2005.4 北京大学物理学院王稼军编
有介质存在时的 Gauss定理和环路定理
)','('0 ??qPE ? ??? ??
0' EEE ?? ??
描述极化的几个物理
量是互相影响、互相
制约，一个知道则都
知道，而一个不知道
均不知道
?有介质时，场和真空中的场有何异、同？
?库仑定律 +叠加原理 仍成立
?静电场性质 （ 有源, 无旋 ）？ —— 不变
?为什么？因为极化电荷也是静电荷（只是不能动）
EP e 0???
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
考虑关系
? 把静电场 Gauss定理变换一下
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S S
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内
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电位移矢量 ?? ???
S S
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内
0
S面内包
围的自
由电荷
电位移矢量
通量
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
电位移矢量
? D的 Gauss定理,有电介质存在时，通过电
介质中任意闭合曲面的 电位移通量,等于
闭合曲面所包围的 自由电荷的代数和,与
极化电荷无关
? 公式中不显含 P,q’,E’，可以掩盖矛盾，
但没有解决原有的困难
? 若 q0已知，只要场分布有一定对称性，可以求
出 D，但由于不知道 P，仍然无法求出 E
?? ???
S S
qSdD
内
0
PED ?? 0? 辅助矢量
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
PED ?? 0?
? 需要 补充 D和 E的关系式，并且需要 已知 描
述介质极化性质的极化率 ?e
? 对于各向同性线性介质,有
EP e 0???
?真空中 ED
01 ?? ??,
?有介质的问题总体上说, 比较复杂
?但就各向同性线性介质来说, 比较简单 。
?? ?? e1 相对介电常数（与真空相对）
介
电
常
数
EEe ???? 00 )1( ???
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
有介质时 D的 通量 与闭
合面内 自由电荷 的关系
? 理论地位：描述场的性质，有源无旋场
? 可以用来计算某些场分布（由对称性决定）
? 利用 D- Gauss定理按以下路径求
')'(' EqPED ? ??? ??? ??? ?? ?
?? ???
S S
qSdD
内
0
?利用电容定义和串并联公式按以下路径求
')'(' EqPDEC ? ??? ??? ??? ??? ?? ?
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
例题一：
? 求相对介电常数为 ?的无限大均匀电介质中
点电荷 q的场分布，用 D-Gauss定理，是球
对称场，作球形 Gauss面
?? ??
S
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0
2
00 4
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? 介质内场强削弱了 倍
?电容增加了 倍 ?
1
?
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
特殊情况下，特别是在各向同性线性介
质中 D 与 E之间关系简单
? 从理论上可以证明
? 当均匀介质充满整个电场空间，或均匀介质
是等势面时有介质部分内，下述关系式成立
??
0
00,
EEED ??
等势面?这种情况下可以把有介质部
分与真空部分看成两个电容的
串、并联
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
? 各向同性线性介质 D 正比于 E
? 普遍情况下,两者关系不简单，不一定成正比关系
?? ???
S S
qSdD
内
0
小结：
真空 有介质
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L
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静电荷
（自由、极化） 自由
电荷
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
均匀介质内部极化体电荷密度 ??‘ ＝ 0
? 利用 D－ Gauss定理证明：
? 在介质内部取任意高斯面 S，则有
0????
S
SdD
无自由电荷
EP e 0??? ED ?? 0?DP e
?
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S
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S
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命题得证
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
电介质的击穿 p285 4-22,23,24
? 一般情况下
? 电介质中的载流子（离子、电子或空穴、电咏）在外电场
作用下也会运动，一般情况下，这些运动电荷数量有限，
作用是微弱的，可以忽略，此时电介质是绝缘体
? 外电场增加到相当强时
? 在电介质内会形成电流，介质也会有一定的电导
? 当电场继续增加到某一临界值时，电导率突然剧增，电介
质丧失其固有的绝缘性能变成导体，作为电介质的效能被
破坏 —— 击穿
? 击穿场强 Em：电介质发生击穿时的临界场强
? 击穿电压 Vm,电介质发生击穿时的临界电压
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
例
题,
? 球形电容器内外半径分别为 R1与 R2其间充以相
对介电常数为 ?1和 ?2的均匀介质, 两介质界面
半径为 R。 求,1） 容器的电容； 2） 若内外两
层电介质的 击穿场强 分别为 E1和 E2,且 E1< E2，
为合理使用材料, 最好使两种介质内的电场强
度 同时达到其击穿值, 求此时 R的大小 。
?求电容：求 D—— E—— U—— C
2
20
22
2
10
21
1
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2005.4 北京大学物理学院王稼军编
? 求 R：要求两种介质内的电场强度 同时达到 其击穿值，
且 E1< E2；由于 r越小 E越大,所以 内层最先达到击穿
值,只要取 r=R1处的场强为该层介质的击穿场强 E1,
则可以确定加在电容器两极的最大电量 Q0
?
