释疑解惑 第一章 实数集与函数 §1 实数 问题1 为什么2.001与2.000 999 9…表示同一实数？ 答 因为 0.001==3×=3×0.000 333 3… =0.000 999 9…， 于是2.0001与2.000 999 9…表示同一实数. 为了实数的无限十进小数表示的唯一性，约定把2.001表示为2.000 999 9…. 问题2 为什么有理数（p，q为互质的整数，q≠0）可以表示为无限十进循环小数？ 答 不妨设有理数∈（0，1），p<q. 由实数的阿基米德性可知：存在和，使得 10p=q+，0≤≤9，0≤≤q-1， （注：对10p，q，（i）若10p<q，则=0，=10p；（ii）若10p=q，则=1，=0；（iii）若10p>q，由实数的阿基米德性，存在正整数，0<≤9，使得（+1）q>10p，q≤10p，于是=10p-q.）于是 ，0≤< 同样成立 10=q+，0≤≤9，0≤≤q-1， 于是 ，0≤<， 重复以上步骤可得   ………… （1.1） ，0≤≤9，0≤≤q-1， 于是有 ，0≤<， 这样 =0. . 因为上述各式中的余数为{0，1，2，…，q-1}中某数，于是等式组（1.1）从某个n开始重复，即是无限十进循环小数. §2 数集·确界原理 问题1 非空有界数集S的上确界是否是S中的最大数？下确界是否是S中的最小数？在什么情况下，非空有界数集的上确保是最大数，下确界是最小数？ 答 如果一个数集S的最大（小）数存在，则它就是S的上（下）确界，有限数集必有最大（小）数，故有限数集必有上（下）确界. 而无限集S的上（下）确界就不一定是S的最大（小）数. 例如数集 ， 可证 sup S=1, inf S=-1. 先证sup S=1，注意到n=2k，且n充分大时，（-1） （i）n，≤1； （ii）>0，当 同理可证inf S=-1.但是sup S，inf S关不是S的最大、最小数. 若非空有界数集S的上确界sup SS，则sup S是最大数；若S的下确界inf SS，则inf S是最小数. 故对于有界无限数蒋来说，其上（下）确界可以看作最大（小）数的推广. 问题2 怎样给出无下界数集和无界数集的正面了陈述？ 答 无下界集：设数集SR，若，，使得x<L，则称S是无下界集. 无界集：设数集SR，若>0，，使得|x|>M，则称S是无界集. 例如，S=是无下界集. 这是因为，= 比较有界集与无界集的定义，把有界集定义中“>0”换成“>0”；“”换成“”；不等式“|x|≤M”换成“|x|>M”，即可得无界集的正面陈述. 无上界集的含义是任何M都不是数集的上界. 把数学形式的陈述与其直观意义结合在一起理解，有利于掌握否定形式的陈述. 问题3 怎样给出数不是数集S的上确界的正面陈述？ 答 若不是数集S的上确界，则或者不是S的上界，或者是S的上界，但不是最小上界. 于是数不是数集S的上确界的正面陈述为： （i），使得>；或者 （ii）<，，x≤. §3 函数概念 问题1 设狄利克雷函数 1， x为有理数， f(x)= 0， x为无理数， g(x)=，|x|>1，试问复合函数fog和gof是否存在？ 答 设有两函数 y=f（u），uD，u=g（x），xE， 记E*={x|g(x)D}∩E，若E*≠?，则f与g可以复合成函数 y=f(g(x)),x E*. 1，u为有理数， （1）对f（u）= D=R，g(x)=，|x|>1，E={x||x|>1}，有E*={x|g(x)D}∩E=E≠?， u为无理数， 于是f与g可以复合成fog，其定义域为E. （2）对g(u)=，D={u||u|>1}， 1， x为有理数， f(x)= E=R 0， x为无理数， E*={x|f(x)D}∩E=?， 于是g与f不能复合为gof. 问题2 等式arcsin(sinx)=x，xR是否正确？若不正确，它与，xD（其中是f的反函数）是否有矛盾？ 答 ，等式arcsin（sin x）=x是错误的. 这是因为arcsin y是反正弦函数的主值，≤arcsiny≤，arcsin(sinx)的值应当取在[，]上. 当 于是 这与，xD并不矛盾. 这是因为定义反函数时，，规定D中有且仅有一个x使得f(x) = y；但现在是，有无限多个xR，使得sinx = y. 如果把x的取值限制在[，]上，则等式 arcsin(sinx) = x，x[，]是正确的。 §4 具有某些特性的函数 问题1 怎样给出数集D上无上（下）界函数和无界函数的正面陈述？ 答 在D上无上界函数f(x)的定义如下：  ，，使得>M； 在D上无下界函数f(x)的定义如下： ，，使得<L； 在D上无界函数f(x)的定义如下： >0，，使得>M. 问题2 由§2，习题7可知：若A，B皆为有界数集，则有 sup（A+B）=sup A + sup B. (4,1) 而本节教材例2中，若f，g为D上的有界函数，则 ≤+ (4,2) 而且可能成立严格不等式. 上面二式（4.1）与（4.2）是否有矛盾？为什么？ 答 （4.1）与（4.2）并不矛盾，这是因为 {f(x)+g(x)|xD}{f(x)| xD }+{g(x)| xD }, (4.3) 而且在包含关系（4.3）中左、右两边的集合可能不相等. 例如，f(x)=x，g(x)=-x，D=[0，1]，易见 {f(x)+g(x)|xD}={0}， {f(x)| x[0,1] }+{g(x)| x[0,1] }= [-1,1]， 于是 {f(x)+g(x)|xD}{f(x)| xD }+{g(x)| xD }. 出现不等的原因在于数集{f(x)| xD }+{g(x)| xD }中x是独立地取自D中. 若把（4.3）式中左、右两边的数集看作相同而应用(4.1)，将导致错误的结论. 问题3 试问周期函数的定义域是是否必定是（-∞，+∞）？ 答 否.例如f(x)=，其周期σ=2 由此可见周期函数的定义域不一定为（-∞，+∞）. 问题4 试问周期函数是否必定有基本周期（最小正周期）？ 答 否. 例如，常数函数，狄利克雷函数都是周期函数. 任何正实数都是常数函数的周期，任何正的有理数都是狄利克雷函数的周期，但是这两个函数都无最小正周期（见本节习题第10题）. 问题5 一般定义在区间I上的函数f不一定是单调的. 试问是否必定有在一个子区间I*I，使得f在I*上是单调的？ 答 否. 例如狄利克雷函数不存在单调子区间（参见范例3）. 问题6 怎样给出函数f在区间I上不是严格单调的正面陈述？ 答 f在I上不是严格单调f在I上不是严格递减，也不是严格递增； f在I上不是严格递减<，≤； f在I上不是严格递增<，≥. 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 问题1 如何用适当放大||的方法，按ε-N定义验证数列极限？ 答 在用ε-N方法验证时，常用的一种方法是：>0，把||适当放大后化为 ||≤…≤G（n）<ε， 而由G（n）<ε比较容易求得，当n>时G（n）<ε，即有||<ε. 注意： （1）G（n）仍应是无穷小数列（放大要适当）； （2）由G（n）<ε容易求得； （3）为了放大过程的方便，有时需要预先假定n>，最后取 N=max|,|. 例如本节教材第24页中，在例3验证时，取=3，G（n）=，由<<ε又得=（也可取=），最后得到N=max{3, }. 在例4验证=0（|q|<1）时，取G(n)=，这里h=，由|-0|<<ε易解出N=. 又在例5验证（a>1）时，取G（n）=，由-1≤<ε易解出N=. 这些例题都是这样处理的. 问题2 如何用ε-N方法给出的正面陈述？并验证||和||是发散数列. 答 的正面陈述：>0，，≥N，使得 ||≥ 数列{}发散，. （1），=，，只要取，便可使≥≥≥，于是{}为发散数列. （2）. 若a=1，=1，取为任何奇数时，有>.若a=-1，=1，取为任何偶数时，有>. 若a≠1，=，对任何n，有||≥. 故||为发散数列. §2 收敛数列的性质 问题1 数列{}的子列{}的下标，是n在变动还是k在变动？ 答 子列{}的下标是随着k变动的. 例如{}是由{}中偶数项组成的子列，其中=2k. 子列的下标满足①<；②≥k. 这是子列下标的两个基本性质. 问题2 如何从，推得存在>0和{}的子列{}，使得 |-|≥？ 答 这是因为，于是>0，>0，>N，使得 |-|≥. 取N=1，>1，使得|-|≥， 取N=1，>1，使得|-|≥， ………… 取N=，>，使得|-|≥， ………… 这样就选出{}的一个子列{}满足 |-|≥ 注 这是由选出子列{}，使得|-|≥的方法. 这种方法在以后类似的的问题中将会多次遇到. §3 数列极限存在的条件 问题1 如何给出柯西收敛准则的否定形式的正面陈述？ 