§ 2--3 直线的投影
一,直线投影的确定
一般情况下，直线的投影仍为直线。由于两点决定一直线，因而
只要作出直线上任意两点（通常为直线段的端点）的投影，并将其
同面投影用粗实线连线，即可确定直线的投影。
二、直线的分类及其投影特性
一般位置直线
直线 投影面的平行线 （正平线、水平线、侧平线）
投影面的垂直线 （正垂线、铅垂线、侧垂线）
三,直线上的点
四,两直线的相对位置
O
O
直线投影的确定
一、直线的投影,
例：已知直线
AB端点坐标为 A
（ 20,15,5）,
B（ 5,5,15）
作 AB的三面投
影。
O
X
YH
YW
Z
a
a' a"
b
b' b"
二、各种位置直线的投影特性
1、一般位置直线
YW
O
X
YH
Z
a
a' a"
b
b' b"
直线的三面投影长度均小于实长，
三面投影均倾斜于投影轴，但不反
映空间直线对投影面倾角的大小。
V
H
W
X
Y
Z
A
B
β
α
γ
a
b
a'
b'
a"
b"
α与水平面的夹角
β与正平面的夹角
γ与侧平面的夹角
一般位置直线投影实例
想一想 AB的投
影在 ……?
一般位置直线
一般位置直线和三个投影面均处
于倾斜位置，其三个投影和投影轴倾
斜，且投影线段的长小于空间线段的
实长。从投影图上也不能直接反映出
空间直线和投影平面的夹角。
2、投影面平行线
O X
YH
YW
Z
a
a' a"
b
b' b"
1）、水平线：平行于 H面，对 V,W面倾斜
水平投影
ab=AB
正面投影
a'b'∥ OX,
侧面投影
a"b"∥ OYw
β γ
ab与 OX,OYH的夹角 β,γ等
于 AB对 V,W面的倾角 。
V
H
W
X
Y
Z
b
A
b'
b"
a"
a
a'
B β γ
2）、正平线：平行于 V，对 H,W倾斜
O X
YH
YW
Z
c d
c'
d'
c"
d"
α γ
正面投影
c'd'=CD
水平投影 cd∥ OX
侧面投影 c"d"∥ OZ
c'd'与 OX,OZ的夹角 α,γ等于 CD对 H,W面的倾角。
Y
W
Z
V
H
X
c"
D d"
c d
c'
d'
3）、侧平线：平行于 W面，对 V,H面倾斜
侧面投影
e"f"=EF
水平投
影
ef∥ OYH，
正面投
影
e'f'∥ OZ。
e"f"与 OYW,OZ的夹角 α,β
等于 EF对 V,H面的倾角。
O X
YH
YW
Z
α β
e
f
e'
f '
e"
f"
W
V
H
X
Y
O
Z
F
E
f
e f"
e"
e'
f'
1,a′b′=AB=实长
2,ab∥ OX轴,
a" b" ∥ OZ轴
3,β=0° α,γ反映
实际大小
1,ab=AB=实长
2,a′b′ ∥ OX轴,
a" b" ∥ OYW轴
3,α =0° β, γ反映
实际大小
Y
W
Z
V
H
X
a" A
B b"
a b
a'
b'
正平线 V
H
W
X
Y
Z
b
A
b'
b"
a"
a
a'
B
水平线
X Y
W
YH
Z
a
a"
b
b"
a'
b'
O α
γ
X YW O
YH
Z
a
a"
b
b" a' b'
γ β
W
V
H
X
Y
O
Z
A
B
a
b a"
b"
b'
a'
侧平线
X YW O
YH
Z
a
a"
b
b"
a'
b'
1,a" b" =AB=实长
2,a′b′ ∥ OZ轴,
ab ∥ OYH轴
3,γ =0° β,α 反映
实际大小
投影面平行线的投影特性
1、直线在所平行的投影面上的投影反映直
线的实际长度。
2、直线在另外两个投影面上的投影平行于
相应的轴（所平行投影面 上的坐标轴）。
3、投影面垂直线
1）、铅垂线：直线 ⊥ H面,∥ V,W面。
O X
YH
YW
Z
a （ b）
a'
b'
a"
b"
水平投影
积聚为一
点。
a'b'=a"b"=AB
a'b' ⊥ OX,a"b"
⊥ OYW