?
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2005.4 北京大学物理学院王稼军编
? 对于外层介质，当 r=R处场强达到 E2，则
击穿
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2
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1
2
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2
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2005.4 北京大学物理学院王稼军编
接触起电
? 理想的电介质
? 在外电场的作用下应该没有电荷的转移和传导
? 实际的电介质
? 或多或少的具有一定数量的 弱联系的带电质点
? 弱联系的带电质点在外电场的作用下会 形成电
传导和电荷转移, 例如：
? 不同介质接触面之间的电荷可能转移
? 有的电介质内会形成电流
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
? 脱衣服时常听到衣服间的放电声音, 有时两
人的手接触, 也会感到有瞬间的触电感觉
? 接触起电的机理可以用物质的 功函数 来解释
? 一个电子从物体内部跑到物体外部必须作的最小
功
? 物体置于真空中, 电子在物体中就好比处在深为
?的势阱中, 如图所示：若 A,B两种物体的 功函
数不等, 分别为 ?A和 ?B
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
起电
机制
? 当两物体表面距离 ??25?m时, 有电子从一个物体转移到
另一物体
? 若 ?A>?B, 则 B 内的电子容易向 A转移, 则 A表面形成多
余的负空间电荷 （ 不是极化, 而是由对方转移而来的 ）
? B表面层将因失去电子而出现等量的正空间电荷 ；于是两
接触面之间产生一个 偶电层,其厚度为 ?
? 在接触面两侧电荷转移达到平衡时, 偶电层 产生的电势
差恰好抵消了两侧 功函数之差
? 此时如果 迅速分离 两物体, 则偶电层两边的电荷 来不及
完全消失, 而使 A面带负电, B面带正电 —— 接触起电
? 接触面上所带电荷面密度取决于两物体的功函数差
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
例题
? 如图 金属 与 电介质 的接触面，均为无
限大平面，设金属上的空间 电荷面密
度为 ?m，功函数为 ?m 。转移到电介
质一侧的空间电荷近似假设为 均匀分
布于厚度为 ?的表面层内,体密度为
? 。求介质表面层单位面积上的空间
电荷（面电荷密度） ?。
m???? ???
作高斯面
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SxSxSdD
S
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0
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介介
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
? 偶电层产生的电势差恰好抵消了两侧功函
数之差
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?介质表面积累了导体转移过来的负电荷,
而导体表面因失去电子而出现正电荷 。
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
? 类似地可以得到两种电介质相接触时的偶
电层电荷面密度的大小为
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1
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依次为两侧电介质功函数、
相对介电常数和空间电荷
的厚度
电子由功
函数 小 的
一侧 转移
至功函数
大 的一侧 。
? 接触起电虽然是静电现象，但是有时也会造
成严重的不良后果
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
接触起电的危害和应用
? 人体放电
? 人体对地 电容 约为 100~200pf，人坐在人造革
椅子上起立，或在塑料地板上步行数步所产生
的接触静电电荷造成人体的静电电压可以达到
104V～ 空气的击穿场强,有时会出现瞬间放电
现象
? 航天工业
? 静电放电造成火箭和卫星发射失败，干扰航天
飞行器的运行
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
? 绝缘液体的流动也会造成大量接触起电静电荷
? 油轮的船体与油之间也有接触起电的可能
? 美国从 1960年到 1975年由于静电引起的火灾爆炸事故
达 116起
? 1969年底在不到一个月的时间内荷兰、挪威、英国三
艘 20万吨超级油轮洗舱时产生的静电引起相继发生爆
炸
? 我国近年来在石化企业曾发生 30多起较大的静电事故
? 上海某石化公司的 2000米 3 甲苯罐,
? 山东某石化公司的胶渣罐
? 抚顺某石化公司的航煤罐等都因静电造成了严重火灾爆炸事
故 。
? 应用
? 电子照相、静电储存、静电分选、静电喷涂
有介质存在时的 Gauss定理和环路定理
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描述极化的几个物理
量是互相影响、互相
制约，一个知道则都
知道，而一个不知道
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?有介质时，场和真空中的场有何异、同？
?库仑定律 +叠加原理 仍成立
?静电场性质 （ 有源, 无旋 ）？ —— 不变
?为什么？因为极化电荷也是静电荷（只是不能动）
EP e 0???
