电磁能 p292 4-63,67,69,72
点电荷之间的相互作用能
电荷连续分布情形的静电能
电场的能量和能量密度
电荷或电荷组在外电场中的能量
磁场的能量和能量密度
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
点电荷之间的相互作用能
? 定义静电能为零的状态
? 设想带电体系中的电荷可以无限分割为许多小
单元, 最初认为它们分散在彼此相距很远的位
置上, 规定这种状态下系统的静电能为零 。
—— We=0
? 静电能 We：
? 把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集成现
有带电体系时外力抵抗电场力所做的全部功
? A’=-A （电场力做功）
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
两个点电荷的情形
? 先移动 q1 到 M点, ——— 外力不做功
? 再移动 q2 到 N点, ——— 外力做功
121212' UqldEqldFAA
NN ???????? ??
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q1 单独存在
时 N的点电势
?交换移动次序可得
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q1单独存在时 q2
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q2 单独存在时
在 q1处的电势
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
多个点电荷的情形
? 把无限分散的多个点电荷逐个从无穷远移至相
应位置，计算外力所做的功
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P266 4.106式
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
第二种表达式
? 可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关
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所在处的电势总和 )3(21'
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4.108
4.107
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
点电荷组的静电势能
? 点电荷组的静电势能 We等于电场力所做的功 A’
? 相应的表达式为 p266(4.109),(4.110),(4.111)
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Ui:除点电荷 i外其它点电
荷单独存在时 qi 所在处
的电势总和
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
电荷连续分布情
形的静电能
? 将上式推广到电荷连续分布的情形, 假定电荷是体
分布, 体密度为 ?e,把连续分布的带电体分割成许
多电荷元, 其电量 ?qi=?e?Vi,则有
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2
1
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带电体各部分电荷
在积分处的总电势
总静电能
不是相互
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SUdWU d lW eeee ??? ?? ?? 2121,；,面电荷线电荷
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
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电场的能量和能量密度
? 从公式看，静电能仅对其中包含电荷的体积或面
积进行，在其他地方，积分等于零
? 是否可以断定能量仅局限于空间有电荷的区域？
? 以平行板电容器为例说明
????? ?? U d SWU d VW eeee ?? 2121,；,面电荷体电荷
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极板上
的电量
板间电压
体积为 V
内的 W
?电能密度：单位体积内的电能
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普遍
适用
能量定域于场中
2
02
1 E
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2005.5 北京大学物理学院王稼军编
例题
? 例题 15,p267
? 例题二：两个半径为 R1,R2的同心球壳，
均匀带电，电量分 别为 Q1,Q2,求带电体
系的相互作用能
? 例题三：求原子核静电能 —— 近似模型为
均匀带电球体, 半径为 R,带电量为 Q,球
外真空
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
电荷或电荷组在外电场中的能量
? 电荷或电荷组（最简单的是偶极子）在其他带
电体产生的电场（外场）中具有电势能
? 一个电荷在外电场中的电势能
)()( PqUPW ?
外场中 P点的电势
?一个电偶极子在外电场中的电势能
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2005.5 北京大学物理学院王稼军编
带电体系在外场中受的力
或力矩与静电势能的关系
? 设处在一定位形的带电体系的电势能为 W,当它
的位形 发生微小变化
? 电势能将相应地改变 ?W
? 电场力做一定的功 ?A
? 设系统无能量耗散和补充, 能量守恒
?A= -?W
? 电场力的功等于电势能的减少
? 利用上述关系可以给出带电体系的静电能与体系
受力的关系
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
平移
? 设想带电体系有一微小位移 ?l
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电场力在 ?l方向上的投影
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?设想带电体系绕某一方向的轴作微小的角位移 ??
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方向的投影 W??? 0? ????
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? 用虚功原理：虚设位形变化时，电（或磁）
场力做虚功 —— 求力
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
例题,利用虚功原理证明均匀带电球壳在
单位面积上受到的静电排斥力为
? 一个总电量为 q，半径为 R
均匀带电的球壳的自能为
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2005.5 北京大学物理学院王稼军编
问题：
? 若先将带电球壳自能用电荷面密度表示
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与前面得到的不同，那个对？为什么？
求导过程中认为电荷密度不变，对吗？
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
磁场的能量和能量密度
? 线圈建立电流过程中, 电源克服感应电动
势所做的功转变成磁能储存在线圈内
—— 充磁
? 磁能储存在何处？
? 近距作用观点
? 与电场相同, 磁能同样应当定域在磁场中,
凡磁场不为零处便有相应的磁能, 能量是磁
场的重要属性
? 借助于长直螺线管的特例形式地导出普遍
适用的磁场能量密度公式
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
磁场能量密度公式
? 长直螺线管自感
?自感磁能为
11
22BH V V? ? ?BH
?磁能密度：单位体积内的磁能
1
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普遍成立 磁能定域在磁场中
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2005.5 北京大学物理学院王稼军编
两个线圈的磁场能量公式
? 电容器 电容 C 储存电能
? 线圈 电感 L,M 储存磁能
? C,L, M都只与电容器或线圈的几何尺寸, 介质
有关, 是交流电路中的元件
? 两个线圈的磁场能量公式
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自感
磁能
互感磁能
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
例题 22,求无限长同轴线单位
长度内的自感系数
? 磁场只存在于 区域内21 RrR ??
