第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 例1 设函数定义在上, ,极限都存在.证明在上有界. 分析 函数在每点处由函数极限的局部有界性,,在其中有界,于是成为的一个无限开覆盖.然后可用有限覆盖定理得结论成立.读者从本例中可以了解如何应用有限覆盖定理.另外,本例可应用致密性定理,通过反证法来证明. 证 因为在上每点存在极限,由函数极限的局部有界性, ,与,使得.所有这种领域的集合  成为的一个开覆盖;由有限覆盖定理,存在的有限开覆盖  若取,则因覆盖了,对中每一,它必属于中某一领域,于是  注1 上面的证明与闭区间上连续函数的有界性的证明有相似之处(见后面). 注2 有限覆盖定理的作用在于当能被有限个领域覆盖时,可以在有限个中求得一个最大的. 例2 设是有界发散数旬,则存在的两个子列趋向于不同的极限. 分析 由致密性定理, ,为了得到另一个收敛子列,必须利用数列本身不收敛于的条件. 证 因为是有界数列,由致密性定理,存在收敛子列记  由于不收敛于,因此在的某一领域之外必有中的无穷多项,对这无穷多项再次应用致密性定理,在其中又存在另一收敛子列记 . 显然,即. 例3 设为收敛数列,证明的上、下确界中至少有一个属于 证 证法1 设.若是常数数列,则结论是显然的;若不恒为常数,不妨设对,,当时,而领域外必有中的有限项(至少).在这有限项中必存在的最大项或最小项,于是的上、下确界中至少有一个属于. 证法2 因为为收敛数列,所以为非空有界集,由确界原理,存在.若,则为常数列,于是.若,且,则存在两个子列使使 ，， 即存在两个子列收敛于不同的极限，这与为收敛数列相矛盾。由此可见的上、下确界中至少有一个属于. 例4 试利用区间套定理证明确界原理. 证 设S为一非空有上界M的数集.因其非空,故有,不妨设不是S的上界(否则为S的最大元,即为S的上确界),记.将二等分,其中必有一子区间,其右端点为S的上界,但左端点不是S的上界,记之为,再将二等分,其中必有一子区间,其右端点是S的上界,而左端不是S的上界,记之为.依此类推,得到一区间套,其中恒为S的上界, 恒非S的上界,且  由区间套定理,.现证即为因为,令取极限,得,即为S的上界.(2),因为,故;由于不是S的上界,因此更不是S的上界.所以是S的最小上界,即. 同理可证有下界的非空数集必有下确界. 注 本题证明中的关键是构造合适的区间套,使其公共点正好是数集S的上确界,为此使为S的上界,而不是S的上界.由此读者可体会到构造区间套的思想方法. 例5 试用有限覆盖定理证明区间套定理. 证 设为区间套,要证,使.用反证法:倘若都不是的公共点,于是,使得,因而,.设 , 它是的无限开覆盖.由有限覆盖定理, 就能覆盖.现取,而这与相矛盾.由此可知,,使 说明 上面是另一种应用有限覆盖定理的方法,即用反证法构造开覆盖,这种分析技巧值得学习. §2 闭区间上连续函数性质的证明 例1 若函数在上无界,则必存在上某点,使得在该点的任意领域内无界. 证 用反证法,若,存在,使得在中有界,则令 , 它成为的一个无限开覆盖由有限覆盖定理,存在  为的有限开覆盖.由于在每上内有界,因此在上 界,这与在上的无界性相矛盾. 例2 设在上连续,对任何.试用有限覆盖定理证明:必存在,使得对任何,满足  证 ,因为,由连续函数的局部保号性,于是,.现令 ， 它是的一个无限开覆盖，由有限开覆盖定理，存在  为的有限开覆盖,取  ,某个（）,使,于是 . 例3 设函数对任何内的,存在 ,使得在内递增,试证在整个内亦递增. 证 ,设法证明由所设条件,使得在内递增,因此  是后个无限开覆盖,由有限覆盖定理,存在  为的有限开覆盖,为叙述方便起见,不妨设由就能覆盖,且设. 若,则因,在中递增,故;若,则,且因,故,使.于是又有  对的有限情形可类似地证明.由此可见, 在上递增. 例4 试用确界原理证明:若函数在闭区间上连续,则在上有界. 分析 设 在上有界,. 因为由在点的局部有界性,可知S是非空数集,且以为上界,由确界原理,存在.关键在于证明,并证,以使,即在上有界. 证 设 在上有界,. 由分析可知,S为非空有上界数集,于是由确界原理,存在.现用反证法证明. 若,由连续函数的局部有界性,在内有界,即,使,而这与相矛盾,所以. 再证函数在上有界.因为在点连续,于是,在上有界;再由,可知在中有界,于是在上有界. 设为定义在限区间I上的函数,对I内任何柯西列,也是柯西列.试证是I上的一致连续函数. 用反证法.若在I上不一致连续函数,于是,但 . 由致密性定理,对有界数列因为,于是.这样,数列  也收敛于,因而是柯西列;但因为,使得  不是柯西列,这与假设相矛盾. 注1 如何应用反证法证明结论是数学分析学习过程中的一个难点,掌握好基本概念的否定说法的正面陈述是其中的关键. 注2 不难证明本题中的条件不仅是充分的,而且是必要的,于是函数在有限区间上一致连续的充分条件是对I上任何柯也是柯西列. 3 上极限和下极限 三、范例解析 例1 设是有界数列。 （1）是否成立为什么 （2）若，证明：  解（1）一般情况下是不对的。例如，，但，但，但 （2）若，由数列极限理论可知存在递增子列.由于又因于是由此可得. 同理可证:若,则. 注 本例指出了上、下确界与上、下极限的区别与联系. 例2 用上、下极限理论证明:若是有界发散数列,则存在的两个子列收敛于两个不同的极限. 分析 若是有界发散数列,则由(3.1)可知,再对最大(小)聚点选子列即可得证. 证 因为数列发散的充要条件是,于是存在的两个子列,,使 , 即存在的两个子列收敛于不同的极限. 例3 证明:对任何有界数列,  分析 需证  由,即要证  于是由(3.4)就可完成证明. 证 由内容提要3°(ⅲ),得   . 由(3.4)式,有 , 于是  例4 设为界数列,且.证明  证 若,则等式显然成立.若,则当时,有. 于是 . 由本节教材习题2(3),可得 , , 于是有  *例5 证明数列与有相同的聚点. 分析 应用为数列的聚点的充要条件为存在子列, ,可以得证. 证 设是数列的聚点,则子列,.因为 , 所以也是的聚点. 反之,又若是的聚点,则子列.由于,因此 , 于是也是的聚点.