第十一章 反常积分
§1 反常积分概念及其性质
例1 证明：若在上连续，且收敛，则对任何，有
证 ，由条件都存在；再由连续，便可证得
例2 设收敛。证明：
（1）若极限存在，则；
（2）若在上为单调，则。
证 （1）设。若（设），则由极限保号性，，当时满足
于是有
而这与收敛相矛盾，故A=0。
（2）若在上单调而无界（设为递增而无上界），则，，当时，使。类似于（1）的证明，推知，矛盾。所以，在上单调而有界，。依据已证得的命题（1），。
例3 证明：若收敛，且在上一致连续，则必有。
证 由在上一致连续，，当时，总有。
又因收敛，故对上述，当时，有
现对任何，取，且使此时由
便得这就证得
说明 我们由例2与例3（结合前面讨论过的问题1）知道，在为收敛的前提下，再添加上一些合适的条件，便能保证有
例4 说出以下命题成立的理由：
“若则（n为正整数）。”并举例说明此命题一般不可逆。
解 设，由条件
根据函数极限的归结原则，对一切满足的数列，恒有
特别取时，亦有
反之不真，例如
显然，，从而；然而却因
使得，从而不存在。
如果在上不变号，则在上是单调的（当时递增，当时递减）。对于单调函数而言，只要有一个数列，使得，便能保证。所以，在不变号的前提下，本例所讨论的命题可逆。
例5 试求下列反常积分的值：
（1） （2）
（3）
解 （1）应用不定积分递推公式：
得到
由于，因此求得
（2）利用例4，并通过分段积分来计算：
（3）此为瑕积分，瑕点为0。令，化为
由此求得
例6 设为条件收敛。证明：
（1）与
都为发散；
（2）
证 （1）用反证法。倘有其一收敛，则由收敛的线性性质推得
亦收敛。而这与为条件收敛的假设相矛盾，所以这两个无穷积分都是发散的，且
意即它们都是无穷大量。
（2）这里是要证明（1）中两个正无穷大量是等价无穷大量。为此考察
（1.9）
由假设与（1）的结论，已知
为一常数，而
所以（1.9）式左边当时的极限为0，故结论得证。
注 本例（1）中的两个无穷积分，其被积函数与的特征分别是保留了的正值与负值（相差2倍）。正如前面讨论问题2时所言，条件收敛的反常积分靠的是正、负相消才能收敛，如果失去了“相消”作用（如当前情形），就立刻变成发散，这就是条件收敛的本质所在。
§2 反常积分收敛判别
例1 证明：若绝对收敛，存在，则必定绝对收敛。又若把改设为条件收敛，试举出反例说明不一定收敛。
证 由，可知当充分大时有
从而又有
再由，根据比较法则便证得收敛。
例如对于条件收敛的和
得到
由于收敛，而
显然是发散的，所以也是发散的无穷积分。
例2 证明：当时，是等价无穷小量。
证 显然，又因
所以收敛，由收敛定义又知（参见§1的（1.6）式）
这说明当时，它们都是无穷小量；下面再来证明它们是等价无穷小量。
借助§1例1和洛必达法则，可得
故结论成立。
例3 讨论下列反常积分的敛散性：
（1） （2）
（3） （4）
解 （1）注意这里的与都是发散的无穷积分，两者之差没有收敛或发散的肯定结论。为此，需要先把被积函数合成为一个分式：
对于充分大的保持与（）相同的正、负号，因此， 收敛与绝对收敛是同一回事。
当时，，故为收敛。
当时，，故同为发散。
（2）这里的，且当时为其瑕点。故设
对于，当时为定积分（只要补充定义在[0,1]上连续）；当时，由于，且
故此时收敛；又当时，由于
故发散。总之，仅当时，收敛。
对于，当时，由于
因此收敛；而当时，由于
以及发散，收敛，可知此时发散；又当时，由于
，发散，
从而亦发散。总之，仅当时，收敛。
综合对与的讨论，当且仅当时为收敛。
（3）设，是见与都是的瑕点。为此记
对于，当取时，有
故当时（可使上述满足），收敛；而当时，则因发散。
对于，若令，则
类似于对的讨论，当时收敛，时发散。
综合与的结果，当且仅当与都小于1时，所考察的瑕积分收敛（且因，自然也为绝对收敛）。
（4）事实上，经变换，就能把此瑕积分化为无穷积分：
而后者是条件收敛的。
例4 证明：若收敛，则亦必收敛。
分析 由于条件中没有指出是否保持定号，也没有说是绝对收敛，因此不能用比较法则错误地做成：
且收敛，故绝对收敛。
正确的作法应该借助狄利克雷判别法或阿贝尔判别法来证明。
证 由于
而收敛，在上单调有界，故由阿贝尔判别法证得收敛。
例5 证明关于瑕积分的狄利克雷判别法。
证 类似于例3的（4），也可以把瑕积分中的问题经变换后化为无穷积分中的已经解决了的问题。为此令，得到
（2.3）
记，由条件知道它在任意区间上可积，且
再有在上单调，且
应用无穷积分的狄利克雷判别法，推知（2.3）式右边的无穷积分收敛，从而此式左边的瑕积分也收敛。
