§ 2--5 直线与平面、平面与平面
之间的相对位置
直线与平面平行
平面与平面平行
直线与平面相交
平面与平面相交
1,直线与平面平行
定理, 直线平行于平面上的某一条直线。
即：如果直线平行于平面，则 直线的各面投
影 必与 平面上一直线的同面投影 平行。
O
例 1、过点 M作直线 MN平行于平面△ ABC。
解,
a
a'
b
b'
c
c'
m
m'
有多少解？
n
n'
无数解
例 2、过点 M作直线 MN平行于 V面和△ ABC。
解,正平线
a
b
c
m
m' a'
b'
c'
∵ △ ABC为正
垂面,∴ 直线
MN的正面投影
m'n'必定平行于
a'b'c'。又 ∵ MN
为正平线,∴ mn
平行于 OX轴。
n'
n
有唯一解
有多少
解？
当直线与垂直于投影面的
平面平行时，在平面垂直的投
影面上，直线的投影 平行 于平
面有积聚性的同面投影。
2、平面与平面平行
几何条件,
1）、若一个 平面上的两相
交直线 分别 平行于另一平
面上的两相交直线,则两
平面相互平行。
c
a
a'
b
b'
c'
d'
d e
e'
f
f '
g
g'
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
2）、若两投影面 垂直
面相互平行,则它们
具有积聚性的那组投
影 必相互平行。
O
例 3、过点 K作平面平行于△ ABC
解,
?
?
a'
a
b'
b
c'
c
k'
k
分析：按几何条
件，只要过点 K
作两相交直线 KL、
KH对应地平行于
已知平面的一对
相交直线，此平
面即为所求。
作图,KL∥ AB,
KH∥ BC。
l
l'
h
h'
例 4、判别如图所示的两平面是否平行。
解,1'
1
2'
(2)
3'
3
4'
(4)
a'
a
b'
b
c'
c
因两平面均为铅垂面，在 H面的投影
互相平行，所以两平面平行。
3、直线与平面相交
交点是直线与平面的共有点。
讨论：（ 1）求直线与平面的交点；
（ 2）判别两者之间的相互遮挡关系，即
判别可见性。
只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊
位置的情况。
1）、一般位置直线与特殊位置平面相交
例 1、求直线 AB与铅垂面△ DEF的交点 K，
并判别可见性。
分析：因△ DEF的水
平投影 def有积聚性，
交点 K是△ DEF内的点，
它必在 def上，又因 K
是 AB上的点，它的水
平投影 k必在 ab上，因
此 k就是 K的水平投影。
由 k可求得 k'。
a'
a
b'
b
d'
d
e'
e
f '
f
k
k' 1'
1
(2')
2
例 2、求直线 AB与水平面的交点 K，并判别
可见性。
a
a'
b
b'
k'
? k
由图知：圆平面是水平
面，其正面投影有积聚
性，可先求出 V面的投
影 k'，再求出 H面投影 k。
由于 a'k'在水平面的上方，故
水平投影 ak可见,kb被圆遮
住的部分为不可见。
2）、特殊位置直线（垂直线）与一般位置 平面相交
例 3、求铅垂线 DE与△ ABC的交点 K，并判别可见性。
? a
a'
b
b'
c
c'
d'
e'
(e)
d (k)
借助于辅助线的方法
求出交点。
n
n'
? 判别可见性：由 V面的 b'c'与
d'e'的重影点 1'(2')求出 H面的 1
在直线 DE上,2在 BC上,1的
Y坐标大于 2，所以 d'k'可见，
k'e'被遮住部分不可见。
k'
1' (2 ')
1
2
例 4、求直线 MN与平面△ ABC的交点。
a
a'
b
b'
c
c'
n' ?
m
(m')
n
k' d'
d
k ?
作图：连 c'k'与 a'b'交于 d'，由 d'求
出 d，连 cd交 mn于 k。 k为所求。
判别可见性：在 H面中 mn与
ac的交点 1（ 2），即是直线
MN与平面上 AC边对 H 面的
重影点，求出 1',2'；因 1'的
Z坐标大，所以 kn可见。
1
1'
(2)
2'
4,平面与平面相交
两平面相交，其交线为 直线,交线是两平面
的 共有线,同时交线上的点是两平面的共有点。
讨论,A、求两平面的交线（方法）
1）、确定两平面的两个共有点；
2）、确定一个共有点及交线的方向 。
B、判别可见性。
只讨论有一个平面处于特殊位置的情况。
分析,∵ △ ABC与△ DEF交线
的正面投影为 m'n' △ DEF的 DE、
EF的正面投影 d'f ',e'f '与
△ ABC的正面投影的交点，由
m'n'求出 m,n,mn为可见与
不可见的分界线。
判别可见性,∵ V面 m'n'f '在
△ a'b'c'的上方,∴ mnf 可见，
demn被△ ABC遮挡部分为不
可见。
m'
m
n'
n
a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
e e'
f
f '
例 5、平面△ ABC为投影面平行面与一般位置平
面△ DEF相交，求交线并判别可见性。
例 6、求平面△ ABC与铅垂面△ DEF的交线 KL,并
判别可见性。
a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
e
e'
f
f '
k l
分析,∵ △ DEF是
铅垂面,∴ 其水
平投影有积聚性。
可直接求出 k,l，
再由 k,l求出 k',l'，
交线是可见与不
可见的分界线。
k' l'
之间的相对位置
直线与平面平行
平面与平面平行
直线与平面相交
平面与平面相交
1,直线与平面平行
定理, 直线平行于平面上的某一条直线。
即：如果直线平行于平面，则 直线的各面投
影 必与 平面上一直线的同面投影 平行。
O
例 1、过点 M作直线 MN平行于平面△ ABC。
解,
a
a'
b
b'
c
c'
m
m'
有多少解？
n
n'
无数解
例 2、过点 M作直线 MN平行于 V面和△ ABC。
解,正平线
a
b
c
m
m' a'
b'
c'
∵ △ ABC为正
垂面,∴ 直线
MN的正面投影
m'n'必定平行于
a'b'c'。又 ∵ MN
为正平线,∴ mn
平行于 OX轴。
n'
n
有唯一解
有多少
解？
当直线与垂直于投影面的
平面平行时，在平面垂直的投
影面上，直线的投影 平行 于平
面有积聚性的同面投影。
2、平面与平面平行
几何条件,
1）、若一个 平面上的两相
交直线 分别 平行于另一平
面上的两相交直线,则两
平面相互平行。
c
a
a'
b
b'
c'
d'
d e
e'
f
f '
g
g'
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
2）、若两投影面 垂直
面相互平行,则它们
具有积聚性的那组投
影 必相互平行。
O
例 3、过点 K作平面平行于△ ABC
解,
?
