习题选解 第一章 实数集与函数 §1 实数 6．设a、b、c（表示全体正实数集合）.证明： . 你能说明此不等式的几何意义吗？ 证 利用根式有理化的方法，有  ≤≤. 关于不等式的几何意义请读者通过画图自行解答. 8．设p为正整数.证明：若p不是完全平方数，则是无理数. 证 用反证法.假若是有理数，设 =为正整数，互质，且， 于是有=. 一方面，p为非平方数，故.另一方面，因互质，故意也互质；但由的一个整数因子，故必有，矛盾.由此可见为无理数. §2 数集·确界原理 8．设a>0,a≠1,x为有理数，证明：  证 首先把要证的结论用确界的定义确切地写出来.不妨设a>1，需证： （i），r为有理数，； （ii）. 因为r,x都是有理数，由有理数指数性质可得（i）.再证（ii），因为，所以，由有理数的稠密性，有理数r，，于是. 同理可证0<a<1的情形. §3 函数概念 12．证明关于函数的如下不等式： （1）当x>0时，； （2）当x<0时，. 证 （1）当x>0时，，即. ?（2）当x<0时，，因为x<0，所以. §4 具有某些特性的函数 11．证明：在R上严格递增. 证 设，   ≥ ， 其中应用了不等式. 12．设定义在上的函数在任何闭区间[a,b]上有界，定义上的函数： . 试讨论与的图像，其中 （1）；（2） 答 （1）= . （2）= = 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 4．证明：若，则对任一正整数k，有. 提示 由可知：当时，.需证：当时， . 7．证明：若，则.当且仅当a为何值时反之亦成立. 证 若，则当时，.由不等式，可知. 可证当且仅当a=0时由可推得. 先证若a=0，且，则当时，，于是. 若由可得，则必有a=0.不然的话，若a≠0，令，则，但是不存在. §2 收敛数列的性质 5．设与中一个是收敛数列，另一个是发散数列.证明是发散数列.又问和（）是否必为发散数列. 证 设是收敛数列，是发散数列.用反证法，假若是收敛数列.设，则，由四则运算性质可知也是收敛数列，与所设矛盾，于是是发散数列. 在题设条件下，未必是发散数列，可以考虑反例：. 9．设个正数，证明： =. 证 设，有 ， 令，利用极限，由迫敛性可得 . §3 数列极限存在的条件 8．证明：若为递增（递减）有界数列，则 . 又问逆命题成立否？ 证1 不妨设为递增有界数列.由确界原理，存在，由确界定义，，由的递增性，当时，.由此可见：，当时，，即. 反之不然，反例：. 例2 设，由，由保不等式性质有，设法证明是不可能的（请读者补充证明）. 12．设为有界数列，记 ， . 证明：（1）对任何正整数n，； （2）为递减有界数列，为递增有界数列，且对任何正整数n，m有； （3）设和分别为和的极限，≥. （4）收敛的充要条件是=. 证 （1）由确界性质可知：，必有 ≥， 即. （2）因为有界，，于是，即，为有界数列.由 ≤ 可知为递减数列.同理可证为递增数列.. （3）由单调有界定理，存在极限，.因为，令，由保不等式性有. （4）[必要性] 若，则时.于是时，令，又有 . [充分性] 若，因为，，条件现时，于是，这样就有. 第三章 函数极限 §1 函数极限概念 7．设，证明. 证 由可知，当x>M时，.在上式中作变换，并取，有当0<y<时，即. 8．证明：对黎曼函数R(x)有，（当=0或1时，考虑单侧极限）. 证  不妨设，=0或1时只需讨论单侧极限.为了证明，按定义要证： ，当0<<时，. 当，x为无理数时，于是自然成立；当，x为有理数时，，需证，使得当时，有. 先取定，现讨论使得的有理点，亦即使得的有理点，这类有理点只有有限个，设为，现设法取，使这有限个有理点被排除在之外.设 ， 于是，且x为有理数时.这样，，当时，无论x是有理数还是无理数，都使，即 . §2 函数极限的性质 5．设，.证明 ， 其中n≥2为正整数. 提示 讨论A=0和A>0两种情况.A>0时应用 来证明. 9．（1）证明：若存在，则=. （2）若存在，试问是否成立=？ 解 （1）由存在，，当时，，作变换，当时，，即时，，于是 ==A. （2）否.反例： 易见=，而不存在，因此不存在. §3 函数极限存在的条件 7．