§ 2--2 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影
过 A作垂直于 V、
H面的投射线 A a′、
Aa，分别与 H面交
于 a，与 V面交于 a′，
a,a′即为点 A的两
面投影。
V
H
O X
A
a
a'
V
V
H
O X
实际作图时不
画投影面边框。
a
a′
ax
a′
a
O X
H
O X
A
a
a′
V
ax
ax
（ 1）、点的两面投影连线垂
直于相应的投影轴，即
aa'⊥ ox；
（ 2）、点的投影到投影轴的
距离，等于该点到相应投
影面的距离，即,
a'ax=Aa aax=Aa'
点的两面投影规律,
点的两面投影规律,
（ 1）、点的两面投影连线垂直于相应的投
影轴，即 aa'⊥ ox；
（ 2）、点的投影到投影轴的距离，等于该
点到相应投影面的距离，即,
a'ax=Aa
aax=Aa'
二、点在三投
影面体系中的
投影
a
V
H
W
O X
YH
YW
Z
a' a"
X
YH
YW
Z
O
a' a"
a
规定,空间点
A用大写字母
表示，在 H面
的投影用 a，
在 V面的投影
用 a'，在 W面
的投影用 a"表
示。
V
H
W
X
Y
Z
O
a'
a
a" A
ax
az
ay
点的三面投影规律,
（ 1）、点的投影连线垂直于投影轴。
即,a'a⊥ ox,a'a"⊥ oz
（ 2）、点的投影到投影轴的距离，等于该点的 坐标，
也就是该点到相应投影面的距离。
三、点的三面投影与直角坐标的关系,
将投影面体系当作空间直角坐标系，把 V,H,W
当作坐标面，投影轴 ox,oy,oz当作坐标 轴,o 作
为原点。
点 A的空间位置可以用直角坐标（ x,y,z）来表示。
点 A的 x坐标值 =oax =aay=a'az=Aa"反映点 A到 W面的距
离。
Y坐标值 =oay=aax=a"az=Aa'反映点 A 到 V面的距离。
Z坐标值 =oaz=a'ax=a"ay=Aa反映点 A到 H面的距离。
O
a"
ayw
X
YH
YW
Z
a
a'
ax
az
ayh
x
a 由点
A的 x、
y值确
定,a'
由点 A
的 x、
Z确定，
a"由点
A的 y、
z值确
定。
V
H
W
X
Y
Z
O
a'
a
a" A
ax
az
ay
例 1、已知点的坐标值为,A（ 20,10,15）和 B
（ 0,15,20）求它们的三面投影图。
解：（ 1）量取坐标值；
X O
YH
YW
Z
a
a' a"
b
b' b"
（ 2）作点的投影。 10
20
10
例 2、已知各点的两面投影，求作其第三投
影，并判断点对投影面的相对位置。
a
b' c
点 A的三个坐标值均
不为 0,A为一般位置。
点 B的 Z坐标为 0，故
点 B为 H面上的点。
点 C的 x,y坐标为 0，
故点 C为 z轴上的点。
b
b"
c' c"
x
yH
yw
z
o
a' a"
四、两点的相对位置和重影点,
1、两点的相对位置
要在投影图上判断空间两点的相对位置，应根据 这 两
点在每个的面投影关系和坐标差 来确定。
例：由投影图判断 A,B两点的空间位置。
a
a'
b
b'
X O
YH
YW
Z
a"
b"
（ 1）由 A,B两点 V,H面投
影可确定点 A在点 B左方。
（ 2）由 A,B的 H,W面投影
可确定 A在 B前方。
（ 3）由 A,B的 V,W面投
影可确定 A在 B下方。
因此 点 A位于点 B左、前、下方 。
O
前
前
下
左
利用相对位置作图
例、已知点 A的投影，且知点 B在 A的左方 10、下方 15及前
方 12，试作出点 B的投影 。
试求出 A,B,C各点的第三投影 。
图 2-19 无轴投影作图
2,重影点
重影点 —— 空间两点在一个面的投影重合于一点叫做 重影点 。
如图,C,D两点的水平
投影，证明投影为一点。
O X
c （ d）
c'
d' 又因点 C在点 D的正上方,C点可见,D点被
遮盖。
作图时不可见
点加括号。
结论, 如果两个点的某面
投影重合时，则对该投影
面的投影坐标值大者为可
见，小者为不可见。
例：已知点 D 的三面投影，点 C在点 D的正前方 15mm，
求作点 C的三面投影，并判别其投影的可见性。
解,
由已知条件知：
XC=XD ZC=ZD
YC-YD=15mm
∴ 点 C,D在 V面上
的投影重影。
c
c' c"
又 ∵ YC > YD
∴ C的 V面投影为
可见点，则 D的 V
面投影为不可见
点。
YH
d'
O X Y
W
Z
d
d" ( )
Y
W
Z
V
H
X O
Aa'
a"
a
Bb'
b
V
H
W
X
Y
Z
b
B
A
b'
b"
a"
a
a'
W
V
H
X
Y
O
Z
A
B
a
b
a"
b" (b') a'
X YW
YH
Z
a
a"
b
b"
c" c
c'
a'
b'
1、点 A在 V面上，故 YA=0
2、点 B在 X轴上，故 ZB= YB =0
3、点 C在原点上，故
Zc= Yc = Xc =0
X YW O
YH
Z
a
a"
b
b"
a'
b'
X YW O
YH
Z
a
a"
b
b" a' （ b‘）
点 A在点 B的上方（ ZA＞ ZB)
点 A在点 B的右方（ XA＜ XB)
点 A在点 B的前方（ YA＞ YB)
点 A在点 B的正前方
(XA=XBZA=ZB,YA＞ YB )
