第一章 实数集与函数
§1 实数
例1 设a，b为任意实数，证明：
≤ （1.2）
证 我们将从函数的性质着手证明不等式.
设=，x>0，若0<，则.
因为|a+b|≤|a|+|b|，于是有
≤
≤.
例2 利用数学归纳法证明二项式展开定理
， （1.3）
其中a,b为任意实数，n为正整数.
证 n=1时，等式（1.3）显然是成立的.设等式当n=m时成立，即
，
当n=m+1时，
，
其中应用了组合公式.于是由数学归纳法，二项式展开定理对任意正整数n成立.
注 证明中应用了数学归纳法. 本节在后面的例3、例5中将应用它证明其他一些不等式，这是分析证明中常用的方法之一.
例3 设为n个实数，符号相同，且，证明不等式
≥1+ （1.4）
当，时，成立伯努利（Bernoulli）不等式
≥1+nx （x>-1） （1.5）
证 n=1时不等式（1.5）显然成立.现设n=m时不等式成立，即
≥1+ ，
其中符号相同且.
当n=m+1时，因为1+>0，利用n=m时的不等式，有
≥
=
≥,
其中最后不等式成立是由于与同号.再在不等式（1.5）中令，x>-1，则有伯努利不等式
≥1+nx （x>-1）.
例4 证明柯西（Cauchy）不等式：设为两组实数，则有
≤ （1.6）
证 本例中将应用中学数学中二次三项式恒正的判别式来完成证明.
设t为任何实数，t的二次三项式
≥0，
于是有
≤0，
即
≤
例5 设p，n，m. 证明：
（1）. (1.7)
（2）. (1.8)
（3）试用归纳法证明：
（1.9）
证 （1）
=
=.
（2）在（1.7）中设b=n+1，a=n，m=p+1，有
，
于是
，
这样就证得
.
（3）易证n=2时，当p为正整数时，
.
现设不等式（1.9）不n=m时成立，有
， （1.10）
当n=m+1时，由（1.8），（1.10）可得
=.
同样可证
≥
=.
于是不等式（1.9）当n=m+1时也成立.
§2 数集·确界原理
例1 求数集S=的上、下确界.
分析 当n=2k时，，是偶数项中的最大数.当n=2k+1时，，当k充分大时，奇数项与数1充分靠近.因为=是S中最大数，于是sup S=，由上面分析可以看出inf S=1.
解 因为是S中最大数，于是sup S=.再证inf S=1，这是因为
（i）≥1；
（ii）设a=，由等式可知，
≤，
于是（只要），使得
≤，
即
，
这样便证得inf S=1.
例2 设数集S=，求sup S，inf S.
解 不妨取验证相应数值，可以发现一些规律. 取得到数集S的子集
S=；
取又得到子集
S=；
因为是无上界数集，是无下界数集，所以
sup S=+∞，inf S=-∞.
例3 设数集S=，试求inf S,sup S.
分析 因为数集S无上界，所以sup S=+∞.又因数1是S的下界，当有理数x充分小时，与1很靠近，于是可以推测1是S的下确界.
解 先验证sup S=+∞.
，有理数（设M>1，只要），使得，于是S是无上界数集.按定义，sup S=+∞.
再验证inf S=1：
（i）≥1（x为有理数）；
（ii），由有理数的稠密性，有理数，使得，于是.
由此可见infS=1.
例4 设a为任意实数，A为R中非空有界数集，证明：
sup(a+A) = a+sup A，inf(a+A) = a+inf A，
其中.
证 先证sup(a+A) = a+supA.
由supA的定义，满足：
（i），x≤sup A；
（ii）.
于是又满足：
（i），a+x≤a+sup A；
（ii）.
因而证得
.
同理可证
inf(a+A) = a+infA.
例5 设A，B是数轴上位于原点右方的非空有界数集，记AB=，证明：
sup AB = sup A·sup B.
证 先证sup AB≤sup A·sup B.
由上确界定义，，x≤sup A，，y≤sup B，因为x≥0，y≥0，所以xy≤sup A·supB，这说明sup A·sup B是AB的一个上界，于是
sup AB≤sup A·sup B.
再证sup A·sup B≤sup AB.
按上确界定义，（不妨设<1），，于是，使
.
这样就有
≥，
=
由于A，B中元素皆非负，因此supA≥0，supB≥0，supA+supB+1>0，于是仍为一任意小的正数.这样证得sup AB≥sup A·sup B.
由此得到
sup AB = sup A·sup B.