答 柯西收敛准则的否定形式是： {}发散>0，>0，，>N，使||≥.它的直观意义是：总存在正数，不论N怎样大，总存在大于N的，，使得之间的距离大于或等于. 上述准则的一个重要应用是可以用它证明数列的发散性,例如=1++…+为一发散数列. 这是因为：=，，，2n>N，使得 ≥. 这个结论在级数理论中将有重要的作用. 问题2 试对验证数列收敛和发散的一些充要条件或充分条件加以总结. 答 验证数列收敛的一些方法如下—— （1）按定义验证： >0，，>N，有|-|<ε. （2）用邻域形式验证： >0，在U（a；ε）外最多只有数列{}中有限项. （3）子列定理： ，有. ，有{}收敛. （4）柯西准则： >0，，，m>N，有||<ε. （5）单调有界定理： 若单调有界收敛. （6）迫敛性：若≤≤，且==，则=. 验证数列发散的一些方法如下—— （1）按极限定义的否定形式验证： 发散，≠. ≠>0，，>N，||≥. （2）用邻域形式验证： ≠>0，在U（）外存在数列中无限多项. （3）用子列验证： 若，发散发散. 若两个子列，， ，， 发散. （4）用柯西准则否定形式验证： >0，，，>N，≥. (5)若数列无界发散. 第三章 函数极限 §1 函数极限概念 问题1 在函数极限的ε-δ定义中，怎样理解ε的“任意”和“给定”这两个性质？ 答 ε-δ方法是用“静态”的定量形式描述动态的极限过程.“对给定的ε>0，>0，当0<||<δ时，有||<ε”，形式上是一个“静态”的描述；当ε变动趋向于零时，一系列“静态”描述就刻画了动态的极限过程. 由此可见正数ε的“任意”和“给定”这两个特性在上述过程中是相辅相成的. 问题2 试总结当为分式时，用ε-δ方法验证的具体步骤. 答 （1）简化分式的形式：当分子分母有当时的零化因子时，则应消去这些因子. （2）把||化简为下述形式： ||=. （3）选取合适的η>0，当x（）时，估算得≤M，即估计在（）内的上界. （4）对任给ε>0，求得，当0<<δ时，||<ε. 问题3 如何给出和的正面陈述？ 答 的正面陈述： >0，，，0<<，使得 ≥. 或者用邻域形式叙述为： 存在>0，无论多么小，在点的空心邻域Uo（）内总存在点，使得. 的正面陈述： >0，，>M，使得 ≥. 或者：存在>0，无论M多大，在中总存在点，使得. §2 函数极限的性质 问题1 区间（a，b）上的函数若在定义域中每点处局部有界，试问是否在（a，b）上有界？是否存在（a，b）上的函数，它在定义域中任何点处都不是局部有界的？ 答 设函数，，，若存在，在内有界，则称在局部有界. 函数的局部有界性是局部性概念，而函数在（a，b）上的有界性是整体性概念，两者含义不同. （a，b）上的有界函数一定在（a，b）内每点局部有界；但在（a，b）内每点处局部有界的函数不一定是有界函数. 例如： ，. ，，由函数极限的局部有界性定理可知在点处局有部界，但是在（0，1）上是无界的. 存在（0，1）上的函数，它在（0，1）内任何点都不是局部有界的. 例如：定义在（0，1）上的函数 q, 当，p，q为互质正整数， = 0， 当x为（0，1）内的无理数. ，有理数列，严格递增，且. 设，数列必定无界，这是因为假如有界，则中最多有限项互不相等，与的严格递增性相矛盾. 对的任何邻域，，当k>K时，. 由的无界性，，，使得，即在点的任何邻域内无界，即在（0，1）中任何点处都不是局部有界的. 问题2 极限除法法则（2.4）中为什么只假设，而不假设？ 答 若，由函数极限局部保号性，邻域，，≠0，这就保证了分式在内有意义，且. 若只设，有可能，于是极限除法法则不成立. 例如，当时，，但是. §3 函数极限存在的条件 问题1 设为定义在上的单调有界函数，则存在. 但在（3.8）中，若为上的单调函数，则也存在，那里并不要求有界性条件，为什么？ 答 在那里在上的递增性，保证了在内的有下界性. 这是因为取定，，有≥，即为在内的一个下界，于是由函数极限的单调有界定理， . 问题2 试述判别不存在的各种方法. 答 （1）按定义验证：，证明≠A，即 ≠A，，，使得 ≥. （2）利用归结原则： （i），， 不存在 不存在 （ii）两个数列， ，， 不存在. （3.11）  （3）利用函数极限的柯西准则的否定形式：  不存在  ，使得≥ §4 两个重要的极限 问题1 为何不能直接利用不等式 （n≤x<n+1）， 其中令n→∞，由得到？ 