截交线的性质,
? 截交线 是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点
都是它们的共有点。
? 截交线 是封闭的平面曲线或曲线与平面组成的平面图形。
? 截交线 的形状，取决于回转体表面的形状及截平面对回转
体轴线的相对位置。
求截交线的方法和步骤,
? 分析回转体的表面性质，截平面与投影面的相对位置，截
平面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投影。
? 求出截交线上的点，首先找特殊点再补充中间点。
? 补全轮廓线，光滑地连接各点，得截交线的投影。
§ 4--2 平面与回转体相交
一、平面与圆柱体相交
截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面与圆柱轴
线的相对位置。
P
截平面与圆柱轴线
平行截交线为矩形
PH
P
Pv
截平面与圆柱轴线
倾斜截交线为椭圆
P
Pv
截平面与圆柱轴线
垂直截交线为圆
例 1、求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面
的投影，完成侧面投影。
1' ?
2' ?
1? ? 2
? 1"
2" ?
3'(4') ?
4?
? 3
4"? ?3"
a ?
a'(b') ?
b?
? a" b"?
c'(d')?
? c
?d
? c" d"?
动画
作图过程,
? 求特殊点 即找最高、最
低、最左、最右、最前、最
后点可确定出椭圆长短轴的
端点。
? 求一般点 从正面投影上
选取 A,B,C,D四点分别求
出水平面和侧面投影。
? 光滑地连接各点。
例 2、已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。
分析：圆柱的轴线是侧垂线，
截断体分别由侧平面、正垂面、
水平面截切圆柱体而成的。
侧平面与圆柱轴线垂直，截交
线为圆弧，其正面投影为直线，
侧面投影为圆弧。
正垂面与圆柱轴线倾斜，
截交线为部分椭圆，正面投影
为直线，侧面投影与圆重合。
水平面与圆柱轴线平行截
交线为矩形，正面、侧面投影
均直线。
1' ·
? 1
? 2"
? 2
(3') ? 2'
? 3
3" ?
4 '
? (5')
? 4
? 4" 5" ?
5 ?
6'(7 ')
?
7" 6"
6 ?
7
?
8' ?
(9 ')
? 8" 9" ?
? 8
9
?
a' ?
(b ')
? a" b" ?
? a
b
?
1" ·
c
d
c" d"
c '
(d')
?
( ) ( )
动画
完成后的投影图
例 3、求如图所示的开槽圆柱的左视图。
分析：槽是由三个截平面形
成的，左右对称的两个截平
面是平行于圆柱轴线的侧平
面，它们与圆柱面的截交线
均为两条直素线，与上底面
的截交线为正垂线。另一个
截平面是垂直于圆柱轴线的
水平面，它与圆柱面的截交
线为两段圆弧。三个截平面
间产生了两条交线，均为正
垂线。
1'（ 2'）
? ? 1" 2" ?
?
1
?
2
?
3'（ 4'）
?
3
? 4
?
3"
?
4"
5'（ 6'）
?
5
6
5" ? 6" ?
完成后的投影图
动画
常见错误
二、平面与圆锥体相交
截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线的
形状不同。
截平面垂直于圆锥轴线，倾角为 θ=90ο，截交线为圆形。
Pv
圆锥截交线
（ 1）当截平面垂直于圆柱体的轴线，截断面为圆。
截平面与圆锥轴线倾斜，倾角 θ>α截交线为椭圆。
Pv α
圆锥截交线
（ 2）当截断面与圆柱体的轴线所成的角大于半
锥角时，截交线为椭圆。
Pv
截平面与圆锥轴线倾斜面，倾角 θ=α截交线为抛物线。
圆锥截交线
（ 3）当截断面与圆柱体的轴线所成的角等于半
锥角，即截断面与圆锥体的素线平行时，锥面和
截断面的交线为抛物线。
Pv
截平面与圆锥轴线平行或倾角 θ<α，截交线为双曲线。
圆锥截交线
（ 4）当截断面与圆柱体的轴线平行时，锥面和
截断面的交线为双曲线。
Pv
截平面过锥顶截交线为三角形。
圆锥截交线
（ 5）当截平面过锥顶，截断面为等边三角形。
例 1、已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，求斜切圆
锥体的水平投影和侧面投影。
圆锥体的轴线为铅垂线，截平面与圆锥
轴线的倾角大于圆锥母线与轴线的夹角，截
交线为椭圆。截平面是正垂面，截交线的正
面投影为直线。
? a
a' ?
? b'
? b
? a"
b" ? c'(d ')
? ? c"
? c
d ?
? k
l ?
?k" ? k'l'
?
?
d" ? l" ? ? ?
