§ 4--3 两立体表面相交
概 念
两立体的相交叫相贯，其表面产生的交线叫相贯线。
★ 相贯线性质,
表面性 —— 相贯线位于两立体的表面上。
封闭性 —— 相贯线一般是封闭的空间曲线。
共有性 —— 相贯线是两立体表面的共有线。
★ 作图实质：找两立体表面的若干共有点的投影。
★ 作图方法,
交点法、表面取点法、辅助线法、辅助平面法。
辅助平面法,根据三面共点原理，利用辅助 平面求
出两回转体表面上的共有点。
★ 作图步骤,
? 分析两立体表面性质，即两立体的相对位
置和相交情况。
? 求相贯线上的特殊点。
? 求相贯线上的一般点。假想用辅助平面截
切两立体，分别得出两立体表面的截交线，截交
线的交点是相贯线上的点。
★ 选择辅助平面的原则,
使辅助平面与两立体表面的截交线的投影是
最简单形状（直线或圆）。一般选投影面平行面。
一、平面立体与平面立体相交
两平面立体的相贯线在一般情况下是一条封闭的折线
由于两立体的相对位置不同，相交折线可能由一个或几个部分
的交线组成。折线的各个顶点是一个平面立体的棱与另一个平面
立体的交点，折线的各段是两平面立体各侧面的交线。
A
C
D
B
a`(e`)
b`(f`) d`(g`) c`
a(c`) b
f
e
g
d
a`` e``
c``
f``(g``) b``(d``)
二、平面立体与曲面立体相交
平面立体与曲面立体的相贯线，一般是由
若干段平面曲线或直线所组成的空间封闭曲线。
A
C
D E
a``(b``) e``(f``) c``(d``)
c`(e`)
a`
d`(f`)
b`
a
c
e
b
d
f
相贯线投影
圆柱相贯线
圆柱和圆柱相交时, 如果它们的轴线垂直相交, 称之为正交 。 一般情况下,
正交时相贯线为空间曲线, 且有两个对称面, 相贯线在两个柱面反映圆的视图上
的投影为圆和圆弧, 相贯线在两个柱面不反映圆的视图上的投影为曲线, 曲线的
求法可采用表面取点法 。
三、曲面立体与曲面立体相交
两曲面立体相贯，其相贯线一般为光滑的封闭空间曲线。
相贯线上的点，是两曲面立体表面上的共有点。
1、两圆柱相交
相交两回转体的相互位置不同可分为 正交,偏交、斜交 。
相贯线投影 相贯线投影
分析：两圆柱体轴线垂直相
交，其轴线分别为铅垂线和
侧垂线，因此小圆柱的水平
投影和大圆柱的侧面投影都
具有积聚性。相贯线的水平
投影积矛在圆周上，侧面投
影积聚于圆周的一部分。
作图：求特殊点,a',b'就是
两圆柱表面共有点的正面投
影，也是相贯线的最高点、
最左点、最右点。从侧面投
影轮廓线的交点求得相贯线
最前点、最后点的侧面投影
c",d"，由从属关系求出其
余两面投影。
求一般点：作辅助正平面，
与两圆柱的交线均为矩形，
其侧面投影 1,2和水平面投
影 1,2分别在圆周与平面投
影的交点上。
a'
? b' ? a" b " ?
a ? b ?
? c" d"? ? c' (d')
? c
d ?
1? ?2
1" (2 ") ? ?
1'
? 2'
例 1、如图示，求两圆柱正交的相贯线。
完成后的投影图
例 2、已知一圆柱体上有一圆柱孔，如图所示，求相贯线。
a'
? b' ?
a ? ?b
a" (b") ?
? c" d" ? ? c' (d')
? c
d
?