?
a'
a
b'
b
c'
c
k'
k
分析：按几何条
件，只要过点 K
作两相交直线 KL、
KH对应地平行于
已知平面的一对
相交直线，此平
面即为所求。
作图,KL∥ AB,
KH∥ BC。
l
l'
h
h'
例 4、判别如图所示的两平面是否平行。
解,1'
1
2'
(2)
3'
3
4'
(4)
a'
a
b'
b
c'
c
因两平面均为铅垂面，在 H面的投影
互相平行，所以两平面平行。
3、直线与平面相交
交点是直线与平面的共有点。
讨论：（ 1）求直线与平面的交点；
（ 2）判别两者之间的相互遮挡关系，即
判别可见性。
只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊
位置的情况。
1）、一般位置直线与特殊位置平面相交
例 1、求直线 AB与铅垂面△ DEF的交点 K，
并判别可见性。
分析：因△ DEF的水
平投影 def有积聚性，
交点 K是△ DEF内的点，
它必在 def上，又因 K
是 AB上的点，它的水
平投影 k必在 ab上，因
此 k就是 K的水平投影。
由 k可求得 k'。
a'
a
b'
b
d'
d
e'
e
f '
f
k
k' 1'
1
(2')
2
例 2、求直线 AB与水平面的交点 K，并判别
可见性。
a
a'
b
b'
k'
? k
由图知：圆平面是水平
面，其正面投影有积聚
性，可先求出 V面的投
影 k'，再求出 H面投影 k。
由于 a'k'在水平面的上方，故
水平投影 ak可见,kb被圆遮
住的部分为不可见。
2）、特殊位置直线（垂直线）与一般位置 平面相交
例 3、求铅垂线 DE与△ ABC的交点 K，并判别可见性。
? a
a'
b
b'
c
c'
d'
e'
(e)
d (k)
借助于辅助线的方法
求出交点。
n
n'
? 判别可见性：由 V面的 b'c'与
d'e'的重影点 1'(2')求出 H面的 1
在直线 DE上,2在 BC上,1的
Y坐标大于 2，所以 d'k'可见，
k'e'被遮住部分不可见。
k'
1' (2 ')
1
2
例 4、求直线 MN与平面△ ABC的交点。
a
a'
b
b'
c
c'
n' ?
m
(m')
n
k' d'
d
k ?
作图：连 c'k'与 a'b'交于 d'，由 d'求
出 d，连 cd交 mn于 k。 k为所求。
判别可见性：在 H面中 mn与
ac的交点 1（ 2），即是直线
MN与平面上 AC边对 H 面的
重影点，求出 1',2'；因 1'的
Z坐标大，所以 kn可见。
1
1'
(2)
2'
4,平面与平面相交
两平面相交，其交线为 直线,交线是两平面
的 共有线,同时交线上的点是两平面的共有点。
讨论,A、求两平面的交线（方法）
1）、确定两平面的两个共有点；
2）、确定一个共有点及交线的方向 。
B、判别可见性。
只讨论有一个平面处于特殊位置的情况。
分析,∵ △ ABC与△ DEF交线
的正面投影为 m'n' △ DEF的 DE、
EF的正面投影 d'f ',e'f '与
△ ABC的正面投影的交点，由
m'n'求出 m,n,mn为可见与
不可见的分界线。
判别可见性,∵ V面 m'n'f '在
△ a'b'c'的上方,∴ mnf 可见，
demn被△ ABC遮挡部分为不
可见。
m'
m
n'
n
a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
e e'
f
f '
例 5、平面△ ABC为投影面平行面与一般位置平
面△ DEF相交，求交线并判别可见性。
例 6、求平面△ ABC与铅垂面△ DEF的交线 KL,并
判别可见性。
a
a'
b
b'
c
c'
d
d'
e
e'
f
f '
k l
分析,∵ △ DEF是
铅垂面,∴ 其水
平投影有积聚性。
可直接求出 k,l，
再由 k,l求出 k',l'，
交线是可见与不
可见的分界线。
k' l'
