第九章 定积分 §1 定积分概念与牛顿-布莱尼茨公式 例1 证明：若，且，则存在，使  证 采用反证法，倘若在任何上都使，则导致任一积分和，于是当时极限亦为非正，即 ， 这与已知条件相矛盾。 □ 例2 通过对积分和求极限来验证： ，  （1.6） 解 首先,本题的解法与牛顿-莱布尼茨公式无关,按题意,需假设(1.6)式左边的定积分存在，然后根据前面问题2的（5），可以通过对联某一特殊积分和求极限而得到该定积分的值。 为简单起见，取T为等分分割： ，  并取，，则有        例3 设，与仅在有限个点处取值不同，试由可积定义证明，且有  证 不失一般性，设g与f只在一点处取值不同，而且为 记，因，故，，当时，对一切有 ； 于是又有    由于当时，，而当时无论或， 都有 ， 因此只要 ， 就能保证  这即为，且  □ 本例说明：一个可积函数，当它的有限个函数值发生改变时，既不会影响它的可积性，也不会影响它的定积分之值，这个重要性性质在以后常会用到 例4 通过化为定积分后求极限：  （1.7） 解 这类问题的解题思想，是要把所求极限化为某个函数在某一区间上的积分和的极限，然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算的值。 由于（1.7）式中的根式不是一个和式，而是一个连乘积，因此可望通过求对数后化为累加形式，为此记  ,  不难看出，In是函数在区间[0，1]上对应于n等分分割，并取 ， 的一个积分和 同于在[0，1]上连续，且存在原函数 ， 故由定理9.1知道，且有   于是就可求得   注 上面In也可看作在[1，2]上的一个积分和，或者是在[2，3]上的一个积分和，……亦即  例5 试求由曲线以及直线x=2和x轴所围曲边梯形（图9-1）的面积S。 解 由于  因此依据定积分的几何意义，可求得    □ 例6 设在[0，1]上可积，且为凸函数，试证：  （1.8） 证凸函数的特征是：，恒有 ； 特别当时，满足  （1.9） 要想证明不等式(1.8)，可以先把左边的定积分表示成某一积分和的极限，以便能用（1.9）把积分和中各项与相联系，为方便起见，我们将[0，1]等分为2n个小区间，并取为第I个小区间的中点（i=1,2,…,2n）,则有  由于 ，  因此由（1.9）得到    于是就证得  即不等式（1.8）成立。 □ 注 把本例中的区间[0，1]改为一般的[a,b]时，在同样的条件下，类似地可证得  请读者自行写出推导过程。 §2可积条件 例1 设，，试用两种方法证明 证[证法一]因，故，使 ，； 于是有 ， 因此由微分值定理推知    （其中） （2.2） 根据可积第二充要条件（必要性），，某分割T，可使 ； 对于同一分割T，据（2.2）式便有   再由可积第二充要条件(充分性),证得 □ [证法二] 利用复合函数可积性质(教材第235页例2),已知为连续函数，在[a,b]上为可积函数，则  □ 例2 证明：若，，则 证 ，因，故分割T，使  把两点加入T而成，则由是T的加密，知道  与此同时，在[]上的那部分分点构成对[]的一个分割，并有  这就证得 □ 例3 设是定义在[a,b]上的一个阶梯函数，意即有一[a,b]的分割T，使在T所属的每个小区间上都是常的值可以是任意的，它对的积分无影响），，证明： （1）若，则任给，存在阶梯函数,使得   （2.3） (2)若对任给的,存在阶梯函数 ,,, 使得 , 则 证 (1)由,,使得  由于,因此 , (2.4) 所以只要取阶梯函数和为  , ,  就有 ,  把它代入(2.4)式，就证得（2.3）式成立。 （2）满足题设条件的阶梯函数和存在，根据阶梯函数的定义，分别存在分割和，使  令T=T1+T2，把T看作既是T1的加密，又是T2的加密，于是有  ， 这就证得 说明 由以上（1）的结论，立即得到 ， 再与（2）相联系，便有如下命题——的充要条件是：存在两个阶梯函数和，满足 ，，  由以上（1）与（2）的证明看到，这个命题其实就是可积第二充要条件的另外一种表达方式。 