2）、正垂线：直线 ⊥ V面,∥ H,W面。
O X
YH
YW
Z
c
d
c' (d') c" d" 正面投影积聚为一
点。
cd=c"d"=CD
cd⊥ OX,
c"d"⊥ OZ
3）、侧垂线：直线 ⊥ W面,∥ H,V面。
O X
YH
YW
Z
e f
e' f ' e'' （ f "）
侧面投影积聚
为一点。
ef=e'f '=EF
ef⊥ OYH,e'f'⊥ OZ。
1,V面投影积聚为一点。
2,a" b" =ab=AB=实长
3,ab⊥ OX轴,a" b" ⊥ OZ
轴 β=90° α,γ=0°
X Y
W
YH
Z
a
a"
b
b"
O
a' b' ( )
V
H
W
X
Y
Z
A b'
b"
a"
a'
B
铅垂线
a(b)
1,H面投影积聚为一点。
2,a" b" = a'b' =AB=实长
3,a'b' ⊥ OX轴,a" b" ⊥
OY W 轴 α =90° β, γ=0°
X YW O
YH
Z
a"
b"
a'
b'
a(b)
X YW O
YH
Z
a b
a' b' a"(b")
W
V
H
X
Y
Z
A B
a b
b' a'
侧垂线
a"(b")
1,w面投影积聚为一点。
2,a'b' =ab=AB=实长
3,ab⊥ OYH轴,a'b' ⊥ OZ
轴 γ =90° α,β =0°
Y
W
Z
V
H
X a"
A
B
b"
a
b
正垂线
A B
a' b' ( )
投影面垂直线的投影特性
1、直线在所垂直的投影面上的投影积聚为
一点。
2、直线在另外两个投影面上的投影垂直于
相应的轴（所垂直投影面上的坐标轴），且
反映实际长度。
三、直线上的点
1、从属性,
点在直线上,点的各面投影必定在该直线的
同面投影上； 反之，点的各面投影均在直线
的同面投影上，则该 点必在此直线上。
O
X
YH
YW
Z
a
a' a"
b
b' b"
k
k' k"
2、定比性,
直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。
O
X
YH
YW
Z
a
a' a"
b
b' b"
k
k' k"
即,AK,KB=ak,kb=a'k',k'b'=a"k",k"b"
例 1、试在直线 AB上取一点 C，使 AC:CB=1:2，
求作 C点。
解：分点 C的投
影必在 AB的
同面投影上。
且 ac:cb
=a'c',c'b'
=1:2
O X
a
b
a'
b'
1 2 3
c
c'
例 2、已知直线 CD及点 M的两面投影，判断
M是否在 CD上。
解 1,
O X
c
d
c'
d'
m
m'
作侧平线 CD和点 M
的侧面投影,
由作图知点 M的侧面
投影不在 cd上，所以
M不在 CD上。
c"
d"
m"
z
YH
YW
解 2,
在 H面作任一直线 cE，
使 cE=c'd'。
并截取 cM1=c'm'
E
M1 连 dE，过 M1作 dE的平行线与 cd交于 m
1 m
O X
c
d
c'
d'
m'
m1
因为 m1与 m不重合，所
以 M不在 CD上。
四、两直线相对位置
空间两直线的相对位置分为
平行, 相交, 交叉
1、平行两直线,
投影特性,空间两直
线相互平行，它们的
各组同面投影必定相
互平行 。
A
B
C
D
a
b
c
d
反之，若两直线的各同面投影相互平行，则两直线
在空间一定平行。
★ 平行的两直线是共面的直线。
?当空间直线为一般位置直线时，若直线的两个投影
对应平行，即可判定空间两直线平行
?当空间直线为投影面平行线时,若直线的两个投影
对应平行，且其中一个投影反映两直线的实长，也
可判定空间两直线平行。若两个投影反映均不反映
两直线的实长，则不能由两个投影判定空间两直线
平行，需添加辅助线或补画第三投影来判断。
?当空间直线同时垂直于一个投影面时，两直线平行。
两直线平行的特性
2、相交两直线