作图,
1、求特殊点 最高点 B
最低点 A；圆锥体的前后
素线与截交线的正面投影
的交点 c'd'重影为一点，其
余两面投影根据投影关系
求出；截交线的最前点 K
和最后点 L，正面投影重影
于 a'b'的中点。
2、求一般点。
3、光滑连接各点的同面投
影。
Chap3-2
完成后的三视图
动画
例 2、已知顶尖被截切后的正面和侧面投影，求作水平投影。
分析：顶尖头是由相连的圆锥
体和圆柱体被两个平面截切
而成，轴线为侧垂线，截平面
分别为侧平面和水平面。
侧平面与圆柱轴线垂直,
与圆柱的截交线为圆弧，正面
投影为直线，侧面投影为圆弧
的实形。
水平面与圆柱的截交线为
开口矩形，与圆角度的截交线
为双曲线，其正面和侧面投影
均为直线 。
a'
?
? b' (c')
?a
a"
?
? b" c"?
?
b
? C
d'e'
? d" e"
e
?
?
d
f '? ?
f "
? f
g'h'
? ?
g"
? h"
?
g
h
?
动画
根据立体图绘制三视图
【 形体分析 】 槽的侧面 P为侧平面，并和圆锥的轴线平行，
所以,P平面和锥面的交线为双曲线段，并且侧面投影反映
实形。槽的上面 R为水平面，并和圆锥的轴线垂直，所以，
R平面和锥面的交线为圆弧，并且水平投影反映实形，圆弧
的半径可从主视图上求得。
动画
三、平面与球体相交
球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交
线的投影可能是圆、直线或椭圆。
Ph
1、截平面为平行面
截平面为正平
面，正面投影为截
交线圆的实形。
Pv
截平面为水平面，水平
投影为截交线圆的实形 。
截平面为正垂面，截交线的
水平投影及侧面为椭圆。
3、截平面为垂直面 2、截平面为水平面
例 1：已知圆球体被截切后的正面投影求作水平投影 。
a'
b'
? b a ?
e' (f ') ?
? e
f ?
c'(d') ?
? c
d
?
g'(h' ) ?
? g
h
?
分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影
为直线，水平投影为椭圆。
作图,1、求特殊点 截交线的最低点 A和最高点 B
是水平投影的最右点和最左点，也是截交线水平
投影椭圆短轴的交点，水平投影 a,b在其正面投
影轮廓线的水平投影上 。 a' b'的中点 c' d'是截交线
水平投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影
cd投影在辅助纬圆上。 e' f'是截交线与球的水平投
影轮廓线的正面投影的交点，其水平投影 ef在球的
水平投影轮廓线上。
2、求一般点 选择适当位置作辅助水平面，与 ab
的交点 g,h为截交线上两个点的正面投影，其水
平投影 g,h投影在辅助纬圆上。
例 2、已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。
分析：半球的通槽由三个平面构成,
一个水平面和两个侧平面截切圆球
它们与球面的截交线都是分别平行于
投影面的圆弧。关键是确定截交圆弧
的半径；可根据截平面位置确定。
1、通槽的水平投影作图：过槽底部
作辅助水平面，水平投影为圆，并在
圆周上截取与正面投影相对应的前后
两段圆弧。
2、通槽侧面投影的作图：两侧平面
距球心等远，两圆弧的半径相等，两
段圆弧的侧面投影重合。
? 截交线 是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点
都是它们的共有点。
? 截交线 是封闭的平面曲线或曲线与平面组成的平面图形。
? 截交线 的形状，取决于回转体表面的形状及截平面对回转
体轴线的相对位置。
求截交线的方法和步骤,
? 分析回转体的表面性质，截平面与投影面的相对位置，截
平面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投影。
? 求出截交线上的点，首先找特殊点再补充中间点。
? 补全轮廓线，光滑地连接各点，得截交线的投影。
§ 4--2 平面与回转体相交
一、平面与圆柱体相交
截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面与圆柱轴
线的相对位置。
P
截平面与圆柱轴线
平行截交线为矩形
PH
P
Pv
截平面与圆柱轴线
倾斜截交线为椭圆
P
Pv
截平面与圆柱轴线
垂直截交线为圆
例 1、求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面
的投影，完成侧面投影。
1' ?
2' ?
1? ? 2
? 1"
2" ?
3'(4') ?
4?
? 3
4"? ?3"
a ?
a'(b') ?
b?
? a" b"?
c'(d')?
? c
?d
? c" d"?