证明：若为定义在R上的周期函数，且，则，. 证 设T为的周期.因为，则时，. ，使得.由函数的周期性，，令，得，于是，. 8．证明定理3.9. 提示 充分性用反证法.若，选出以为极限的递减数列，但，为某正数. §4 两个重要的极限 3．证明：. 提示 先利用作化简，然后应用来证明. §5 无穷小量与无穷大量 7．证明：若S是无上界数集，则存在一递增数列，使得（）. 证 因为S无上界，于是，. 取， 取， ………… 取， ………… 可见为递增数列. 第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 7．设函数只有可去间断点，定义，证明g为连续函数. 证 因为，于是 ，当时，.，时，≥，这样在处连续，由的任意性，为连续函数. §2 连续函数的性质 6．设在上连续，且存在.证明：在上有界.又问在上必有最大值或最小值吗？ 提示 利用函数极限的局部有界性和连续函数有界性定理可证在上有界，若，使得=B>A=，设法证明，再证[a,X]上的最大值必为在上的最大值.同理可证若，<A时，必在上取到最小值. 10．证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根. 证 设方程为 ， 其中.试利用=+，=-，证明 . 16．设函数满足第6题的条件.证明在上一致连续. 证 因为=A，于是由函数极限的柯西准则，. 在[a,X+1]上应用一致连续性定理，有 时， （2.2） 取，现证时，有. 分三种情况： （1）当时，由（2.2）. （2）当时，则，由（2.2）. （3）当时，同样有.这样，，时，总有， 即在上一致连续. 导数和微分 §1 导数的概念 设函数 （m为正整数） 试问：（1）m等于何值时，f在x=0连续； （2）m等于何值时，f在x=0可导； （3）m等于何值时，在x=0连续。 答（1）当m≥1时，，有，于是即在连续。 （2），  由复合函数求导可得  即m≥2时可导 （3）同理可证m≥3时，在x=0连续 注 本题在导函数理论中举某些反例时很有用。 11. 设  求 提示，只需证明 12 设f是定义在R上的函数，且对任何，都有=若，证明对任何，都有  提示 在中设，可得分两种情况讨论，若 ,可证若，在中设，再设法证明 §2 求导法则 9 以分别表示各双曲函数的反函数，试求下列函数的导数 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解 在求导之前，读者可以验证下列双曲函数的恒等式  并注意应用反函数求导公式后，应当用代入中，化为的函数 （1），求反函数求导公式，有 ， 为了把导数化为的函数，由（2.1）有于是  （2）  （3）有  由公式（2.2）， （4）  由公式（2.3），，于是  （5）,  (6)  §3 参数变量函数的导数·高阶导数 §3 习题（教材上册第105页） 4 证明：曲线  上任一点的法线到原点的距离等于a。 证，由（3.4），曲线的法线方程为化简可得  由解析几何可知，原点到该法线的距离为a。 §4习题（教材上册第109页） 9 设 （1）证明它满足方程 （2）求 提示（1）由直接求导容易验证，（2）把（1）中的方程两边求n次导数，应用莱布尼茨公式，可得到含的方程；再将代入，得到递推关系。 10设 （1）证明它满足方程  （2）求 提示 由可得两边求导得，于是y满足方程  然后仿照第9题的解法 11证明：函数  在处n阶可导且，其中n为任意正整数。 证 按定义  = = =0 于是有  同理可求得  由数学归纳法设  其中是以为变量的3n次多项式 按定义  =  =0 于是有  这样在x=0处函数n阶可导，且 §4 微分 §5习题（教材上册第116页） 6、检验一个半径为2m，中心角为55o的工件面积（图5-3），现可直接测量其中心角或此角所对的弦长，设量角最大误差为0.5o，量弦长最大误差为3mm，试问哪一种方法检验的结果较为精确。 提示 试用微分的近拟计算方法求出测角的误差引起弦的误差，然后与量弦的最大误差比较，可知量弦的方法较为精确。 第六章 微分中值定理及应用 §1拉格朗日中值定和函数的单调性 8、以三点组成的三角形面积，试对应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。 