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超导 1
例题 23 22 200 8222121 rIrIrIm ? ??????? ???? HB
点电荷之间的相互作用能
电荷连续分布情形的静电能
电场的能量和能量密度
电荷或电荷组在外电场中的能量
磁场的能量和能量密度
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
点电荷之间的相互作用能
? 定义静电能为零的状态
? 设想带电体系中的电荷可以无限分割为许多小
单元, 最初认为它们分散在彼此相距很远的位
置上, 规定这种状态下系统的静电能为零 。
—— We=0
? 静电能 We：
? 把体系各部分电荷从无限分散的状态聚集成现
有带电体系时外力抵抗电场力所做的全部功
? A’=-A （电场力做功）
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
两个点电荷的情形
? 先移动 q1 到 M点, ——— 外力不做功
? 再移动 q2 到 N点, ——— 外力做功
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q1 单独存在
时 N的点电势
?交换移动次序可得
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q2 单独存在时
在 q1处的电势
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
多个点电荷的情形
? 把无限分散的多个点电荷逐个从无穷远移至相
应位置，计算外力所做的功
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2005.5 北京大学物理学院王稼军编
第二种表达式
? 可以证明，静电能值与电荷移动的次序无关
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2005.5 北京大学物理学院王稼军编
点电荷组的静电势能
? 点电荷组的静电势能 We等于电场力所做的功 A’
? 相应的表达式为 p266(4.109),(4.110),(4.111)
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Ui:除点电荷 i外其它点电
荷单独存在时 qi 所在处
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2005.5 北京大学物理学院王稼军编
电荷连续分布情
形的静电能
? 将上式推广到电荷连续分布的情形, 假定电荷是体
分布, 体密度为 ?e,把连续分布的带电体分割成许
多电荷元, 其电量 ?qi=?e?Vi,则有
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带电体各部分电荷
在积分处的总电势
总静电能
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SUdWU d lW eeee ??? ?? ?? 2121,；,面电荷线电荷
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
EDDEe ??? 2121?
电场的能量和能量密度
? 从公式看，静电能仅对其中包含电荷的体积或面
积进行，在其他地方，积分等于零
? 是否可以断定能量仅局限于空间有电荷的区域？
? 以平行板电容器为例说明
????? ?? U d SWU d VW eeee ?? 2121,；,面电荷体电荷
D E VD E S dS E dUQW e 21212121 00 ???? ?
极板上
的电量
板间电压
体积为 V
内的 W
?电能密度：单位体积内的电能
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普遍
适用
能量定域于场中
2
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2005.5 北京大学物理学院王稼军编
例题
? 例题 15,p267
? 例题二：两个半径为 R1,R2的同心球壳，
均匀带电，电量分 别为 Q1,Q2,求带电体
系的相互作用能
? 例题三：求原子核静电能 —— 近似模型为
均匀带电球体, 半径为 R,带电量为 Q,球
外真空
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
电荷或电荷组在外电场中的能量
? 电荷或电荷组（最简单的是偶极子）在其他带
电体产生的电场（外场）中具有电势能
? 一个电荷在外电场中的电势能
)()( PqUPW ?
外场中 P点的电势
?一个电偶极子在外电场中的电势能
)()( lrqUrqUW ????
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llUrUlrU ????? )()(
UlrU ???? )(
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2005.5 北京大学物理学院王稼军编
带电体系在外场中受的力
或力矩与静电势能的关系
? 设处在一定位形的带电体系的电势能为 W,当它
的位形 发生微小变化
? 电势能将相应地改变 ?W
? 电场力做一定的功 ?A
? 设系统无能量耗散和补充, 能量守恒
?A= -?W
? 电场力的功等于电势能的减少
? 利用上述关系可以给出带电体系的静电能与体系
受力的关系
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
平移
? 设想带电体系有一微小位移 ?l
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电场力在 ?l方向上的投影
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? 转动
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? 用虚功原理：虚设位形变化时，电（或磁）
场力做虚功 —— 求力
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
例题,利用虚功原理证明均匀带电球壳在
单位面积上受到的静电排斥力为
? 一个总电量为 q，半径为 R
均匀带电的球壳的自能为
02 2/ ?? e
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?设想球面稍有膨胀
?则单位面积所受的斥力 RRR ??? ??
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2005.5 北京大学物理学院王稼军编
问题：
? 若先将带电球壳自能用电荷面密度表示
2
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4(2
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与前面得到的不同，那个对？为什么？
求导过程中认为电荷密度不变，对吗？
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
磁场的能量和能量密度
? 线圈建立电流过程中, 电源克服感应电动
势所做的功转变成磁能储存在线圈内
—— 充磁
? 磁能储存在何处？
? 近距作用观点
? 与电场相同, 磁能同样应当定域在磁场中,
凡磁场不为零处便有相应的磁能, 能量是磁
场的重要属性
? 借助于长直螺线管的特例形式地导出普遍
适用的磁场能量密度公式
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
磁场能量密度公式
? 长直螺线管自感
?自感磁能为
11
22BH V V? ? ?BH
?磁能密度：单位体积内的磁能
1
2
W m
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普遍成立 磁能定域在磁场中
VInLIW m 2202 2121 ????
VnL 20 ???
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2005.5 北京大学物理学院王稼军编
两个线圈的磁场能量公式
? 电容器 电容 C 储存电能
? 线圈 电感 L,M 储存磁能
? C,L, M都只与电容器或线圈的几何尺寸, 介质
有关, 是交流电路中的元件
? 两个线圈的磁场能量公式
dVdVW m ?????? ?????? )()(2121 2121 HHBBHB
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自感
磁能
互感磁能
2005.5 北京大学物理学院王稼军编
例题 22,求无限长同轴线单位
长度内的自感系数
? 磁场只存在于 区域内21 RrR ??
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