假定 Q1=Q1’, ?tIR < ?tR,W’<W
'
22QQ?
∵ 可逆时
IR W
’
Q1’
Q2’
克劳修斯不等式的推导
（ 1） 可逆循环
2,反循环（ 卡诺循环 ）
T1
T2
R
Q1
Q2
W
12 0Q Q Q? ? ? ? ???
放热
22
111 2 1 2
22
11
11
C
QT
TQQ Q T T
TQ
? ? ? ? ?
?? ?
?
21
12
QQ
TT
?
∴ 1 2
12
0
QQQ
T T T
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克劳修斯不等式的推导
（ 2） 不可逆循环
2,反循环（卡诺循环）
T1
T2
R
Q1
Q2
W
''
12 0Q Q Q? ? ? ? ???
放热
21
12
QQ
TT
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∴
' '
1 2
12
0
QQQ
T T T
? ?
? ? ???
假定 Q2 = Q2’ W’>W
'
11QQ?
可逆时
IRW
’
Q1’
Q2’
克劳修斯不等式推导总结
可逆 =
不可逆 <
正循环（可逆、不可逆）
0Q? ??? 吸热
0Q
T
? ???
反循环（可逆、不可逆）
0Q? ??? 放热
仅卡诺循环
克劳修斯不等式
∴ 对任意循环
0
r
Q
T
? ???
克劳修斯
不等式
将循环用无数组 s 线细
分,abfga近似可看成卡
诺循环
= 可逆循环 < 不可逆循环 > 不可能
热源温度
热二律表达式之一
克劳修斯不等式 例题
A 热机是否能实现
1000 K
300 K
A
2000 kJ
800 kJ
1200 kJ
可能
如果,W=1500 kJ
1500 kJ
不可能
2 0 0 0 8 0 0
1 0 0 0 3 0 0
0, 6 6 7 k J /K 0
Q
T
?
??
? ? ?
??
500 kJ
2 0 0 0 5 0 0
1 0 0 0 3 0 0
0,3 3 3 k J/ K 0
Q
T
?
??
??
??
注意,热量的正和负是站在循环的立场上
§ 4-4 熵 Entropy
热二律推论之一
卡诺定理 给出热机的 最高理想
热二律推论之二
克劳修斯不等式 反映 方向性
热二律推论之三
熵 反映 方向性
熵的导出
定义,熵 reQ
dS
T
??
于 19世纪中叶首先克劳修斯 (R.Clausius)引入，式中 S从
1865年起称为 entropy，由 清华刘仙洲 教授译成为,熵,。
小知识
0
r
Q
T
? ???克劳修斯不等式
可逆过程，, 代表某一 状态函数 。
T
q?Q
T
?
= 可逆循环
< 不可逆循环
比 熵 reqds
T
??
熵的物理意义
定义,熵
reQdS
T
??
热源温度 =工质温度
比 熵 reqds
T
??
0
r
Q
T
? ???克劳修斯不等式
0dS ? 0Q? ?
0dS ? 0Q? ?
0dS ?
可逆时
0Q? ?
熵变表示可逆
过程中热交换
的方向和大小
熵的物理意义
0dS????
定理：在两个不同温度的 恒温热源 间工作的
所有热机，以 可逆热机 的热效率为 最高 。
卡诺提出,卡诺循环 效率最高
即在恒温 T1,T2下 t,Rt,???任
结论正确, 但推导过程是错误的
当时盛行, 热质说,
1850年开尔文, 1851年克劳修斯分别重新证明
Carnot principles
卡诺 的证明 — 反证法
假定 Q1= Q1’
要证明
T1
T2
IR R RW
Q1
Q2 Q2’ Q2’
Q1’ Q1’
W ’
t,IR t,R???
如果 >
t,IR
1
W
Q? ?
'
t,R '
1
W
Q
? ?
∵ Q1= Q1’ ∴ W > W ’
“热质说”，水,高位到低位，
作功，流量不变
热经过热机作功，高温到低
温，热量不变
Q2= Q1 Q2’= Q1’ Q2= Q2’
T1和 T2无变化，作出净功 W-W ’,违反热一律
把 R逆转
卡诺 证明 的错误
恩格斯 说卡诺定理头重脚轻
? 开尔文重新证明
? 克劳修斯重新证明
? 热质说
? 用第一定律证明第二定律
开尔文的证明 — 反证法
若 ?tIR > ?tR T1
T2
IR R
Q1 Q1’
Q2 Q2’
WIRIR R
WW?