1? ? 2
1"(2")
? ? 1' ? 2'
完成后的相贯线投影图
内、外圆柱面相交
内、外圆柱面相交
【 分析 】 外、内圆柱面相交，内、内圆柱面相交时，相贯线的形状和外圆柱面
与外圆柱面相交时相贯线的形状相同，画法也完全一样。当两个柱面的直径相
差交大时，可用圆弧代替曲线，圆弧的半径等于大圆柱面的半径。
内圆柱面和内圆柱面相交
内圆柱面和内圆柱面相交
【 分析 】 内圆柱面和内圆柱面相贯时，若两孔的直径相等，产生的相
贯线的空间形状也为椭圆或椭圆弧，在柱面不反映圆的视图上的投影
也积聚为直线，只是不可见，应画成虚线。圆孔和圆孔相贯时，要特
别注意内孔的转向轮廓线，在相贯区域，孔的转向轮廓线应断开。
常见错误画法
圆柱相贯线
2）、两圆柱体直径相等且轴线相交
相贯线为两个相同
的椭圆，椭圆平面
垂直于两轴线所决
定的平面。
动画
直径相等的两个柱面相交
例：如图示，两轴相交的圆柱孔，作出其相贯线。
圆 柱 直 径 对 相 贯 线 弯 曲 方 向 及 弯 度 的 影 响
φ 1 > φ 2 φ 1 = φ 2 φ 1 < φ 2
φ 2
φ
1
φ 2
φ
1
φ 2
φ
1
φ 2
φ 1
φ 2
φ 1
φ 2
φ 1
型 式
三
视
图
三
视
图
相 贯 线
形 状
曲 线 向 着 φ 1 大 圆 柱 轴 线 弯 曲 曲 线 向 着 φ 2 大 圆 柱 轴 线 弯 曲过 两 轴 线 交 点 的 相 交 直 线
两 圆 柱 轴 线 偏 交 时 相 贯 线 的 变 化
2,圆柱与圆锥相交
例：求圆柱和圆锥相贯线的正面和侧面投影。
分析：圆柱与圆锥的轴线
相互垂直，圆柱的轴线是
侧垂线，圆锥的轴线是铅
垂线。相贯线的侧面投影
积聚在圆柱侧面投影的圆
周上。用辅助平面法作图。
作图：求特殊点 A,B是
最高点和最低点；过圆柱
的最前、最后转向轮廓线
作辅助水平面，可求得相
贯线最前、最后点的投影。
a'
?
? b'
a" ?
? a
?
b"
b ?
d ?
? c
c'd' ? ?c" d" ?
求一般点 作辅助水平面。 ? 1
2
?
?1" 2" ? 1'2' ?
?3" 4" ?
?3
? 4
?3'4'
连相贯线，判别可见性。
动画
完成后的相贯线三视图
?3" 4" ?
3,圆柱与球相交
例：求圆柱与球偏交相贯线的正面和侧面投影。
分析：圆柱轴线不能过球心,
因此圆柱与球是偏交。圆柱的
轴线是铅垂线，则相贯线的水
平投影必积聚在圆柱水平投影
的圆周上。
求特殊点 由于圆柱和球下面
投影的转向轮廓线在同一平面
上，交点 a'b'是最高和最低点的
正面投影。作辅助侧平面求出
最前、最后点的投影。 a' ?
b'?
a ? b?
?a"
?
b"
d
?
? c
d"?
c'd'
?
求一般点 作辅助水平面，与
圆柱交线的水平投影都积聚在
圆柱水平投影的圆周上，与球
交线的水平投影为不同直径的
圆，两个圆的交点为相贯线上
的一般点。
1 ?
2
?
? 1'2' ?1" 2" ?
? 3
4
?