例4 证明：若，则对任给的，存在一个连续函数，，使得  证 根据例3（1），取一阶梯函数h,满足 ，  由f在[a,b]上可积，从而有界，设 ， 若在上为常数，取 , 则可构造一个连续函数（如图9-4所示）：在上；在和上，满足的线性函数，于是有  ；   □ 请读者自行证明：当时，存在连续函数，满足  例5 本题的最终目的是要证明：若f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定存在无限多个连续点，而且它们在[a,b]上处处稠密，这可以用区间套方法按以下顺序逐一证明： （1）若分割T能使，则在T中存在某个小区间，使在其上有； （2）存在区间，使得 ； （3）存在区间，使得 ； （4）继续以上方法，求出一区间序列，使得 ， ； 可证是一个区间套，其公共点是f的一个连续点； （5）按上面方法求得的f的连续点在[a,b]上处处稠密。 *证 （1）倘若在小区间上都有 , 则将出现矛盾：   （2）由（1），，在其上有，现按如下规定来得到： 若，则取； 若，则取，其中为满足的任意数，则有 若，则取，其中为满足的任意数，同样有 由此得到的，必定有  （3）用代替（1）中的[a,b]，根据例2，知道，同理可证：上的分割T使得 ； 且有中的某个小区间，使  类似于（2），，满足  （4）因以上分割可以做得无限细密，故当时，由，可知 ； 又因，所以为一区间套。 根据区间套定理，，；且对，当时，有，以及  由的构造特征：，，保证，，现取 ， 当、时，必有 ， 所以f在上连续。 （5），以代替[a,b]，由于，因此由以上（1）~（4）可证得f在内至少有一个连续点，所以f的连续点在[a,b]中处处稠密。 说明 1.本例所证得的命题是十分重要的，它进一步指明了可积与连续之间的内在联系。 2．如果一个函数f，它在[a,b]上的连续点不是处处稠密的，那么就可断言，例如函数  如图9-5所示，它在中的连续点为 ，，  这些连续点虽有无限多个，但它们并不处处稠密，所以f在上是不可积的。 §3定积分的性质 例1 试求 解 利用积分区间可加性，有  再由，可得    □ 例2 利用积分中值定理证明：  （3.6） 分析 如果由积分值公式(3.4)来估计定积分的值,只能得出 , (3.7) 其中M与m分别是在[a,b]上的最大值与最小值，显然这是一个很粗略的估计，如果改由中值公式（3.5）来估计，设，,则有  （3.8） 一般说来,估计式(3.8)比(3.7)较为精细. 证 这里使用估计式(3.8),取 ,,  算出 , , 由此看到，（3.6）的右部不等式得证；而左部不等式尚差稍许，为此可用以下方法来弥补：  ， 这就证得（3.6）的左部不等式也成立。 □ 说明 如果改取，，是否同样能证得结论成立？ 读者不妨自己去试一试，此外，在上面证明左部不等式时，还用到了定积分性质之4°和5°，请读者自行指出它们用在何处？ 例3 证明：若，，则有在其连续点处恒为零。 证 用反证法，倘若为f的一个连续点，使，则可证得 ， 导致与条件相矛盾（证明见教材第217页中的例2）所以在其连续点处的值恒为零。 根据本章§2中范例5所证得的结论（可积函数存在处处稠密的连续点），而在假设非负函数f在连续点处的值恒为零，故对[a,b]上的任何分割T，f在T所属的每个小区间上的下确界，，这导致，又因f在[a,b]上可积，所以证得  □ 例4 利用施瓦茨（Schwarz）积分不等式证明： ， （3.9） 其中f为上的非负连续函数，且，实数 证 已知施瓦茨积分不等式为 ， 其中、（见教材第237页第6题），由此得到   ,  两式相加后立即证得  □ 说明 若把本例中的f改为非负可积函数，则由证明过程看到，只要指出在[a,b]上亦为可积函数（为什么？）就仍可利用施瓦茨不等式证明（3.9）式成立。 *例5 设在[0，1]上为非负、严格递增的连续函数，且记  由积分第一中值定理，，使 , 试证： 证 由条件，对每一n,在[0 ，1]上也都是非负、严格递增的连续函数，，因为 ， 所以，当时，有  从而又有   再由为严格递增，得知时满足  这就证得， □ 说明 若把为严格递增改为严格递减，试问是否有（如何证明）？又若把区间[0，1]改为[a,b]，情形又如何？ 