答 不等式的两边是数列和，而中间项是函数，这就不能利用函数极限的迫敛性来证明. 为此需要定义两个阶梯函数： ，n≤x<n+1， n ，n≤x<n+1， 其中递增有上界，递减有下界，. 于是由 ， 令x→∞，根据函数极限的迫敛性，证得 . 注 若不用迫敛性，也可用ε—N与ε—M的方法由证得，这证明就留给读者. §5 无穷小量与无穷大量 问题1 在本节教材例2中求极限  时，为何用等价无穷小量代换~，会引出错误的结果？ 答 由定理3.12可知，在求极限时，只有对极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代. 而在极限式的和、差运算中的应用等价无穷小量代换时，经常会丢失高阶无穷小量，而引起错误的结果. 今后在微分学中由泰勒公式可知 ， ， 这里是比高阶的无穷小量，于是 ， 若随意地在原式中用~，作代换，将会不合理地舍弃了高阶无穷小量，因而导致错误的结论. 问题2 怎样给出当时的非无穷大量的正面陈述？ 答 若是当时的无穷大量，则其定义为 时，有||>G. 若是当时的非无穷大量，则其定义为 ，使得||≤. 作为上述非无穷大量的正面陈述的应用，可以证明：若是上当时的非无穷大量，则存在常数与各项互异的数列，虽，但||≤.这是因为， 取，使||≤， 取，使||≤， ………… 取，使||≤， ………… 意即对时的非无穷大量，存在趋向于的各项不相同的数列，而是有界的. 第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 问题1 设函数在某邻域U（）内有定义，若对一列数，存在，当时，，试问是否能断定在点连续？ 答 在这种情况下，可以断定在点处连续，这是因为： ，n≥N时，； 对，，当； 于是 ，当时，. 注 上面先由ε找到N，再由N找到的方法，其中N是起了中间桥梁作用，读者应当注意这种分析技巧. 条件中可以用一列代替>0，. 问题2 若在某个邻域U（）内有定义，如何给出在点不连续的正面陈述？ 答 若在点处不连续，则不存在，或者存在但不等于. 其正面陈述分别为： 不存在，使得 ≥； （1.1） ，使得 ≥； （1.2） 例如狄利克雷函数 1， x为有理数， D（x）= 0， x为无理数. 不存在，于是在任意点为0，1和（0，1）内无理数时，黎曼函数在这些点处连续；而当为（0，1）中有理数时，，即（0，1）中有理点是黎曼函数的不连续点. 这也可直接用（1.2）验证如下： 对，取中无理点，  于是由（1.2），R（x）在处不连续. §2 连续函数的性质 问题1 若函数在开区间（a,b）内一致连续，为何由此可推得，存在？ 答 函数在（a,b）内的一致连续性是在（a,b）内的整体性质，即 ，当时， <. 特别当，时，有，于是亦有<.而这就是函数当时存在极限的柯西准则条件，于是存在.同理也存在. 这样就从函数在（a,b）内一致连续性推得了，都存在. 若定义[a,b]上的函数F（x）：  ，  ，，  ， 则因，，故为[a,b]上的连续函数，即（a,b）内的一致连续函数可以延拓成[a,b]上的连续函数F.从而在[a,b]上有界，在（a,b）内亦有界，而在（a,b）内=，所以在（a,b）内一致连续的函数必在（a,b）内有界. 注 函数极限的柯西准则是函数在某点邻域中满足的局部性质，但一致连续性是区间I上函数的整体性质，应当注意两者的区别和联系. 问题2 试总结证明函数为一致连续的常用方法. 答 通常有以下一些方法： （1）按一致连续性定义验证； （2）若函数在区间上满足李普希茨条件，则必在该区间上一致连续（见本节习题14）； （3）应用一致连续性定理； （4）设区间的端点，区间的左端点，若函数在上都一致连续，则在上一致连续. （5）开区间（a,b）内的连续函数为一致连续的充要条件为，都存在.例如，为（0,1）内的一致连续函数，这是因为与都存在. 问题3 试给出区间I上的函数不一致连续的正面陈述. 答 函数在区间I上不一致连续：，满足，但是 ≥. §3 初等函数的连续性 问题 为什么说“初等函数是其定义区间上的连续函数”，而不叙述为“初等函数是定义域上的连续函数”？ 答 这是因为初等函数的定义域中可能包含某些“孤立”的点.