a
b
c
d
A
B
C
D
K
k
K是两直线的共有点,
∴ K在平面上的投影 k
必在 ab上，又必在 cd上。
交点 K的三面投影符
合点的投影规律。
★ 相交的两直线是共面的直线。
O X
Z
YH
YW
a
b
c
d
k
a'
b'
c'
d'
k'
a"
b"
c"
d"
k"
3、交叉两直线
在空间即不平行也不相交的两直线为 交叉两直
线 。
同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规
律。 如图示
a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
AB两面投影的交点
连线不 ⊥ OX轴,
∴ 为交叉两直线。
★ 交叉的两直线是异面的直线。
a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
投影的交点并不是空间两直线真正的交点，
而是两直线上相应点投影的重影点。
对重影点应区分
其可见性，即根
据重影点对同一
投影面的坐标值
大小来判断坐标
值大者为可见点，
小者为不可见点。
1
1'
2
2'
3
3'
4
4'
( )
( )
例 1、判断两直线的相对位置
O
X
a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
O
X
a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
O X a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
交点的连线垂直于 OX，
且两直线为一般位置直
线，由两面投影可判断
为相交两直线。
∵ ab与 cd在一
直线上，而
ab∥ cd,∴ 两
直线平行。
∵ CD为侧平线，利
用点分割线段成比
例进行判断。为交
叉两直线。
E
m k
例 2、过 C点作水平线 CD与 AB相交。
d
d'
先作 CD的正
面投影
k
k'
a
a'
b
b'
c
c' ?
?
例 3、已知：两直线 AB,CD的投影及点 M的水平投影
m，试作一直线 MN∥ CD并与直线 AB相交于 N点。
· a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
m
O X
n
n'
m'
作图：过 m作 mn∥ cd，并与 ab交于 n；由 n求出 n'；
过 n'作 n'm'∥ c'd'，求得 m'。
?点与直线的投影特性,尤其是特殊
位置直线的投影特性。
?点与直线及两直线的相对位置的判
断方法及投影特性。
?点分割直线成定比 —— 定比定理 。
小 结
一,直线投影的确定
一般情况下，直线的投影仍为直线。由于两点决定一直线，因而
只要作出直线上任意两点（通常为直线段的端点）的投影，并将其
同面投影用粗实线连线，即可确定直线的投影。
二、直线的分类及其投影特性
一般位置直线
直线 投影面的平行线 （正平线、水平线、侧平线）
投影面的垂直线 （正垂线、铅垂线、侧垂线）
三,直线上的点
四,两直线的相对位置
O
O
直线投影的确定
一、直线的投影,
例：已知直线
AB端点坐标为 A
（ 20,15,5）,
B（ 5,5,15）
作 AB的三面投
影。
O
X
YH
YW
Z
a
a' a"
b
b' b"
二、各种位置直线的投影特性
1、一般位置直线
YW
O
X
YH
Z
a
a' a"
b
b' b"
直线的三面投影长度均小于实长，
三面投影均倾斜于投影轴，但不反
映空间直线对投影面倾角的大小。
V
H
W
X
Y
Z
A
B
β
α
γ
a
b
a'
b'
a"
b"
α与水平面的夹角
β与正平面的夹角
γ与侧平面的夹角
一般位置直线投影实例
想一想 AB的投
影在 ……?