例6 证明： 分析 设，，由  解出，，不难知道 ， 且   如图9-6所示，为相对于的一族图像，如果把积分区间分拆成两部分： ， 当足够小时，上式右边第一个积分依赖而为任意小；第二个积分依赖在[，]上的递减性（对充分大的n,使），且由而为任意小。 证 ，取，因，故，当时，，这时，在[0，]上有   又因，故，当时，有，于是时，得到  再有，当时，在上递减，因而要使  , 只要即可 所以当时，就有 ， 即证得成立。 □ *例7 设f在[a,b]上连续，且，试证：  （3.10） 证 设(若M=0,则,(3.10)式显然成立)。 ，使得 ， 于是有  又因，所以  ; 由此得到  由于，，因此  由的任意性，便证得（3.10）式成立. □ 说明 设,由 ,, 是否又可类似地推出  由极限的唯一性，这个结果显然是错误的，请你指出推导过程在何处无法通过。 例8 证明：若，则有  （3.10） 证 这里只证(3.11)的前一等式，在证明之前，先对此极限式作一几何解释：如图9-7所示，当振动频率无限增大时，的图形位于x轴上方部分的正面积与位于x轴下方部分的负面积将趋于正、负相抵消而为零。 首先，由f可积，，，使得  记T所属小区间，，，而于   ， ，  因此得到  又因为当分割T随而确定后，为一非负常数，故当时，  于是便证得当时，有 ， 即（3.11）的第一式成立。 □ 说明 本例结论（3.11）又叫做勒贝格(Lebesgue)引理，在以后证明傅里叶（Fourier）级数收敛定理时，这是一个不可缺少的预备知识。 §4微积分学基本定理·定积分计算（续） 例1 求 解 由上面对问题3（2）的提示，设法把积分区间移到上去，为此设，利用f 周期性质（以2为周期），首先有  又因经换元可使 ， 经换元，可使 ， 所以有  再令，便求得   =  □ 例2 求 解 在无法直接求出原函数，也无法直接使用换元积分法与分部积分法的情形下，常采用分段积分，而后消去难以积出的部分，为此设  由于   ， 因此消去后得到    □ 例3 证明： （1），； （2）若f在[0，1]上连续，且满足 ， 则有  证 （1）利用换元积分法，可得    □ （2）首先，由条件可知 ； 又由积分第一中值定理，，使得  ； 再由上面（1），又得 ； 这就证得  □ 例4 设f在[a,b]上有连续的二阶导函数，且，证明： （1）； （2） 证 （1）利用分部积分法，可得       ， 移项后即得结论成立。 □ （2）一种证法是直接利用（1）的结论：  ， 其中的    □ 例5 利用积分第二中值定理证明： （1）； （2），使 证 （1）由积分第二中值公式（4.5）,,使得    □ （2）作变换，化为适宜用积分第二中值定理的形式：  由积分第二中值公式（4.4）,,使有  取，显然，从而证得  □ 例6 设f在（A，B）内连续，，证明  证 由于f在（A，B）内连续，因此在（A，B）内处处可导，且，据此便有 ，  于是就可证得   =  □ 例7 设f在[a,b]上可导，且， （1）， （2） 证 （1）由可积，据牛顿-莱布尼茨公式便有 ； ， □ （2）类似地，再由施瓦茨不等式又得  ，   例8 设f是上的连续函数，证明：当且仅当积分  与y无关时，f为周期函数（周期2）。 证 首先有  如果与y无关，则必使 ， 由此知道y为一以2为周期的周期函数。 反之，如果f为一周期函数（周期为2），则满足  由此又可反推知，说明与y无关 □ 例9 设f为[0，]上的任一凸函数，证明：  在（0，）上也是一个凸函数。 证 由凸函数定义，，，满足 ； 且由凸函数性质，f在上连续，故，下面借助换元积分法来证明H亦为凸函数：，，有      □ *例10 证明：若在[a,b]上g为连续函数，f为非负、递减（增）的连续可微函数，则存在，使得   证 这是一个加强条件的积分第二中值定理，可望有一个不难的证明 由条件，设 ， ， 由于  ， ， ， 因此有 ，  若则，结论显然成立（可任意选取）；若，则有  借助G的价值性，，使 ， 结论得证 对于的情形，同理可证另一等式成立。 □ 注 教材第230页第15题是强条件的积分第二中值定理的另一类似命题。 它的证明也要用到