WIR- WR = Q2’ - Q2 > 0
T1无变化
从 T2吸热 Q2’-Q2
违反开表述，单热源热机
WR
假定 Q1= Q1’
要证明 tIR tR???
把 R逆转
-WRW
IR=Q1-Q2 WR=Q1’-Q2’
对外作功 WIR-WR
克劳修斯的证明 — 反证法
假定,WIR=WR
若 ?tIR > ?tR
T1
T2
IR R
Q1 Q1’
Q2 Q2’
WIR
IR R
'
11
WW
?
Q1 < Q1’
Q1’- Q1 = Q2’ - Q2 > 0
从 T2吸热 Q2’-Q2
向 T1放热 Q1’-Q1 不付代价
违反克表述
要证明 tIR tR???
Q1-Q2= Q1’-Q2 ’ WR
把 R逆转
卡诺定理 推论一
在两个不同温度的 恒温热源 间工作的一
切 可逆热机,具有 相同 的 热效率,且与工质
的性质无关。
T1
T2
R1 R2
Q1 Q1’
Q2 Q2’
WR1
求证,?tR1 = ?tR2
由卡诺定理
?tR1 > ?tR2 ?tR2 > ?tR1 W
R2只有,?tR1 = ?tR2
?tR1 = ?tR2= ?tC
与工质无关
卡诺定理 推论二
在两个不同温度的 恒温热源 间工作的任
何 不可逆热机,其热效率 总小于 这两个热源
间工作的 可逆热机 的效率。
T1
T2
IR R
Q1 Q1’
Q2 Q2’
WIR
已证,?tIR > ?tR 证明 ?tIR = ?tR
反证法,假定,?tIR = ?tR
令 Q1 = Q1’ 则 WIR = WR
工质循环、冷热源均恢复原状，
外界无痕迹，只有可逆才行，
与原假定矛盾。
∴ Q1’- Q1 = Q2’ - Q2= 0
WR
多热源 （变热源） 可逆机
多热源 可逆热机与相同温度界限的 卡诺
热机相比,热效率 如何？
Q1C > Q1R多 Q2C < Q2R多 b
c
d
a
3
21
4
56
2
t
1
1 Q
Q
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T2
T1
平均温度法：
2
tR _
1
1
T
T
?
?
??多
∴ ?tC > ?tR多
Q1R多 = T1(sc-sa)
Q2R多 = T2(sc-sa)
T
s
概括性卡诺热机
如果 吸热 和 放热 的多变指数相同
b
cd
a
fe
T1
T2
完全回热
T
s
2
tCtR
1
1 T
T
??? ? ?概括
n n
∴ ab = cd = ef
这个结论提供了一个提高热效率的途径
Ericsson cycle
卡诺定理小结
1,在两个不同 T 的 恒温热源 间工作的一切
可逆 热机 ?tR = ?tC
2,多 热源间工作的一切可逆热机
?tR多 < 同温限间工作卡诺机 ?tC
3,不可逆 热机 ?tIR < 同热源间工作 可逆 热机 ?tR
?tIR < ?tR=?tC
∴ 在给定的温度界限间 工作的 一切热机,
?tC最高 热机极限
The Carnot Principles
1,The efficiency of an irreversible
heat engine is always less than the
efficiency of a reversible one
operating between the same two
reservoirs.
2,The efficiencies of all reversible
heat engines operating between the
same two reservoirs are the same.
