§ 2--4 平面的投影
一、平面的表示法
用几何元素表示平面
不在同一
直线上的
三点。
a
a'
b
b'
c
c' a'
a
b'
b
c'
c
一直线
和线外
一点。
c'
c
a'
a
b'
b
相交两
直线。
b'
b
a'
a
c'
c
d
d'
平行两
直线。
b'
b
a'
a
c'
c
任意平
面形。
二、各种位置平面的投影
铅垂面
正垂面
侧垂面
水平面
正平面
侧平面
平
行
于
某
一
投
影
面
垂
直
于
某
一
投
影
面
特
殊
位
置
平
面
对三个投影面都倾斜
投影面垂直面
投影面平行面
一般位置平面
1、投影面垂直面
垂直于某一个投影面，而倾斜于其余两个
投影面的平面为投影面垂直面。
垂直的投影面
上投影有积聚
性
其余两投影面的
投影为类似形
O X
Z
YH
YW a
a' a"
b
b' b"
c
c' c"
β γ
投影面垂直面
若空间平面垂直
于一个投影面，而倾
斜于其他两个投影面，
这样的平面称之为投
影面垂直面，按垂直
于 V,H,W面的平面分
别称之为正垂面、铅
垂面和侧垂面。投影
面垂直面在其垂直的
投影面上的投影积聚
成一条直线，该直线
和投影轴的夹角反映
了空间平面和其他两
个投影面所成的二面
角，其他两个投影面
上的投影为类似形。
1,V面投影积聚成一条直
线，且反映 α,γ的真实大
小。 β =90°
2,H,W投影均为原平面
的类似形
Y
W
Z
V
H
X
a"
A
B b"
a b
正垂面
C
D
c d
a'(d')
b'(c')
c"
d"
1,H面投影积聚成一条直
线，且反映 β, γ的真实大
小。 α=90°
2,V,W投影均为原平面
的类似形
X Y
W
YH
Z
a
a"
b
b"
O α
γ
c"
d"
c
a'(d')
b'(c')
d
V
H
W
X
Y
Z
A
b'
b"
a"
a(c)
a'
B
铅垂面
b(d)
C
D
c' d'
YW X O
YH
Z
a(c)
a" b" a' b'
γ β
c' d' c" d"
b(d)
W
V
H
X
Y
Z
A
B
a
b
b'
a'
侧垂面
d
C
D
c
c'
d'
a"(c")
b"(d")
1,W面投影积聚成一条直
线，且反映 β, α的真实大
小。 γ =90°
2,V,H投影均为原平面
的类似形
X YW O
YH
Z
a
b
a'
b'
c'
d'
c
d
b"(d")
a"(c") α β
投影面垂直面的投影特性,
? 平面在 所垂直 的投影面上的投影 积聚
为直线；
? 其余两投影面仍为原形的 类似形,
但比实形小；
? 平面具有积聚性的投影与投影轴的 夹
角，分别反映 平面与相应投影面 的倾角。
2、投影面平行面
平行于某一个投影面的平面称为投影面平
行面，该平面必然垂直于其余两个投影面。
O
X
Z
YH
YW
a
a' a"
b
b' b"
c
c' c"
在所平行的投
影面上的投影
反映实形
积聚为直线,
并平行于相
应的投影轴
投影面平行面
空间平面对投影
面有三种位置关系：
平行、垂直和一般位
置。若空间平面平行
于一个投影面，则必
垂直于其他两个投影
面，这样的平面称之
为投影面平行，对平
行于 V,H,W面的
平面分别称之为正平
面、水平面和侧平面。
投影面平行面在其平
行的投影面上的投影
反映实形，其他两个
投影面上投影积聚成
一条直线。
V面投影反映实形,H,
W投影积聚成一条直线，
且分别平行与 OX轴,OZ轴
YW
X Y
W
YH
Z
a b(c)
b"
O α
γ a'
b'
c' a"(c")
V
H
W
X
Y
Z
A b"
a
a'
B
水平面
b
C
c'
a"(c")
d
b'(c')
c
b'(c')
X O
YH
Z
a
b" a'
γ β
d'
b
a"(c")
H面投影反映实形,V,
W投影积聚成一条直线，
且分别平行与 OYW轴,OX
轴
Y
W
Z
V
H
X A
B b"
a b(c)
正平面
C
d
a'
b'
c" d"
a"(c") C
c' a'(c')
W
V
H
X
Y
Z
A
B
a
b'
侧平面
C a"
b"
b(c)
c"
X YW O
YH
Z
a
b' b"
a" α β
b(c)
a'(c') c"
W面投影反映实形,V,
H投影积聚成一条直线，且
分别平行与 OYH轴,OZ轴
投 影 特 性
? 平面在所 平行 的投影面上的投影反
映
实形 ；
? 其余两投影 积聚为直线,并分别平
行于相应的投影轴。
3、一般位置平面
对三个投影面都倾斜的平面。 其特性为,
1、它的各面投影均不反映实形，也不具有积聚性。
2、不直接反映该平面与投影面的倾角。
O X Y
W
YH
Z
a
a' a"
b
b' b"
c
c' c"
若空间平面和三个投影面均处于倾斜位置，称之为一般位
置平面。一般位置平面在三个投影面上的投影均为类似形，
在投影图上不能直接放映空间平面的实形和投影面所成的二
面角 。
三、平面上的点和直线
1、平面上的点和直线
? 定理一,若点在平面内，它必在平面内
的一条直线上。
? 定理二, 若一直线过平面内的一点，且
平行于该 平面上另一直线，则此直线在
该平面内。
? 定理三, 若直线过平面上的两点，则此
直线必在该平面内。
例 1、已知△ ABC平面内点 K的 V面投影 k'，
求作 K的 H面投影。
解 1
O X
a
a'
b
b'
c
c'
O X
a
a'
b
b'
c
c'
解 2
· · d'
d
k'
k
k'
m'
m
k
例 2、已知四边形 ABCD的 V面投影及 AB、
BC的 H面投影，完成 H 面投影。
解 1
O X
a
a'
b
b'
c
c'
d'
d
e'
e
O X
a
a'
b
b'
c
c'
d' 解 2
e'
e
d
2、平面上的投影面平行线
凡在平面上且 平行于某一投影面 的直线，称
为平面上的投影面平行线。
? 平面内的水平线 —— 直线在平面内，又
平行于水平面的直线。
? 平面内的正平线 —— 直线在平面内，又
平行于正面的直线。
? 平面内的侧平线 —— 直线在平面内，又
平行于侧面的直线。
例 3、作△ ABC平面内的正平线，它距 V面为 8mm。
O X
a
a'
b
b'
c
c'
因为正平线的水平投影平行于 OX，先作
34∥ OX，使其距 V面 8mm，再求出 3'4'。
3 4
3'
4'
例 4、在△ ABC内取一点 K，使点 K距 V面 8mm，
距 H 面 12mm。
O X
a
a'
b
b'
c
c'
解,
1
2
2'
1'
3
3'
4
4'
k
k'
四、特殊位置圆的投影
1、与投影面平行的圆
当圆平行于某一投影面时，圆在该投影面上的投影
仍为圆，其余两投影积聚为直线，其长度等于圆的直径，
且平行于相应的投影轴。
O X
YH
YW
Z
2、与投影面垂直的圆
当圆与投影面垂直时，圆在它所垂直的投影
面上的投影积聚为直线，其余两投影为椭圆。
X O
a
a'
b
b'
c
c'
d
d'