第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 例1 用方法验证下列函数的连续性： （1）； （2）. 解 （1）若，当|x|<δ时，.若，先限定，为了使 ， 只要取，当时，便有 . （2）若，当|x|<δ时，.若，先限定，这时x与同号，即，于是  为了使，只需取 ， 当时，. 例2 证明函数  在处连续，但是在处不连续. 证 时，因为，于是，即在x=0处连续. 时，，在中取为有理数，取为无理数，于是 . 由函数极限柯西准则的否定形式可知在点处极限不存在，这样在点处不连续.时可类似地证明. 例3 讨论函数的间断点. 解 可能的间断点为x=0，.因为 ， 所以为函数的第二类间断点. 由于在内有定义，而  因此x=0是函数的可去间断点. 说明 到本章§3时可知这函数在其余各点都连续. 例4 讨论函数的间断点. 分析 函数在内有定义，当时函数无限次改变符号，因而时，能交替取值1或-1，即不存在，于是为可能的间断点?. 又因为函数sug u以u=0为间断点，所以若在某点附近不断地改变函数值的符号时，则复合函数可能具有间断点，因而可推测到也是函数的可能间断点.具体判别时应当验证各点的极限. 解 设，当k为偶数时 ， ； 当k为奇数时 ， ； 即为跳跃间断点. 再考虑.这时，满足，，取 ，，有 ， 由函数极限的柯西准则的否定形式，不存在，于是是函数的第二类间断点. 例5 设在（0，1）内有定义，且函数与在（0，1）内是递增的，试证在（0，1）内连续. 需证在点连续，即.因为在（0，1）内的递增性保证了在（0，1）内是递减的，所以为了证明的存在性，很自然地想到利用函数极限的单调有界定理. 证 因为在（0，1）内递增，所以在（0，1）内递减.，首先来证明=.当时，≤，由函数极限的单调有界定理存在.又由函数极限保不等式性质，有 =≤. 另外，由于在（0，1）内递增，因此当时， ≤， 令，有 ≤ 即=，由在（0，1）中的任意性，可得在（0，1）内连续. 说明 其中应用了基本初等函数的连续性. §2 连续函数的性质 例1 试证函数，在上是不一致连续的. 分析 需确定，可找到满足，但≥. 由于在任意闭区间（a>0）上一致连续，因此当很小时，必须在中寻找，这是证明中的困难之处.现不妨取， ， 当n充分大时，能满足，但≥1. 证 ，取，，当时，使，但≥，即在上不一致连续. 例2 设函数在（a,b）内连续，且==0，证明在（a,b）内有最大值或最小值. 分析 因为==0，于是可把延拓成[a,b]上的连续函数，然后可以应用连续函数的最大、最小值定理. 证人 先把函数延拓成[a,b]上的函数F(x)，设  易知为[a,b]上的连续函数，这是因为 ==0=， ==0=. 在[a,b]上对应用连续函数的最大、最小值定理，即，，在，分别取得最大值和最小值.若，，则在（a,b）内恒为零，显然在（a,b）内同样能取得最大值和最小值；若，中有一个数在（a,b）内，则在（a,b）内取得最大值或最小值. 例3 证明：若在有限区间（a,b）内单调有界函数是连续的，则此函数在（a,b）内是一致连续的. 分析 因为是（a,b）内的单调有界函数，所以由函数极限的单调有界定理，可得存在，.证明本题的合理途径是把延拓成闭区间[a,b]上的连续函数在[a,b]上应用一致连续性定理. 证 因为是（a,b）内的单调有界函数，所以由函数极限的单调有界定理，与都存在，应用范例1中的方法，可把延拓为[a,b]上的连续函数，即  由一致连续性定理，可得在[a,b]上一致连续，于是为（a,b）内的一致连续函数. 例4 若函数是区间I上的一一对应的连续函数，则是I上的严格单调函数. 分析 若不是严格单调的，则必有，，，（或，），这时如图4-1所示，取适当的μ，作平行于x轴的直线y=μ，与有两个交点（），（），这与是一一对应相矛盾. 证 用反证法，若在I上不是严格单调的，则必，满足， . 不妨设，.取满足下列条件的实数μ： . 分别在区间上应用连续函数的介值定理，，满足，，使得 ， 这与是一一对应相矛盾. 注 我们知道一一对应的函数一般不一定是严格单调的，但是对于连续函数而言，严格单调的充要条件是一一对应的. 例5 函数定义在区间I上，试证在I上一致连续的充要条件为：对任何数列，若，则 . 证 [必要性] 若在I上一致连续，则 ，则.设I上两个数列，满足，于是对上述，，，由一致连续性条件，有 ， 即 . [充要性] 设对I上任意两个数列，若，则有.现证在I上一致连续. 用反证法.若在I上不一致连续，则 ，但有. 取，有， 取，有， ………… 取，有， ………… 于是，但是，与所设条件矛盾.所以在I上一致连续. 注 在充分性证明中由在I上不一致连续的正面陈述，取一列，选出两个数列，这种方法是有用的分析技巧. §3 初等函数的连续性 例1 求极限（为实数）. 分析 设法利用求上述极限. 若为有理数（），可以用极限运算法则求极限：  == 若α为无理数，则无法用上述方法.但可以用公式（3.2）求极限（即应用指数函数的连续性），这是因为当α≠0时， ， 其中，，而，. 解 当时，由公式（3.2）有  = 当时，，于是，有 . 例2 求极限. 分析 作变换，有，然后可用对数函数连续性求极限. 解 设，，当时.  = 注 特别当a=e时，有.这也是一个重要结论. 例3 设，且.试利用指数函数的连续性证明 . 证 因为，由对数函数的连续性，所以  由第二章总练习题3（1），得知 . 再由指数函数的连续性，有 . 例4 设，，试证 . 证 因为，由对数函数性质，有. 与第三章总练习题9（1）相类似地可以证明 . 再由指数函数的连续性，有 . 注 例3、例4合起来证得了如下命题：若，，则 . 例5 求极限 分析 由于， 因此可以把写成，而 . 然后可利用与归结原则来求出极限. 解  = 在公式（3.3）中设 ， . 利用和归结原则，有 ； 再由本节范例2的结论和归结原则，又有 =. 于是 .