动画
作图过程,
? 求特殊点 即找最高、最
低、最左、最右、最前、最
后点可确定出椭圆长短轴的
端点。
? 求一般点 从正面投影上
选取 A,B,C,D四点分别求
出水平面和侧面投影。
? 光滑地连接各点。
例 2、已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。
分析：圆柱的轴线是侧垂线，
截断体分别由侧平面、正垂面、
水平面截切圆柱体而成的。
侧平面与圆柱轴线垂直，截交
线为圆弧，其正面投影为直线，
侧面投影为圆弧。
正垂面与圆柱轴线倾斜，
截交线为部分椭圆，正面投影
为直线，侧面投影与圆重合。
水平面与圆柱轴线平行截
交线为矩形，正面、侧面投影
均直线。
1' ·
? 1
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(3') ? 2'
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4 '
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1" ·
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c" d"
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( ) ( )
动画
完成后的投影图
例 3、求如图所示的开槽圆柱的左视图。
分析：槽是由三个截平面形
成的，左右对称的两个截平
面是平行于圆柱轴线的侧平
面，它们与圆柱面的截交线
均为两条直素线，与上底面
的截交线为正垂线。另一个
截平面是垂直于圆柱轴线的
水平面，它与圆柱面的截交
线为两段圆弧。三个截平面
间产生了两条交线，均为正
垂线。
1'（ 2'）
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1
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3
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5
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完成后的投影图
动画
常见错误
二、平面与圆锥体相交
截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线的
形状不同。
截平面垂直于圆锥轴线，倾角为 θ=90ο，截交线为圆形。
Pv
圆锥截交线
（ 1）当截平面垂直于圆柱体的轴线，截断面为圆。
截平面与圆锥轴线倾斜，倾角 θ>α截交线为椭圆。
Pv α
圆锥截交线
（ 2）当截断面与圆柱体的轴线所成的角大于半
锥角时，截交线为椭圆。
Pv
截平面与圆锥轴线倾斜面，倾角 θ=α截交线为抛物线。
圆锥截交线
（ 3）当截断面与圆柱体的轴线所成的角等于半
锥角，即截断面与圆锥体的素线平行时，锥面和
截断面的交线为抛物线。
Pv
截平面与圆锥轴线平行或倾角 θ<α，截交线为双曲线。
圆锥截交线
（ 4）当截断面与圆柱体的轴线平行时，锥面和
截断面的交线为双曲线。
Pv
截平面过锥顶截交线为三角形。
圆锥截交线
（ 5）当截平面过锥顶，截断面为等边三角形。
例 1、已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，求斜切圆
锥体的水平投影和侧面投影。
圆锥体的轴线为铅垂线，截平面与圆锥
轴线的倾角大于圆锥母线与轴线的夹角，截
交线为椭圆。截平面是正垂面，截交线的正
面投影为直线。
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作图,
1、求特殊点 最高点 B
最低点 A；圆锥体的前后
素线与截交线的正面投影
的交点 c'd'重影为一点，其
余两面投影根据投影关系
求出；截交线的最前点 K
和最后点 L，正面投影重影
于 a'b'的中点。
2、求一般点。
3、光滑连接各点的同面投
影。
Chap3-2
完成后的三视图
动画
例 2、已知顶尖被截切后的正面和侧面投影，求作水平投影。
分析：顶尖头是由相连的圆锥
体和圆柱体被两个平面截切
而成，轴线为侧垂线，截平面
分别为侧平面和水平面。
侧平面与圆柱轴线垂直,
与圆柱的截交线为圆弧，正面
投影为直线，侧面投影为圆弧
的实形。
水平面与圆柱的截交线为
开口矩形，与圆角度的截交线
为双曲线，其正面和侧面投影
均为直线 。
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动画
根据立体图绘制三视图
【 形体分析 】 槽的侧面 P为侧平面，并和圆锥的轴线平行，
所以,P平面和锥面的交线为双曲线段，并且侧面投影反映
实形。槽的上面 R为水平面，并和圆锥的轴线垂直，所以，
R平面和锥面的交线为圆弧，并且水平投影反映实形，圆弧
的半径可从主视图上求得。
动画
三、平面与球体相交
球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交
线的投影可能是圆、直线或椭圆。
Ph
1、截平面为平行面
截平面为正平
面，正面投影为截
交线圆的实形。
Pv
截平面为水平面，水平
投影为截交线圆的实形 。
截平面为正垂面，截交线的
水平投影及侧面为椭圆。
3、截平面为垂直面 2、截平面为水平面
例 1：已知圆球体被截切后的正面投影求作水平投影 。
a'
b'
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g'(h' ) ?
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分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影
为直线，水平投影为椭圆。
作图,1、求特殊点 截交线的最低点 A和最高点 B
是水平投影的最右点和最左点，也是截交线水平
投影椭圆短轴的交点，水平投影 a,b在其正面投
影轮廓线的水平投影上 。 a' b'的中点 c' d'是截交线
水平投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影
cd投影在辅助纬圆上。 e' f'是截交线与球的水平投
影轮廓线的正面投影的交点，其水平投影 ef在球的
水平投影轮廓线上。
2、求一般点 选择适当位置作辅助水平面，与 ab
的交点 g,h为截交线上两个点的正面投影，其水
平投影 g,h投影在辅助纬圆上。
例 2、已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。
分析：半球的通槽由三个平面构成,
一个水平面和两个侧平面截切圆球
它们与球面的截交线都是分别平行于
投影面的圆弧。关键是确定截交圆弧
的半径；可根据截平面位置确定。
1、通槽的水平投影作图：过槽底部
作辅助水平面，水平投影为圆，并在
圆周上截取与正面投影相对应的前后
两段圆弧。
2、通槽侧面投影的作图：两侧平面
距球心等远，两圆弧的半径相等，两
段圆弧的侧面投影重合。