卡诺定理的意义
从理论上确定了通过热机循环
实现热能转变为机械能的条件，指
出了提高热机热效率的方向，是研
究热机性能不可缺少的准绳。
对热力学第二定律的建立具有
重大意义。
卡诺定理举例
A 热机是否能实现
1000 K
300 K
A
2000 kJ
800 kJ
1200 kJ可能
如果,W=1500 kJ
2
tC
1
3001 1 7 0 %
1000
T
T
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t
1
1200 60%
2000
w
q
? ? ? ? 1500 kJ
t
1500 75%
2000
? ?? 不可能
500 kJ
实际 循环与卡诺循环
内燃机 t1=2000oC,t2=300oC
?tC =74.7% 实际 ?t=30~40%
卡诺热机 只有 理论 意义,最高理想
实际上 T s 很难实现
火力发电 t1=600oC,t2=25oC
?tC =65.9% 实际 ?t=40%
回热和联合循环 ?t可达 50%
§ 4-3 克劳修斯不等式
§ 4-3,§ 4-4熵, § 4-5孤立系熵增原理
围绕方向性问题,不等式
热二律推论之一
卡诺定理 给出热机的 最高理想
热二律推论之二
克劳修斯不等式 反映 方向性
定义 熵
Clausius inequality
克劳修斯不等式
克劳修斯不等式的研究对象是 循环
方向性的 判据
正 循环
逆 循环
可逆 循环
不可逆 循环
克劳修斯不等式
的推导
克劳修斯不等式的推导
（ 1） 可逆循环
1,正循环（ 卡诺循环 ）
T1
T2
R
Q1
Q2
W
12 0Q Q Q? ? ? ???
吸热
2 2
11
11t
Q T
QT
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12
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∴ 21
12
0
QQQ
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克劳修斯不等式的推导
（ 2） 不可逆循环
1,正循环（ 卡诺循环 ）
T1
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Q1
Q2
W
''
12 0Q Q Q? ? ? ???
吸热
21
12
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∴
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21
12
0
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假定 Q1=Q1’, ?tIR < ?tR,W’<W
'
22QQ?
∵ 可逆时
IR W
’
Q1’
Q2’
克劳修斯不等式的推导
（ 1） 可逆循环
2,反循环（ 卡诺循环 ）
T1
T2
R
Q1
Q2
W
12 0Q Q Q? ? ? ? ???
放热
22
111 2 1 2
22
11
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C
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TQ
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21
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∴ 1 2
12
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QQQ
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克劳修斯不等式的推导
（ 2） 不可逆循环
2,反循环（卡诺循环）
T1
T2
R
Q1
Q2
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12 0Q Q Q? ? ? ? ???
放热
21
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假定 Q2 = Q2’ W’>W
'
11QQ?
可逆时
IRW
’
Q1’
Q2’
克劳修斯不等式推导总结
可逆 =
不可逆 <
正循环（可逆、不可逆）
0Q? ??? 吸热
0Q
T
? ???
反循环（可逆、不可逆）
0Q? ??? 放热
仅卡诺循环
克劳修斯不等式
∴ 对任意循环
0
r
Q
T
? ???
克劳修斯
不等式
将循环用无数组 s 线细
分,abfga近似可看成卡
诺循环
= 可逆循环 < 不可逆循环 > 不可能
热源温度
热二律表达式之一
克劳修斯不等式 例题
A 热机是否能实现
1000 K
300 K
A
2000 kJ
800 kJ
1200 kJ
可能
如果,W=1500 kJ
1500 kJ
不可能
2 0 0 0 8 0 0
1 0 0 0 3 0 0
0, 6 6 7 k J /K 0
Q
T
?
??
? ? ?
??
500 kJ
2 0 0 0 5 0 0
1 0 0 0 3 0 0
0,3 3 3 k J/ K 0
Q
T
?
??
??
??
注意,热量的正和负是站在循环的立场上
§ 4-4 熵 Entropy
热二律推论之一
卡诺定理 给出热机的 最高理想
热二律推论之二
克劳修斯不等式 反映 方向性
热二律推论之三
熵 反映 方向性
熵的导出
定义,熵 reQ
dS
T
??
于 19世纪中叶首先克劳修斯 (R.Clausius)引入，式中 S从
1865年起称为 entropy，由 清华刘仙洲 教授译成为,熵,。
小知识
0
r
Q
T
? ???克劳修斯不等式
可逆过程，, 代表某一 状态函数 。
T
q?Q
T
?
= 可逆循环
< 不可逆循环
比 熵 reqds
T
??
熵的物理意义
定义,熵
reQdS
T
??
热源温度 =工质温度
比 熵 reqds
T
??
0
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Q
T
? ???克劳修斯不等式
0dS ? 0Q? ?
0dS ? 0Q? ?
0dS ?
可逆时
0Q? ?
熵变表示可逆
过程中热交换
的方向和大小
熵的物理意义
0dS????