证 不妨设，由解析几何可知 ， 因为在内可导，在[a,b]上连续，S（a）=S（b）=0，于是由罗尔中值定理，，使得  由第五章总练习题9的行列式求导法则有   于是  10非曲直设函数f在（a,b）内可导，且单调，证明内连续。 提示 不妨设为递增函数，存在，，且，再证（导函数不能有第一类间断点）。 14证明： 解 因为当，于是只需证明如此计算   = 因为，由范例5可知即  §2 柯西中值定理和不定式极限 3 设函数f在点a处具有连续二阶导数。证明  提示 用洛必达法则可以证明结论。另一种证法是：设，有  然后利用柯西中值定理求证 6设函数f在点a的某个邻域内具有二阶导数，证明；对充分小的h，存在，使得  解 作辅助函数（不妨设）  因为，由柯西中值定理，有  = = =， 再定义在上应用拉格朗日中值定理，又有    = 令即有结论，同理可证的情形。 习题选解 四、习题选解 12.在抛物线上哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短(图6-5). 解 过抛物线上任一固定点的法线方程为 . 为了求法线与抛物线的另一交点Q,可以解下列方程组:  其解为    由  可解得  为唯一的极(小)值点,因而是最小值点.同理可知也满足题中的要求. §5 函数的凸性与拐点 7.证明(1)在区间I上为凸函数的充要条件是对I上任意三点恒有  (2) 为严格凸函数的充要条件是上述. 提示 先证明在I上为凸函数的充要条件是对I上任意三点成立  而此条件等价于  8.应用詹森不等式证明: (1)设,有  (2)设,有  其中 证 (1)因为,所以为凹函数,于是  即  又因为凸函数,于是 , 即  亦即  (2)当时,,于是是凸函数.在詹森不等式中令,就有   于是  这样就得到   再对上面不等式两边开次方，便证得  第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 8.试用有限覆盖定理证明聚点定理. 提示 用反证法.设S是有界无限数集,,假若S没有聚点,则都不是S的聚点,故使得为有限集,然后用有限覆盖定理在中选出的有限开覆盖,即可推出与S是无限集相矛盾. 9.试用聚点定理证明柯西收敛准则. 提示 设为柯西列,可证为有界数列,由致密性定理, §2 闭区间上连续函数性质的证明 3.证明:在上一致连续. 提示 ,然后把延拓成上的连续函数. 4.试用有限覆盖定理证明根的存在定理. 提示 设上的连续函数,满足,要证,使.用反证法,若,由连续函数的局部保号性,,当时,(或),于是  为的无限开覆盖.然后选出有限开覆盖,可推出与同号,与假设相矛盾. 5.证明:在上的连续函数为一致连续的充要条件是与都存在. 提示 证充分性时,设法把函数延拓为上的连续函数,然后利用一致连续性定理即可.证必要性时,可由在上致连续的条件,应用函数极限的柯西准则证明,都存在. §3 上极限和下极限 3.证明:若为递增数列,则. 提示 讨论为有界与无界有两种情况. 4.证明:若且,则数列收敛. 提示 若,则子列于是有,这与相矛盾,这样应当有.然后用本节内容提要3°上、下极限等价定义来证明. 6.证明定理7.9. 证 设为有界数列,我们将证为数列的上极限的充要条件是 . 同理可证 . [必要性]若为的上极限，由定理7.7有 (ⅰ) (ⅱ) . 由(ⅰ),当时,有  由(ⅱ),有 ; 再由的递增性,又有 . 令,即有. [ 充分性] 设 ,则,当时, ,于是 . 又由上确界定义,,使得 , 由定理7.7,可得 . 第八章 不定积分 §1 基本积分公式与换元积分法 §2习题（教材上册第188页） 1．提示 （12），并调整结果： 把化为； （13），或； （15）； （18）； （21）； （22），或； （23）； （26），令化为 ，或； （28），令化为； （29），令化为 ; （30），令化为  §2分部积分法与有理函数的积分 §2习题（教材上册第189页） 4．证明 （1）若，，则  提示  （2），则当时，  ,  提示    §3习题（教材第198页） 1．提示 （3）； （4）； （5）； （6） ， 本题可以不必作一般部分分式分解。 §3 三角函数有理式与简单无理式的积分 §3相关习题（教材上册第199页） 2．求下列不定积分 （1） （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 提示 （1）令，化为； （2）令，化为； （3）令，化为； （4）令，化为； （5）化为； （6）令，化为 第九章 定积分 §1 定积分概念与牛顿-莱布尼茨公式 §1习题（教材上册第204页） 1．按定积分定义证明： 提示  2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分： （1）； （2）； （3） （4） 提示 （1）利用 （2）、（3）参见范例4 （4）取，，于是有  §2 习题（教材上册第206页） 2．利用定积分求极限： （1）； （2）； （3）； （4） 提示 （1）化为； （2）化为； （3）化为； （4）化为 3．证明：若，，除有限个点处有，则有  提示 对作分割T，使不满足的点恒为T中的一部分分点，此时在每个小区间[]上F满足微分中值定理条件，故有，使  = §2可积条件 §3习题（教材上册第212页） 1．证明：若是T增加若干个分点后所得的分割，则 提示 利用本节内容提要3°中对下和与上和性质（图9-3）的讨论。 2．证明：若，，则 （证明见前面范例2） 3．设f、g均在[a,b]有界，仅在有限个点处，证明：若f在[a,b]上可积，则g在[a,b]也可积，且 提示 在本章§1的范例3中曾用可积定义证明过此题；现在要求用可积的充要条件来证明，为此仍可设f与g仅在一点c处的值不同。 由条件，，使得  设点c落在T中的第k个小区间中，于是有   所以，若能进一步证得，则g在[a,b]上可积就得到证明。 在证得的基础上，再证  就非常方便了。 4．设 f在[a,b]上有界，，且，证明：若f在[a,b]上只有为其间断点，则 提示 不妨设，，取足够小的，使 ， 其中是f在[]上的振幅 在[]上f必定可积（为什么？），故上的分割，使得 把[]与合起来得到[a,b]上的分割T，可证  5．证明：若f在区间上有界，则  提示 这完全是一个确界问题，但这个等式在可积问题中经常会用到。 设，，要证明 ， 依上确界定义，需分别证明： 1），必有； 2），使 §6习题（教材上册第236页） 1．证明性质2关于下和的不等式（2）的证明。 2．证明性质6关于下和的极限式 提示 模仿关于上和的极限式的证明。 3．设  试求f在[0，1]上的下积分和上积分；并由此判断f在[0，1]上是否可积。 提示  4．设，，，试问在上是否可积？为什么？ 提示 利用复合函数可积性质（教材第235页例2） 5．证明：定理9.14中的可积第二充要条件等价于“任给，存在，对一切满足的T，都有 （参见前面释疑解惑的问题1） 6．据理回答： （1）何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质？ （2）何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等”的性质？ （3）对于可积函数，若“所有下和（或上和）都相等”，是否仍有（2）的结论？ 提示 （1），（2）都为常数函数；（3）与（2）不同，例如黎曼函数 7．（题略，见前面三、例5） §3定积分的性质 §4习题（教材上册第219页） 1．证明：若则  提示 由定积分基本性质3°，，记，按定义， ， 问题归为证明：，，当时，有    2．不求出定积分的值，比较下列各对定积的大小： （1）与；（﹥） （2）与 提示 利用定积分不等式性（基本性质5°的推论），以及教材第217页例2（后注）。 3．证明下列不等式： （1）； （2） （3）； （4） 提示 （1）、（2）被积函数单调递增； （3）被积函数单调递减； （4）可证 4．设f在[a,b]上连续，且，证明 提示 利用教材第217页例2（后注） 5．设，证明： ， 在上也可都可积。 提示 由于 ， ， 再利用积分性质之2°与6° 7．设，且在上满足证明 提示 注意到，且   8．