? 3'4'
连相贯线判别可见性。
?c"
完成后的相贯线投影图
例 8 辅助平面法求锥面和球面的交线
【 形体分析 】 锥面和球面相贯时, 因锥面和球面没有积聚性, 所以, 相贯线的三个投影均不知道, 为
求出相贯线的三个投影, 必须采用辅助平面法 。 圆锥的轴线在部分球体的前后对称面上, 且垂直与 H
面, 所以, 相贯线关于过球心的正平面对称, 相贯线的 V面投影为曲线段, W面和 H面的为闭合曲线 。
相贯线上的特殊点为锥面对 V和 W面的转向轮廓线与球面的交点,共 4个点 。 求 V面转向轮廓线上的点可
用过锥顶的正平面作辅助平面, 求 W面转向轮廓线上的点可用过锥顶的侧平面作辅助平面, 求一般点
用水平面作辅助平面 。
动画
辅助平面法求锥面和球面的交线
4,相贯线的特殊情况
两回转体共轴线相交,
两回转体有一个公共轴线相交时，它们的相贯线都是
平面曲线 —— 圆。
圆柱与圆锥共轴 圆锥与圆球共轴 圆柱与球共轴
特殊情况下,相贯线为平面曲线或直线,
相贯线为圆
相贯线为直线
概 念
两立体的相交叫相贯，其表面产生的交线叫相贯线。
★ 相贯线性质,
表面性 —— 相贯线位于两立体的表面上。
封闭性 —— 相贯线一般是封闭的空间曲线。
共有性 —— 相贯线是两立体表面的共有线。
★ 作图实质：找两立体表面的若干共有点的投影。
★ 作图方法,
交点法、表面取点法、辅助线法、辅助平面法。
辅助平面法,根据三面共点原理，利用辅助 平面求
出两回转体表面上的共有点。
★ 作图步骤,
? 分析两立体表面性质，即两立体的相对位
置和相交情况。
? 求相贯线上的特殊点。
? 求相贯线上的一般点。假想用辅助平面截
切两立体，分别得出两立体表面的截交线，截交
线的交点是相贯线上的点。
★ 选择辅助平面的原则,
使辅助平面与两立体表面的截交线的投影是
最简单形状（直线或圆）。一般选投影面平行面。
一、平面立体与平面立体相交
两平面立体的相贯线在一般情况下是一条封闭的折线
由于两立体的相对位置不同，相交折线可能由一个或几个部分
的交线组成。折线的各个顶点是一个平面立体的棱与另一个平面
立体的交点，折线的各段是两平面立体各侧面的交线。
A
C
D
B
a`(e`)
b`(f`) d`(g`) c`
a(c`) b
f
e
g
d
a`` e``
c``
f``(g``) b``(d``)
二、平面立体与曲面立体相交
平面立体与曲面立体的相贯线，一般是由
若干段平面曲线或直线所组成的空间封闭曲线。
A
C
D E
a``(b``) e``(f``) c``(d``)
c`(e`)
a`
d`(f`)
b`
a
c
e
b
d
f
相贯线投影
圆柱相贯线
圆柱和圆柱相交时, 如果它们的轴线垂直相交, 称之为正交 。 一般情况下,
正交时相贯线为空间曲线, 且有两个对称面, 相贯线在两个柱面反映圆的视图上
的投影为圆和圆弧, 相贯线在两个柱面不反映圆的视图上的投影为曲线, 曲线的
求法可采用表面取点法 。
三、曲面立体与曲面立体相交
两曲面立体相贯，其相贯线一般为光滑的封闭空间曲线。
相贯线上的点，是两曲面立体表面上的共有点。
1、两圆柱相交
相交两回转体的相互位置不同可分为 正交,偏交、斜交 。
相贯线投影 相贯线投影
分析：两圆柱体轴线垂直相
交，其轴线分别为铅垂线和
侧垂线，因此小圆柱的水平
投影和大圆柱的侧面投影都
具有积聚性。相贯线的水平
投影积矛在圆周上，侧面投
影积聚于圆周的一部分。
作图：求特殊点,a',b'就是
两圆柱表面共有点的正面投
影，也是相贯线的最高点、
最左点、最右点。从侧面投
影轮廓线的交点求得相贯线
最前点、最后点的侧面投影
c",d"，由从属关系求出其
余两面投影。
求一般点：作辅助正平面，
与两圆柱的交线均为矩形，
其侧面投影 1,2和水平面投
影 1,2分别在圆周与平面投
影的交点上。
a'
? b' ? a" b " ?
a ? b ?
? c" d"? ? c' (d')
? c
d ?
1? ?2
1" (2 ") ? ?
1'
? 2'
例 1、如图示，求两圆柱正交的相贯线。
完成后的投影图
例 2、已知一圆柱体上有一圆柱孔，如图所示，求相贯线。
a'
? b' ?
a ? ?b
a" (b") ?
? c" d" ? ? c' (d')
? c
d
?