例如，函数  是初等函数，其定义域为两点，在这些点的空心邻域中函数没有定义，这里无法讨论极限.但在更一般的意义下，用方式定义的连续性可以容纳孤立点作为连续点（教材下册第100页）. 第五章 导数和微分 §1 导数的概念 问题1 若函数f（x）在点x0可导，试问f′（x0）与（f（x0））′有何区别？ 答f′（x0）与（f（x0））′的含义不同。f′（x0）是函数fx在点x0的导数，而（f（x0））′是常数f（x0）的导数，即为零，例如对于f（x）=x2 ，有 f′（3）=2x∣x=3=6，（f（3））′=（9）′=0 问题2 设有分段函数  下面是求f′+（1）和f′—（1）的一种做法：先求导数  现将x=1代入上述的导数表达式，得到 f′（1）=2·1，f′—（1）=1 试问这样做得是否正确？不对的话，应当如何求？ 答：这做法不对的。分段函数f（x）在x=1处的左、右导数应当按定义求导如下： f′+（1）= = =0 f′—（1）= = =-∞， 于是f′+(1)=2，但f′—（1）不存在。 注由以上结果得知此函数在x=1处不可导。 问题3 试问函数f（x）在x0处不通常通有几种情形？ 答（1）函数在这点不连续（例如在问题2中的例子） （2）函数在这点的左、右导数中至少有一个不存在，例如：  （3）左、右导数都在但不相等，例如： f（x）=∣x∣,f′+(0)=1,f′-(0)=-1 §2求导法则 问题1 记号f′（g（x））与（f（g（x）））′有何区别？ 答 函数f（g（x））是由函数y=f（u）用g（x）代入后所得的结果，即 f′（g（x））=f′（u）︱u=g(x) 而（f（g（x）））′是函数f（g（x））=f′（g（x））·g′（x）， 因而不能混淆。 问题2 设f（x）=ф（x）+ψ（x），g（x）=ψ（x）若f（x）或g（x）在点x0处可导，则ф（x），ψ（x）中至少有一个在点x0可导，上述论断是否正确？ 答：不正确，若函数ф（x），ψ（x）在x0处可导，由导数四则运算法则，f（x）=ф（x）+ψ（x）与g（x）=ф（x）·ψ（x）在点x0都可导。但反之不必然。例如，ф（x）=∣x∣，ψ（x）=—∣x∣在x=0处可不导处，但f（x）=ф（x）+ψ（x）=0，在x=0处可导，g（x）=ф（x）·ψ（x）=-∣x∣∣x∣=x2在x=0处也可导。 问题3 设函数f（x）在邻域U0（x0）内可导，f′（x0+0），f′（x0-0）为导函数在点x0的左、右极限，试问是否成立。 f′+（x0+0），f′+（x0）是函数f在点x0的右导数，而f′（x0+0）是导函数f′（x）在点x0处的右极限，即   以§1问题2中的函数  为例，它在u0（1）中的导函数为 ， 于是  但是不存在，于是也可能不存在。例如：   这是因为  而都不存在 也有可能发生下述情况：都存在，但f（x）在点x0的左、右导数都不存在。例如，  f′（0+0）= f′（x0—0）=1，但是f（x）在x=0处不连续，显然不可导，而   今后在第六章中应用值定理可得使 成立的条件。 §3 参变函数的导数·高阶导数 问题1参变量方程给出的曲线a≤t≤β的求导公式为 是否正确？为什么？ 答 这是错误的，按定义，而上面计算中把误认作，这是初学时易犯的错误，正确的算法应当是  问题2 试总结函数的高阶导数的常用求法 答 高阶导数在第六章函数的泰勒展开中将起重要作用，下面列举一些常用的计算方法： （1）利用基本高阶导数公式表（3.5） （2）应用莱布尼茨公式（3.6）（本节习题5.4） （3）应用数学归纳法求函数的n阶导数（本章节习题5（6）） （4）先简化分式，然后利用高阶层数公式（本节习题5（3），（5）） （5）证明需求导数的函数满足一个微分方程，然后利用递推公式求高阶导数（本节习题9、10） （6）利用复数运算和欧接公式求函数的n阶导数（见范例7） §4 微分 问题1记号这三者有何区别？ 答 表示函数u的二阶微分；表示u的第一阶微分的平方，即； 的微分，这三者有本质的差别，不能混淆。 例如时， 问题2 什么是“一阶微分形式的不变性？”为什么二阶微分形式不具有不变性？ 答 设y=f（u）是变量u的可微函数，即有 dy= 若u又是x的可微函数于是复合函数（x）的微分为  = 可以把u看作自变量或看作一可微函数ф（x）时，一阶微分形式都是这称为一阶微分形式不变性，这种不变性是复合函数求导法则的另一种表现形式。 