进一步证明积分第一中值定理（包括定理9.7和定理9.8）中的中值点 提示 采用反证法，对于（3.4）式而言,倘若(或a)内寻得： 但这并不排除中值点同时能在端点a或b处取得，因为中值点可以是唯一的。 9．证明：若，且在[a,b]上不变号，M、m分别为在[a,b]上的上、下确界，则必存在某个实数，使得  提示 证明类似于“释疑解惑”问题4对性质7°的讨论（把教材第218页中定理9.8的证明作相应的改变）。 10．证明：若f在[a,b]上连续，且，则在（a,b）内至少存在两点，，使，又若，这时f在（a,b）内是否至少有三个零点？ 提示 （1）若，，必使在（a,b）上恒正或恒负，从而 ， 与矛盾，所以（a,b），使得 （2）倘若f不再有第二个零点，此时只须考察  的情形（其余情形或者与此类同，或者很易与条件相矛盾），此时令 ， 不难知道，这又与  相矛盾，所以又有，使 （3）类似地，只须考察情形  再令，同样将引出矛盾，故又有，使 11．设f在[a,b]上二阶可导，且，证明： （1）； （2）又若，则又有  提示 （1）由为凸函数，取，有  对上式左、右两边各自在[a,b]上求定积分，便可证得结论成立。 （2），又有  在[a,b]上以t为积分变量求定积分，即可证得结论成立。 说明 本题（2）的证明要用到定积分的分部积分公式，故应将它移至下一节。 12．证明： （1）； （2） 提示 （1）由  出发。 （2）利用（1），这个结论说明与当时为等价无穷大量。 §4微积分学基本定理·定积分计算（续） §5习题（教材上册第229页） 1．设f为连续函数，、均为可导函数，且可实行复合与，证明：  提示 先化为复合形式 ， 其中；而后按复合求导法则导出结论。 2．设在上连续，，证明， 提示  6．设为上为为周期的连续周期函数，证明对任何实数a，恒有  提示 ，然后证明  8．设，证明： ； 并求。 提示 通过分部积分可得  又由可得另一结论。 通过递推计算，特别有   10．设为连续可微函数，试求 ， 并用此结果求 提示 ，并有  11．设为上严格增的连续曲线（如图9-8），试证存在，使图中两阴影部分面积相等。 提示 所求之点满足  引入辅助函数，并利用价值性。 12．设f为[0，2]上的单调递减函数，证明：对任何正整数n恒有  提示 应用积分第二中值公式（4.6） 13．证明：当时有不等式  提示 应用积分第二中值公式（4.4） 14．证明：若f在上可积，在上严格单调且连续可微，，，则有  *证 设，（即为增函数），对任何分割 ， 通过令，得到对的一个分割  由于在上一致连续，故当时必有 ，作积分和 ； 令，并记  由于，使  ， 因此有  于是，由假设，可知    另一方面，当设，时，由在上一致连续，，，使时恒有  于是又有   由此可见， ， 即  *15.证明：若在上为连续函数，为连续可微的单调函数，则存在,使得  （提示 与定理9.11及其推论相比较，这里的条件要强得多，因此可望有一个比较简单的，不同于定理9.11的证明）。 证 令，，则有      第十章 定积分的应用 §1 平面图形的面积与立体的体积 §1习题 8、求由曲线所围图形的面积。 提示 该曲线如图10-15所示。由  易知 9、求二曲线所围公共部分的面积。 提示  10、求两椭圆  所围公共部分的面积。 提示  §2习题 1、如图10-16所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得的楔形体的体积。 提示 垂直于x轴的矩形截面面积函数为  3、已知球半径为r，验证高为h的球缺体积（图10-17）  提示  4、求曲线所围平面图形绕x轴旋转所得立体的体积。 提示  5、导出曲边梯形绕轴旋转所得立体的体积公式为  提示 对作分割T，在T所属每个小区间上的狭条小曲边梯形绕y轴旋转所得立体的体积  于是有  §2 平面曲线的弧长与旋转曲面的面积 §3习题 1、求下列曲线的弧长： 提示 （2）。可有多种解法，例如： （ⅰ） （令）  （ⅱ）先化为参数方程   或是，则有    3、求、的值，使椭圆的周长等于正弦曲线在上的一段弧长。 提示 使得满足  6、证明抛物线在顶点处的曲率为最大。 提示 求出抛物线的顶点为，曲率为  7、求曲线上曲率最大的点。 提示 ，通过求的解，找出的最大值点。 §4习题 1、求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积： 提示 （3）绕y轴。先化为参数方程，而后有     （4）绕x轴。     2、极坐标曲线（光滑）  绕极轴旋转，试求所得旋转曲面的面积计算公式。 提示 任意曲线段AB绕轴旋转所得旋转曲面的面积，一般可表示为  其中是弧微分，是AB上任一点绕旋转的旋转半径。 §3 定积分在物理中的某些应用 §5习题 1、有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长为10米和6米，高为20米。计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力， 提示 如图10-31所示， 2、边长为和的矩形薄板，与液面成角斜沉于液体中。设，长边平行于液面，上沿位于深处（图10-32），液体的比重为。试求薄板每侧所受的静压力。 提示  3、直径为6米的一球浸入水中，其球心在水平面下10米处，试求球面上所受浮力。 提示 如图10-33所示的坐标系下，球面上任一水平狭带所受水压力在x方向的分力为   说明 求得的合力为负值，表示合力与x轴所取方向相反，即为球面受到一个向上的浮力。 4、设在坐标轴的原点有一质量为的质点，在区间上有一质量为的均匀细杆。试求质点与细杆之间的万有引力。 提示 如图10-34所示，取上一小段细杆看作一质点，它与质点m之间的引力为  5、设有两条各长为的均匀细杆在同一直线上，中间离开距离c，每根细杆的质量为M。试求它们之间的万有引力。 提示 如图10-35所示，把上的一小段细杆看作一质点，此质点与另一细杆之间的引力（只要用与分别替代上题结果中的与）为  6、设有半径为的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为，在圆心处有一单位正电荷。试求它们之间作用力的大小。 提示 如图10-36所示， 7、一个半球形容器（直径为20米）内盛满了水。试问把水抽尽需做多少功？（） 提示 如图10-37所示，把每一水平薄层的水抽至容器外，需作的功为  10、半径为的球体沉入水中，其密度与水相同。试问将球体从水中捞出需作多少功？ 提示 如图10-38所示，在给出的坐标系中，当把提升至水面以上相应位置时，由于球体比重与水相同，它处于悬浮状态，因此需要做功的位移量为。故  同样因为球体密度与水相同，故可把问题等同地看作将球形罐中的水从顶部全部抽出需做的功。 第十一章 反常积分 §1 反常积分概念及其性质 §2 习题 1、证明定理11.2及其推论1。 提示 由收敛，，可知  为递增函数且有上界。于是同样递增且有上界。 当，且时，分别有： （1）若，则x充分大时有  （2）若，则x充分大时有  （3）若，则x充分大时有  3、设、、在上连续，且成立。证明： （1）若与都收敛，则也收敛； （2）又若，则 提示 由出发，用比较法则证明（1）；用收敛定义证明（2）。 4、讨论下列无穷积分的收敛性： （5）（时收敛，时发散）； （6）（、） 提示 （5）时，有  时， （6） 5、讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛： （3）（条件收敛）； （4）（条件收敛）。 提示 （3）满足狄利克雷判别法条件；又有  （4）满足狄利克雷判别法条件；又有  其中发散，而收敛。 8、证明：若是上的单调函数，且收敛，则，且  提示 前者可参见本章§1例2（2）；后者可利用柯西准则，时  （这里假设为单调减函九，且） 9、证明：若在上一致连续，且收敛，则 提示 证明见本章§1例3。 10、利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法。 提示 已知收敛，单调有界，欲证收敛。 由条件，可设，并令  当时单调趋于0。再由收敛，可知在上有界。故由狄利克雷判别法，推知  收敛。 §3 习题 2、写出定理11.6及其推论1的证明。 提示 由条件，可知  与  在上都是单调函数；且因存在，可知有界；再由，又知也有界，故也存在。 推论1的证明类似于定理11.2的推论1（参见前面§2习题第1题）。