一般位置直线
一般位置直线和三个投影面均处
于倾斜位置，其三个投影和投影轴倾
斜，且投影线段的长小于空间线段的
实长。从投影图上也不能直接反映出
空间直线和投影平面的夹角。
2、投影面平行线
O X
YH
YW
Z
a
a' a"
b
b' b"
1）、水平线：平行于 H面，对 V,W面倾斜
水平投影
ab=AB
正面投影
a'b'∥ OX,
侧面投影
a"b"∥ OYw
β γ
ab与 OX,OYH的夹角 β,γ等
于 AB对 V,W面的倾角 。
V
H
W
X
Y
Z
b
A
b'
b"
a"
a
a'
B β γ
2）、正平线：平行于 V，对 H,W倾斜
O X
YH
YW
Z
c d
c'
d'
c"
d"
α γ
正面投影
c'd'=CD
水平投影 cd∥ OX
侧面投影 c"d"∥ OZ
c'd'与 OX,OZ的夹角 α,γ等于 CD对 H,W面的倾角。
Y
W
Z
V
H
X
c"
D d"
c d
c'
d'
3）、侧平线：平行于 W面，对 V,H面倾斜
侧面投影
e"f"=EF
水平投
影
ef∥ OYH，
正面投
影
e'f'∥ OZ。
e"f"与 OYW,OZ的夹角 α,β
等于 EF对 V,H面的倾角。
O X
YH
YW
Z
α β
e
f
e'
f '
e"
f"
W
V
H
X
Y
O
Z
F
E
f
e f"
e"
e'
f'
1,a′b′=AB=实长
2,ab∥ OX轴,
a" b" ∥ OZ轴
3,β=0° α,γ反映
实际大小
1,ab=AB=实长
2,a′b′ ∥ OX轴,
a" b" ∥ OYW轴
3,α =0° β, γ反映
实际大小
Y
W
Z
V
H
X
a" A
B b"
a b
a'
b'
正平线 V
H
W
X
Y
Z
b
A
b'
b"
a"
a
a'
B
水平线
X Y
W
YH
Z
a
a"
b
b"
a'
b'
O α
γ
X YW O
YH
Z
a
a"
b
b" a' b'
γ β
W
V
H
X
Y
O
Z
A
B
a
b a"
b"
b'
a'
侧平线
X YW O
YH
Z
a
a"
b
b"
a'
b'
1,a" b" =AB=实长
2,a′b′ ∥ OZ轴,
ab ∥ OYH轴
3,γ =0° β,α 反映
实际大小
投影面平行线的投影特性
1、直线在所平行的投影面上的投影反映直
线的实际长度。
2、直线在另外两个投影面上的投影平行于
相应的轴（所平行投影面 上的坐标轴）。
3、投影面垂直线
1）、铅垂线：直线 ⊥ H面,∥ V,W面。
O X
YH
YW
Z
a （ b）
a'
b'
a"
b"
水平投影
积聚为一
点。
a'b'=a"b"=AB
a'b' ⊥ OX,a"b"
⊥ OYW
2）、正垂线：直线 ⊥ V面,∥ H,W面。
O X
YH
YW
Z
c
d
c' (d') c" d" 正面投影积聚为一
点。
cd=c"d"=CD
cd⊥ OX,
c"d"⊥ OZ
3）、侧垂线：直线 ⊥ W面,∥ H,V面。
O X
YH
YW
Z
e f
e' f ' e'' （ f "）
侧面投影积聚
为一点。
ef=e'f '=EF
ef⊥ OYH,e'f'⊥ OZ。
1,V面投影积聚为一点。
2,a" b" =ab=AB=实长
3,ab⊥ OX轴,a" b" ⊥ OZ
轴 β=90° α,γ=0°
X Y
W
YH
Z
a
a"
b
b"
O
a' b' ( )
V
H
W
X
Y
Z
A b'
b"
a"
a'
B
铅垂线
a(b)
1,H面投影积聚为一点。
2,a" b" = a'b' =AB=实长
3,a'b' ⊥ OX轴,a" b" ⊥
OY W 轴 α =90° β, γ=0°
X YW O
YH
Z
a"
b"
a'
b'
a(b)
X YW O
YH
Z
a b
a' b' a"(b")
W
V
H
X
Y
Z
A B
a b
b' a'
侧垂线
a"(b")
1,w面投影积聚为一点。
2,a'b' =ab=AB=实长
3,ab⊥ OYH轴,a'b' ⊥ OZ
轴 γ =90° α,β =0°
Y
W
Z
V
H
X a"
A
B
b"
a
b
正垂线
A B
a' b' ( )
投影面垂直线的投影特性
1、直线在所垂直的投影面上的投影积聚为
一点。
2、直线在另外两个投影面上的投影垂直于
相应的轴（所垂直投影面上的坐标轴），且
反映实际长度。
三、直线上的点
1、从属性,
点在直线上,点的各面投影必定在该直线的
同面投影上； 反之，点的各面投影均在直线
的同面投影上，则该 点必在此直线上。
O
X
YH
YW
Z
a
a' a"
b
b' b"
k
k' k"