点 A和点 B称为 V面上的重
影点。
一、点在两投影面体系中的投影
过 A作垂直于 V、
H面的投射线 A a′、
Aa，分别与 H面交
于 a，与 V面交于 a′，
a,a′即为点 A的两
面投影。
V
H
O X
A
a
a'
V
V
H
O X
实际作图时不
画投影面边框。
a
a′
ax
a′
a
O X
H
O X
A
a
a′
V
ax
ax
（ 1）、点的两面投影连线垂
直于相应的投影轴，即
aa'⊥ ox；
（ 2）、点的投影到投影轴的
距离，等于该点到相应投
影面的距离，即,
a'ax=Aa aax=Aa'
点的两面投影规律,
点的两面投影规律,
（ 1）、点的两面投影连线垂直于相应的投
影轴，即 aa'⊥ ox；
（ 2）、点的投影到投影轴的距离，等于该
点到相应投影面的距离，即,
a'ax=Aa
aax=Aa'
二、点在三投
影面体系中的
投影
a
V
H
W
O X
YH
YW
Z
a' a"
X
YH
YW
Z
O
a' a"
a
规定,空间点
A用大写字母
表示，在 H面
的投影用 a，
在 V面的投影
用 a'，在 W面
的投影用 a"表
示。
V
H
W
X
Y
Z
O
a'
a
a" A
ax
az
ay
点的三面投影规律,
（ 1）、点的投影连线垂直于投影轴。
即,a'a⊥ ox,a'a"⊥ oz
（ 2）、点的投影到投影轴的距离，等于该点的 坐标，
也就是该点到相应投影面的距离。
三、点的三面投影与直角坐标的关系,
将投影面体系当作空间直角坐标系，把 V,H,W
当作坐标面，投影轴 ox,oy,oz当作坐标 轴,o 作
为原点。
点 A的空间位置可以用直角坐标（ x,y,z）来表示。
点 A的 x坐标值 =oax =aay=a'az=Aa"反映点 A到 W面的距
离。
Y坐标值 =oay=aax=a"az=Aa'反映点 A 到 V面的距离。
Z坐标值 =oaz=a'ax=a"ay=Aa反映点 A到 H面的距离。
O
a"
ayw
X
YH
YW
Z
a
a'
ax
az
ayh
x
a 由点
A的 x、
y值确
定,a'
由点 A
的 x、
Z确定，
a"由点
A的 y、
z值确
定。
V
H
W
X
Y
Z
O
a'
a
a" A
ax
az
ay
例 1、已知点的坐标值为,A（ 20,10,15）和 B
（ 0,15,20）求它们的三面投影图。
解：（ 1）量取坐标值；
X O
YH
YW
Z
a
a' a"
b
b' b"
（ 2）作点的投影。 10
20
10
例 2、已知各点的两面投影，求作其第三投
影，并判断点对投影面的相对位置。
a
b' c
点 A的三个坐标值均
不为 0,A为一般位置。
点 B的 Z坐标为 0，故
点 B为 H面上的点。
点 C的 x,y坐标为 0，
故点 C为 z轴上的点。
b
b"
c' c"
x
yH
yw
z
o
a' a"
四、两点的相对位置和重影点,
1、两点的相对位置
要在投影图上判断空间两点的相对位置，应根据 这 两
点在每个的面投影关系和坐标差 来确定。
例：由投影图判断 A,B两点的空间位置。
a
a'
b
b'
X O
YH
YW
Z
a"
b"
（ 1）由 A,B两点 V,H面投
影可确定点 A在点 B左方。
（ 2）由 A,B的 H,W面投影
可确定 A在 B前方。
（ 3）由 A,B的 V,W面投
影可确定 A在 B下方。
因此 点 A位于点 B左、前、下方 。
O
前
前
下
左
利用相对位置作图
例、已知点 A的投影，且知点 B在 A的左方 10、下方 15及前
方 12，试作出点 B的投影 。
试求出 A,B,C各点的第三投影 。
图 2-19 无轴投影作图
2,重影点
重影点 —— 空间两点在一个面的投影重合于一点叫做 重影点 。
如图,C,D两点的水平
投影，证明投影为一点。
O X
c （ d）
c'
d' 又因点 C在点 D的正上方,C点可见,D点被
遮盖。
作图时不可见
点加括号。
结论, 如果两个点的某面
投影重合时，则对该投影
面的投影坐标值大者为可
见，小者为不可见。
例：已知点 D 的三面投影，点 C在点 D的正前方 15mm，
求作点 C的三面投影，并判别其投影的可见性。
解,
由已知条件知：
XC=XD ZC=ZD
YC-YD=15mm
∴ 点 C,D在 V面上
的投影重影。
c
c' c"
又 ∵ YC > YD
∴ C的 V面投影为
可见点，则 D的 V
面投影为不可见
点。
YH
d'
O X Y
W
Z
d
d" ( )
Y
W
Z
V
H
X O
Aa'
a"
a
Bb'
b
V
H
W
X
Y
Z
b
B
A
b'
b"
a"
a
a'
W
V
H
X
Y
O
Z
A
B
a
b
a"
b" (b') a'
X YW
YH
Z
a
a"
b
b"
c" c
c'
a'
b'
1、点 A在 V面上，故 YA=0
2、点 B在 X轴上，故 ZB= YB =0
3、点 C在原点上，故
Zc= Yc = Xc =0
X YW O
YH
Z
a
a"
b
b"
a'
b'
X YW O
YH
Z
a
a"
b
b" a' （ b‘）
点 A在点 B的上方（ ZA＞ ZB)
点 A在点 B的右方（ XA＜ XB)
点 A在点 B的前方（ YA＞ YB)
点 A在点 B的正前方
(XA=XBZA=ZB,YA＞ YB )
点 A和点 B称为 V面上的重
影点。