1? ? 2
1"(2")
? ? 1' ? 2'
完成后的相贯线投影图
内、外圆柱面相交
内、外圆柱面相交
【 分析 】 外、内圆柱面相交，内、内圆柱面相交时，相贯线的形状和外圆柱面
与外圆柱面相交时相贯线的形状相同，画法也完全一样。当两个柱面的直径相
差交大时，可用圆弧代替曲线，圆弧的半径等于大圆柱面的半径。
内圆柱面和内圆柱面相交
内圆柱面和内圆柱面相交
【 分析 】 内圆柱面和内圆柱面相贯时，若两孔的直径相等，产生的相
贯线的空间形状也为椭圆或椭圆弧，在柱面不反映圆的视图上的投影
也积聚为直线，只是不可见，应画成虚线。圆孔和圆孔相贯时，要特
别注意内孔的转向轮廓线，在相贯区域，孔的转向轮廓线应断开。
常见错误画法
圆柱相贯线
2）、两圆柱体直径相等且轴线相交
相贯线为两个相同
的椭圆，椭圆平面
垂直于两轴线所决
定的平面。
动画
直径相等的两个柱面相交
例：如图示，两轴相交的圆柱孔，作出其相贯线。
圆 柱 直 径 对 相 贯 线 弯 曲 方 向 及 弯 度 的 影 响
φ 1 > φ 2 φ 1 = φ 2 φ 1 < φ 2
φ 2
φ
1
φ 2
φ
1
φ 2
φ
1
φ 2
φ 1
φ 2
φ 1
φ 2
φ 1
型 式
三
视
图
三
视
图
相 贯 线
形 状
曲 线 向 着 φ 1 大 圆 柱 轴 线 弯 曲 曲 线 向 着 φ 2 大 圆 柱 轴 线 弯 曲过 两 轴 线 交 点 的 相 交 直 线
两 圆 柱 轴 线 偏 交 时 相 贯 线 的 变 化
2,圆柱与圆锥相交
例：求圆柱和圆锥相贯线的正面和侧面投影。
分析：圆柱与圆锥的轴线
相互垂直，圆柱的轴线是
侧垂线，圆锥的轴线是铅
垂线。相贯线的侧面投影
积聚在圆柱侧面投影的圆
周上。用辅助平面法作图。
作图：求特殊点 A,B是
最高点和最低点；过圆柱
的最前、最后转向轮廓线
作辅助水平面，可求得相
贯线最前、最后点的投影。
a'
?
? b'
a" ?
? a
?
b"
b ?
d ?
? c
c'd' ? ?c" d" ?
求一般点 作辅助水平面。 ? 1
2
?
?1" 2" ? 1'2' ?
?3" 4" ?
?3
? 4
?3'4'
连相贯线，判别可见性。
动画
完成后的相贯线三视图
?3" 4" ?
3,圆柱与球相交
例：求圆柱与球偏交相贯线的正面和侧面投影。
分析：圆柱轴线不能过球心,
因此圆柱与球是偏交。圆柱的
轴线是铅垂线，则相贯线的水
平投影必积聚在圆柱水平投影
的圆周上。
求特殊点 由于圆柱和球下面
投影的转向轮廓线在同一平面
上，交点 a'b'是最高和最低点的
正面投影。作辅助侧平面求出
最前、最后点的投影。 a' ?
b'?
a ? b?
?a"
?
b"
d
?
? c
d"?
c'd'
?
求一般点 作辅助水平面，与
圆柱交线的水平投影都积聚在
圆柱水平投影的圆周上，与球
交线的水平投影为不同直径的
圆，两个圆的交点为相贯线上
的一般点。
1 ?
2
?
? 1'2' ?1" 2" ?
? 3
4
?
? 3'4'
连相贯线判别可见性。
?c"
完成后的相贯线投影图
例 8 辅助平面法求锥面和球面的交线
【 形体分析 】 锥面和球面相贯时, 因锥面和球面没有积聚性, 所以, 相贯线的三个投影均不知道, 为
求出相贯线的三个投影, 必须采用辅助平面法 。 圆锥的轴线在部分球体的前后对称面上, 且垂直与 H
面, 所以, 相贯线关于过球心的正平面对称, 相贯线的 V面投影为曲线段, W面和 H面的为闭合曲线 。
相贯线上的特殊点为锥面对 V和 W面的转向轮廓线与球面的交点,共 4个点 。 求 V面转向轮廓线上的点可
用过锥顶的正平面作辅助平面, 求 W面转向轮廓线上的点可用过锥顶的侧平面作辅助平面, 求一般点
用水平面作辅助平面 。
动画
辅助平面法求锥面和球面的交线
4,相贯线的特殊情况
两回转体共轴线相交,
两回转体有一个公共轴线相交时，它们的相贯线都是
平面曲线 —— 圆。
圆柱与圆锥共轴 圆锥与圆球共轴 圆柱与球共轴
特殊情况下,相贯线为平面曲线或直线,
相贯线为圆
相贯线为直线