2、定比性,
直线上的点分割直线之比，在投影后保持不变。
O
X
YH
YW
Z
a
a' a"
b
b' b"
k
k' k"
即,AK,KB=ak,kb=a'k',k'b'=a"k",k"b"
例 1、试在直线 AB上取一点 C，使 AC:CB=1:2，
求作 C点。
解：分点 C的投
影必在 AB的
同面投影上。
且 ac:cb
=a'c',c'b'
=1:2
O X
a
b
a'
b'
1 2 3
c
c'
例 2、已知直线 CD及点 M的两面投影，判断
M是否在 CD上。
解 1,
O X
c
d
c'
d'
m
m'
作侧平线 CD和点 M
的侧面投影,
由作图知点 M的侧面
投影不在 cd上，所以
M不在 CD上。
c"
d"
m"
z
YH
YW
解 2,
在 H面作任一直线 cE，
使 cE=c'd'。
并截取 cM1=c'm'
E
M1 连 dE，过 M1作 dE的平行线与 cd交于 m
1 m
O X
c
d
c'
d'
m'
m1
因为 m1与 m不重合，所
以 M不在 CD上。
四、两直线相对位置
空间两直线的相对位置分为
平行, 相交, 交叉
1、平行两直线,
投影特性,空间两直
线相互平行，它们的
各组同面投影必定相
互平行 。
A
B
C
D
a
b
c
d
反之，若两直线的各同面投影相互平行，则两直线
在空间一定平行。
★ 平行的两直线是共面的直线。
?当空间直线为一般位置直线时，若直线的两个投影
对应平行，即可判定空间两直线平行
?当空间直线为投影面平行线时,若直线的两个投影
对应平行，且其中一个投影反映两直线的实长，也
可判定空间两直线平行。若两个投影反映均不反映
两直线的实长，则不能由两个投影判定空间两直线
平行，需添加辅助线或补画第三投影来判断。
?当空间直线同时垂直于一个投影面时，两直线平行。
两直线平行的特性
2、相交两直线
a
b
c
d
A
B
C
D
K
k
K是两直线的共有点,
∴ K在平面上的投影 k
必在 ab上，又必在 cd上。
交点 K的三面投影符
合点的投影规律。
★ 相交的两直线是共面的直线。
O X
Z
YH
YW
a
b
c
d
k
a'
b'
c'
d'
k'
a"
b"
c"
d"
k"
3、交叉两直线
在空间即不平行也不相交的两直线为 交叉两直
线 。
同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规
律。 如图示
a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
AB两面投影的交点
连线不 ⊥ OX轴,
∴ 为交叉两直线。
★ 交叉的两直线是异面的直线。
a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
投影的交点并不是空间两直线真正的交点，
而是两直线上相应点投影的重影点。
对重影点应区分
其可见性，即根
据重影点对同一
投影面的坐标值
大小来判断坐标
值大者为可见点，
小者为不可见点。
1
1'
2
2'
3
3'
4
4'
( )
( )
例 1、判断两直线的相对位置
O
X
a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
O
X
a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
O X a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
交点的连线垂直于 OX，
且两直线为一般位置直
线，由两面投影可判断
为相交两直线。
∵ ab与 cd在一
直线上，而
ab∥ cd,∴ 两
直线平行。
∵ CD为侧平线，利
用点分割线段成比
例进行判断。为交
叉两直线。
E
m k
例 2、过 C点作水平线 CD与 AB相交。
d
d'
先作 CD的正
面投影
k
k'
a
a'
b
b'
c
c' ?
?
例 3、已知：两直线 AB,CD的投影及点 M的水平投影
m，试作一直线 MN∥ CD并与直线 AB相交于 N点。
· a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
m
O X
n
n'
m'
作图：过 m作 mn∥ cd，并与 ab交于 n；由 n求出 n'；
过 n'作 n'm'∥ c'd'，求得 m'。
?点与直线的投影特性,尤其是特殊
位置直线的投影特性。
?点与直线及两直线的相对位置的判
断方法及投影特性。
?点分割直线成定比 —— 定比定理 。
小 结