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
考虑关系
? 把静电场 Gauss定理变换一下
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由电荷
电位移矢量
通量
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
电位移矢量
? D的 Gauss定理,有电介质存在时，通过电
介质中任意闭合曲面的 电位移通量,等于
闭合曲面所包围的 自由电荷的代数和,与
极化电荷无关
? 公式中不显含 P,q’,E’，可以掩盖矛盾，
但没有解决原有的困难
? 若 q0已知，只要场分布有一定对称性，可以求
出 D，但由于不知道 P，仍然无法求出 E
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2005.4 北京大学物理学院王稼军编
PED ?? 0?
? 需要 补充 D和 E的关系式，并且需要 已知 描
述介质极化性质的极化率 ?e
? 对于各向同性线性介质,有
EP e 0???
?真空中 ED
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?有介质的问题总体上说, 比较复杂
?但就各向同性线性介质来说, 比较简单 。
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介
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数
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2005.4 北京大学物理学院王稼军编
有介质时 D的 通量 与闭
合面内 自由电荷 的关系
? 理论地位：描述场的性质，有源无旋场
? 可以用来计算某些场分布（由对称性决定）
? 利用 D- Gauss定理按以下路径求
')'(' EqPED ? ??? ??? ??? ?? ?
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内
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?利用电容定义和串并联公式按以下路径求
')'(' EqPDEC ? ??? ??? ??? ??? ?? ?
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
例题一：
? 求相对介电常数为 ?的无限大均匀电介质中
点电荷 q的场分布，用 D-Gauss定理，是球
对称场，作球形 Gauss面
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? 介质内场强削弱了 倍
?电容增加了 倍 ?
1
?
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
特殊情况下，特别是在各向同性线性介
质中 D 与 E之间关系简单
? 从理论上可以证明
? 当均匀介质充满整个电场空间，或均匀介质
是等势面时有介质部分内，下述关系式成立
??
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EEED ??
等势面?这种情况下可以把有介质部
分与真空部分看成两个电容的
串、并联
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
? 各向同性线性介质 D 正比于 E
? 普遍情况下,两者关系不简单，不一定成正比关系
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小结：
真空 有介质
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静电荷
（自由、极化） 自由
电荷
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
均匀介质内部极化体电荷密度 ??‘ ＝ 0
? 利用 D－ Gauss定理证明：
? 在介质内部取任意高斯面 S，则有
0????
S
SdD
无自由电荷
EP e 0??? ED ?? 0?DP e
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命题得证
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
电介质的击穿 p285 4-22,23,24
? 一般情况下
? 电介质中的载流子（离子、电子或空穴、电咏）在外电场
作用下也会运动，一般情况下，这些运动电荷数量有限，
作用是微弱的，可以忽略，此时电介质是绝缘体
? 外电场增加到相当强时
? 在电介质内会形成电流，介质也会有一定的电导
? 当电场继续增加到某一临界值时，电导率突然剧增，电介
质丧失其固有的绝缘性能变成导体，作为电介质的效能被
破坏 —— 击穿
? 击穿场强 Em：电介质发生击穿时的临界场强
? 击穿电压 Vm,电介质发生击穿时的临界电压
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
例
题,
? 球形电容器内外半径分别为 R1与 R2其间充以相
对介电常数为 ?1和 ?2的均匀介质, 两介质界面
半径为 R。 求,1） 容器的电容； 2） 若内外两
层电介质的 击穿场强 分别为 E1和 E2,且 E1< E2，
为合理使用材料, 最好使两种介质内的电场强
度 同时达到其击穿值, 求此时 R的大小 。
?求电容：求 D—— E—— U—— C
2
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2005.4 北京大学物理学院王稼军编
? 求 R：要求两种介质内的电场强度 同时达到 其击穿值，
且 E1< E2；由于 r越小 E越大,所以 内层最先达到击穿
值,只要取 r=R1处的场强为该层介质的击穿场强 E1,
则可以确定加在电容器两极的最大电量 Q0
?