但是二阶微分形式不具有不变性，原因在于若是可微函数，则是x的函数，若u为自变量时，y对u的二阶微分为  （4.4） 又若为微函数，则y对x的二阶微分为  =     上述（4.4）、（4.5）两式中相差一项，这项当u为自变量时为零，因此当u为自变量或可微函数的因变量时，二阶微分形式并不相同，即不具有形式不变性。 第六章 微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日中值定理和函数的单调性 问题1 若f（x）在（a，b）内严格递增，在点a处右连续，为何由此能推得f（x）在（a，b）上严格递增？ 答 只需证明，这时存在x1，x2∈（a，b）,满足a＜x1＜x2＜x，由f（x）在（a， b）中的严格递增性有f（x1）＜f（x2）f（x），令，由f（x）在点a的右连续性，于是f（a）＜f（x）。 注 上述命题在证明严格不等式时很有用 问题2 试问应用导数极限定理时，应当注意哪些问题？ （1）在应用导数极限定理时，哪果只注意存在的条件，而忽视了f（x）在u（x0）内连续的条件，则会导致错误的结论，例如  在中可导，且，于是有，若认为存在，且，这就导致错误结论，事实上，因为f（x）在点0处不连续，当然不可导。 （2）下面是单侧导数极限定理，证明方法与导数极限定理相似。 单侧导数极限定理 设函数f（x）在点的右邻域u+（）（左邻域u-（））中连续，在u0+（）（u0-（））内可导，且存在，则 （i）存在 （ⅱ） （3）若函数f（x）在内连续，在内可导，不存在，一般不能得到不存在的结论，例如，函数  f（x）在u（0）中连续，且在（0）内可导，  显然不存在，但。此例说明：导数极限定理中存在是充分条件，但不是必要条件。 §2 柯西中值定值和不定式极限 问题1 下面是由拉格朗日中值定理推导出柯西中值定理的一种“证法”： 若函数f（x）与g（x）满足柯西中值定理的条件，则它们自然满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在使得  因为所以把上面两式相除即得  试问上述证明对不对？为什么？ 答 上面证法是错误的。这是因为拉格朗日中值定理中的值中值点，对不同的函数f和g在同一区间[a，b]上一般是不同的，其实，上述推导过程中应当是，使得  当时，就无法通过两式相除而得出柯西中值公式。 问题2 试问罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理之间有何联系？在应用时各有什么特点？ 答（1）罗辑推理关系：罗尔中值定理是借助费马定理经推导而得到的，在此基础上，又推得另两个中植定理，即：   由此可见费马定理在微分学中的重要地位。 （2）由证明方法看：由罗尔中值定理推导拉格朗日中值定理是利用了辅助函数  由罗尔中值定理推导柯西中值定理是应用了辅助函数  反之，在柯西中值定理设，就得到拉格朗日中值定理；进一步更设，又得到罗尔中值定理，所以，若能首先证明柯西中值定理，则另外两个中值定理都是它的特殊情形。 （3）从应用方面看： （ⅰ）罗尔中值定理除了在推导另外两个中值定理时所起的关键作用外，在利用方程f（x）=0的根的情况讨论方程的根的分布情况也有重要作用，典型的应用见教材习题11、12和本书的范例8。 （ⅱ）拉格朗日中值定理在利用导函数的性质讨论函数的单调性方面具有特殊的作用。函数的单调性是函数在区间上的整体性质，中值定理中的只是在某点的局部性质，但因中值点的不明确性，故只能假设在整个区间（a，b）内0，并用以推得f（x）在[a，b]上的递增性质。这里存在着整体→局部→整体的辩证关系，也就是应用拉格朗日中值定理的实质所在。 （ⅲ）柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，后者是利用导数讨论函数f的增量与自变量增量比的性质，而前者是利用导数的比来讨论两个函数f与g的增量比的性质。 柯西定理的典型应用是讨论型不定式极限。在补充了f，g在点x0处的函数值之后，利用 （介于x0与x之间） 使函数值之比可以用导数之比来表示，而不定式极限的基本思想就是利用导数之比的极限来替代函数值之比的极限，本节范例3、5就是这种类型的应用。 §3 泰勒公式 问题 试问泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有什么不同的特点? 答 从定理的条件看,泰勒公式的佩亚诺型余项成立的条件是在点存在直到n阶导数;而拉格朗日型余项成立则要求函数在点的邻域内连续,且存在阶导函数;后者所需条件比前者强. 从余项形式看,佩亚诺型余项是以高阶无穷小量的形式给出的,是一种定性的描述;而拉格朗日型余项是用阶导数形式给出的,利用这类余项对用泰勒多项式逼近函数时产生的误差可以给出定量的估计. 从证明方法看,佩亚诺型余项是用洛必达法则证明的;而拉格朗日型余项是用柯西中值定理证明的. 从应用方面看,佩亚诺型余项在求极限时用和较多（见材料例4,本书后面范例1）;而拉格朗日型余项在近似计算估计误差时用得较多. 后面范例2说明在适当加强的条件下,可由拉格朗日型余项推得佩亚诺型余项的结论. §4 函数的极值与最大（小）值 问题1 若函数在点取极大值,是否可断定的充分小领域中,函数在点的左侧上升;右侧下降? 答 否 考察例子  它有极大值由于  当充分小且时,的符号决定于的符号,而在的充分小领域内,无限次改变正、负号,因此不满足在零点左侧上升,右侧下降的条件.由此可见,极值的第一充分条件并非必要的条件. 问题2 设为区间I上的连续函数,且在I上仅有唯一的极值点.当为极大（小）值时,为什么必为的最大（小）值? 答 用反证法来说明.设为区间I上的连续函数,只有唯一极小值点,而无极大值点.倘若不是的最小值,则必定,使,不妨设. 因为是上的连续函数,利用连续函数的最大、最小值定理,存在为在上的最大值点.现证,这是因为 （ⅰ）,故; (ⅱ)若,由于又是在I上的极小值点,而点又是在上的最大值点,因此存在领域,在此领域内只能为常数,这与为I上仅有的极小值点相矛盾. 于是,从而成为的极大值点,这与在I上不存在极大值点的假设又相矛盾.这样点必为最小值点. 同理可证点为极大值点而无极小值点的情形. 注 I为开、闭区间或无穷区间,结论同样成立.上述结论在最大(小)值问题中很有用处. §5 函数的凸性与拐点 问题1 若是曲线的一个拐点,可能不存在,但是在拐点的定义中,在处有穿过曲线的切线,这是否有矛盾? 答 没有矛盾.考察函数 , 它在处不可导,时 . 当时, ,曲线是凸的;当时, ,曲线是凹的;且过原点有穿过曲线的垂直切线,因而点(0,0)是曲线的拐点. 问题2 为会开区间I内的凸函数一定处处连续? 答 由教材上册每152页例5可知:若在I内任一点处存在左、右导数.由此可行在I内每点处都左、右连续,从而连续. 第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 问题1 设S是数集，度给出“η不是S的聚点”的正面陈述？ 答 η不是数集S的聚点,在中至多包含S中有限多个点. 例如,试找出S的所有聚点.事实上,因为是各项互异的数列且收敛于1,而也是各项互异的数列且收敛于,所以是S的聚点.,取  在中至多只有数集S中有限多个点,于是不是数集S的聚点.这样是S的聚点. 问题2 设S是有界数集,则是S的聚点.例如但它不是S的聚点. 若,由数列极限理论,存在严格递增数列,使;依据聚点的等价定义可知,为S的聚点. 上述讨论对下确界也适用. §2 闭区间上连续函数性质的证明 问题1 试总结区间套定理的应用. 答 一般根据证明要求构造一个区间套,使得区间套的公共点为命题所需要的点. (1)证明柯西准则:对于柯西列构造区间套使得在每个外只有数列中有限项,区间套的公共占即为的极限. (2)证明聚点定理:设S为有界无限点集,,把区间二等分,其中必有一子区间包含数集中无限多个点,继续上述步骤,可得区间套,其公共点即为S的聚点. (3)证明有限覆盖定理:用反证法.若闭区间不能用有限个区间覆盖,氢这区间二等分,其中必有一子区间不能用有限个开区间覆盖,由此可构造区间套,其公共点属于某个开区间,从而导致区间套中某区间可以用一个开区间覆盖的矛盾. (4)证明根的存在定理:设用二等分区间的方法构造区间套,使得即在区间的两个端点上异号,区间套的公共点必满足 注 上面(4)中的证明方法是计算方法中用二分法求函数议程的根的理论基础. 问题2 试总结有限覆盖定理的应用. 答 根据证明要求构造无限开覆盖,由有限覆盖定理选出有限开覆盖以达到需证的要求. (1)证明有界性定理:应用连续函数的局部有界性,存在领域,使得在此领域上,,其中是与有关的常数,  为的无限开覆盖.