§3 函数概念
例1 模拟一个三级火箭，设各级质量分别为8000kg，4000kg，2000kg，燃料均匀消耗率为10kg/s，各级火箭燃烧时间分别为600s，300s，150s.每级火箭的燃料耗完后，外壳自行脱落，下一级火箭就开始燃烧，最后一级火箭燃烧完后成为人造卫星，绕地球运行.试写出火箭质量随时间变化的规律，并作图像.
解 三级火箭初始总质量为14000kg，用G（t）表示火箭在时刻t时的质量.在开始600s内，即0≤t<600时，有
G（t）=14000-10t；
在t=600s时，第一级火箭脱落，火箭瞬时质量变为6000kg.当600≤t<900时，
G（t）=6000-10（t-600）；
在t=900s时，第二级火箭脱落，火箭瞬时质量变为2000kg.当900≤t≤1050时，
G（t）=2000-10（t-900）.
当t>1050时，
G（t）=500.
综上所述：
14000-10t， 0≤t<600，
G（t）= 6000-10（t-600）， 600≤t<900，
2000-10（t-900）， 900≤t<1050，
500， 1050<t.
其图像如图1-1所示.
例2 设，求
.
解 因为函数的值域包含于的定义域内，所以与可以复合，于是有
；
.
由此可猜测，下面用数学归纳法证明.
若，则
.
例3 设函数
试求y=.
解 首先观察到函数的值域包含在函数的定义域中，因而与可以复合.
先求集合，解不等式≤1可得1≤|x|≤，此时有=1.
又当|x|<1或|x|>时，有，于是=0，这就得到
= 1，1≤|x|≤,
0， |x|<1或|x|>.
例4 证明恒等式
arcsin x+arcos x = ,|x|≤1.
证 当x=0时，等式显然成立.
当0<x≤1时，设α=arcsin x,β=arcos x,有
sinα=x,cosβ=x，
于是
，
=
=1.
因为0<≤,0≤有0<,所以
，
即
，0<x≤1.
同理可证当-1≤x<0时等式也成立.
例5 求狄利克雷函数D（x）与黎曼函数R（x）的复合函数D（R（x））和R（D（x））.
解 先求D（R（x））.因为R（x）的值域包含在D的定义域中，于是D与R可以复合.
当为互质正整数，有，而.
当x为0，1或（0，1）中无理数时，R（x）=0，而D（0）=1，因而D（R（x））1，.
再讨论R（D（x））.因为D（x）的值域仅有{0，1}两点，包含于R（x）的定义域中，且R（0）=R（1）=0，于是R（D（x））0，xR.
§4 具有某些特性的函数
例1 试验证y=Inx在（0，+∞）上既无上界又无下界.
证 应用无上界函数，无下界函数的正面陈述，先验证y=Inx在（0，+∞）内无上界：
，使得.
再验证y=Inx在（0，+∞）内无下界：
，使得.
上面应用了y=Inx在定义域中的严格递增性.
例2 证明函数
在x=0的任何空心邻域中无界.
解 利用无界函数的正面陈述，设为x=0的任何空心邻域.，其中，且n充分大使得，则
，
于是在x=0的任何空心邻域内无界.
例3 定义在数集D上的严格单调函数，必存在严格单调的反函数.反之若数集D上的函数存在反函数，此时是否必定严格单调？
解 否，例如D=[0，1]上的函数
不难看出函数是D与之间一对一的映射，于是存在反函数.
但是既不是严格递增函数，又不是严格递减函数.这是因为，若取，，，为有理数，为无理数，则，，于是，即也不是严格递减的.
注 由第四章§2范例4中可证，如果是区间I上的连续函数（其图像是一条连续不断的曲线），此时本例结论成立，即有
在I上为一一映射在I上严格单调.
例4 证明：函数，为严格单调函数的充要条件是，对任何，，，，有
（4.4）
证 [必要性] 不妨设是严格递增函数，则，，，，有
，
于是（4.4）式成立.
[充分性] 用反证法.若，，，，满足（4.4）式，但不是严格单调的，则，又.通过讨论不难知道：在四点中总可选出三点，记为，，，它们满足，且
≤,≥（或≥，≤），于是[-][-]≤0与（4.4）式相矛盾.由此可见为严格单调函数.
说明 在充分性证明中，若直接由（4.4）可得，，，，有>>或<<，这时仍无法证得是严格递增的.
例5 证明：若的图形关于两条竖直线和（b>a）都是对称的，则函数必为周期函数.
证 因为函数的图形关于竖直线对称，于是，必有
. （4.5）
同理又有
， （4.6）
并可随之推得
由（4.6）
由（4.5）
这表明是以为周期的周期函数.