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2005.4 北京大学物理学院王稼军编
? 对于外层介质，当 r=R处场强达到 E2，则
击穿
11
2
100
1
2
10
1 44| 1 ERQR
QEE o
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2
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2005.4 北京大学物理学院王稼军编
接触起电
? 理想的电介质
? 在外电场的作用下应该没有电荷的转移和传导
? 实际的电介质
? 或多或少的具有一定数量的 弱联系的带电质点
? 弱联系的带电质点在外电场的作用下会 形成电
传导和电荷转移, 例如：
? 不同介质接触面之间的电荷可能转移
? 有的电介质内会形成电流
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
? 脱衣服时常听到衣服间的放电声音, 有时两
人的手接触, 也会感到有瞬间的触电感觉
? 接触起电的机理可以用物质的 功函数 来解释
? 一个电子从物体内部跑到物体外部必须作的最小
功
? 物体置于真空中, 电子在物体中就好比处在深为
?的势阱中, 如图所示：若 A,B两种物体的 功函
数不等, 分别为 ?A和 ?B
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
起电
机制
? 当两物体表面距离 ??25?m时, 有电子从一个物体转移到
另一物体
? 若 ?A>?B, 则 B 内的电子容易向 A转移, 则 A表面形成多
余的负空间电荷 （ 不是极化, 而是由对方转移而来的 ）
? B表面层将因失去电子而出现等量的正空间电荷 ；于是两
接触面之间产生一个 偶电层,其厚度为 ?
? 在接触面两侧电荷转移达到平衡时, 偶电层 产生的电势
差恰好抵消了两侧 功函数之差
? 此时如果 迅速分离 两物体, 则偶电层两边的电荷 来不及
完全消失, 而使 A面带负电, B面带正电 —— 接触起电
? 接触面上所带电荷面密度取决于两物体的功函数差
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
例题
? 如图 金属 与 电介质 的接触面，均为无
限大平面，设金属上的空间 电荷面密
度为 ?m，功函数为 ?m 。转移到电介
质一侧的空间电荷近似假设为 均匀分
布于厚度为 ?的表面层内,体密度为
? 。求介质表面层单位面积上的空间
电荷（面电荷密度） ?。
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作高斯面
?S
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2005.4 北京大学物理学院王稼军编
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?介质表面积累了导体转移过来的负电荷,
而导体表面因失去电子而出现正电荷 。
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
? 类似地可以得到两种电介质相接触时的偶
电层电荷面密度的大小为
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依次为两侧电介质功函数、
相对介电常数和空间电荷
的厚度
电子由功
函数 小 的
一侧 转移
至功函数
大 的一侧 。
? 接触起电虽然是静电现象，但是有时也会造
成严重的不良后果
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
接触起电的危害和应用
? 人体放电
? 人体对地 电容 约为 100~200pf，人坐在人造革
椅子上起立，或在塑料地板上步行数步所产生
的接触静电电荷造成人体的静电电压可以达到
104V～ 空气的击穿场强,有时会出现瞬间放电
现象
? 航天工业
? 静电放电造成火箭和卫星发射失败，干扰航天
飞行器的运行
2005.4 北京大学物理学院王稼军编
? 绝缘液体的流动也会造成大量接触起电静电荷
? 油轮的船体与油之间也有接触起电的可能
? 美国从 1960年到 1975年由于静电引起的火灾爆炸事故
达 116起
? 1969年底在不到一个月的时间内荷兰、挪威、英国三
艘 20万吨超级油轮洗舱时产生的静电引起相继发生爆
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? 我国近年来在石化企业曾发生 30多起较大的静电事故
? 上海某石化公司的 2000米 3 甲苯罐,
? 山东某石化公司的胶渣罐
? 抚顺某石化公司的航煤罐等都因静电造成了严重火灾爆炸事
故 。
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? 电子照相、静电储存、静电分选、静电喷涂