由H中可选出有限个领域覆盖,然后易证的有界性. (2)证明一至连续性定理:应用连续性,,与取  为的无限覆盖,然后利用有限覆盖定理证明一致连续性. 问题3 试总结致密性定理的应用. 答 经常在反证法中对选出的有界子列应用致密性定理. (1)证明有界性定理:用反证法,若在上无界,则存在使得 , 利用致密性定理在中选出,使得,由连续性,与上面不等式矛盾. (2)证明一致连续性定理:用反证法,若函数在上不一致连续,,,尽管,但 . 然后由致密性定理在,中分别选取于子列,,它们收敛于同一实数,于是与上面不等式矛盾. 问题4 试总结确界定理的应用. 答 构造合适的点集E,使得E的确界即为需证命题中的数. (1)证明根的存在定理:在上连续, , ,若定义  ,则有. (2)证明有界性定理:设 , 若证得即得在上有界.(见后面范例4). §3 上极限和下极限 问题 有些数学分析教材中用作为上（下）极限的定义,而在我们的教材中是用最大（小）聚点来定义上（下）极限的,试比较这两种定义方式的不同特点? 答 (1)存在性证明方面的存在性是用确界原理与单调有界定理来证明的;而最大(小)聚点的存在性是用区间套定理来证明的. (2)直观认识方面:前者是用确界的极限来表示的,其描述形式是一种十分抽象的数列极限;而后者具有较强的直观几何意义. (3)应用方面:一般说,利用前者在证明与上、下极限有关的不等式时较为方便（见范例3、4）；而后者对寻找具体数列的上、下极限较为方便，只要找出所有收敛子列极限中的最大（小）者即可（见范例5,教材习题1）. 第八章 不定积分 §1 基本积分公式与换元积分法 问题1 原函数与不定积分这两个概念有何不同？有何联系？ 答 两者是个体与整体的关系，如果F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)在I上的不定积分就是所有原函数的集合，即  这种关系反映在几何意义上（见教材第179页中图8-1）就是某一条积分曲线y=F(x)与所有积分曲线族y=F(x)+C的关系。 正因为不定积分是所有原函数的集合，所以有关不定积分的各种等式（如前面的（1.2），（1.3），（1.4），都应理解为两个集合的相等。 问题2 为什么原函数的定义中规定自变量的变化范围必须是一个区间，而不是一般的数集？或几个区间的并集？ 答 首先，原函数概念是与导函数密切相关的，而在一般的数集上往往无法进行求导数，再有，原函数的一个最根本的性质是：“f(x)在一个区间上的任意两个原函数之间只相差一个常数。”而这个性质来源于微分中值定理的一个推论：“若在一个区间上，则在这个区间上.”所以在原函数的定义中作出了“在一个区间上”的规定，而且在此基础上定义的不定积分才是明确无误的，即f(x)在一个区间I上的所有原函数只能是F（x）+C（F（x）是f(x)在I上的任一原函数）。 问题3 怎样从“方程求解”的数学角度上去认识不定积分与原函数？ 答 类似于和式方程x+b=a的解是x=b-a，乘式方程ay=b的解是，并由此引入了减法与除法这两种逆运算，相应地，不定积分作为求导运算的逆运算，就是微分方程  （1.5） 的解,只是方程(1.5)的解(即(1.1)并非唯一(其内含有任意常数C),只有当给出了定解条件时,才能确定C的特定值  此时方程(1.5)满足上述定解条件上解则为  在几何上它就是f的积分曲线族中经过定点的那一条积分曲线。 随着学习内容的逐步深入，所要求解的微分方程将变得越来越复杂，并成为一门独立的课程“微分方程”，但其求解过程的基本手段总是要用不到这里的不定积分计算。 问题4 为什么用这样一个奇怪的记号来表示不定积分？它不什么含义吗？ 答 从数学发展历史上看，形成定积分概念（下一章）远早于不定积分概念。f(x)在上的定积分记为，它是微分量的无限累加，积分号“”是个被拉长了的字母S（Sum，求和）。后来知道定积分的计算要依赖于不定积分：更重要地，每个边疆函数的原函数必定存在，而且可以用某种特殊形式来的定积分来表示，正是由于这两者之间千丝万缕的联系，后人就把全体原函数的集合取名为“不定积分”，并采用记号“”来表示，又因 ， 所以微分号“d”与积分号“”正好取消，犹如正、负相消、乘、除相消一般，需要注意的是：  不要漏写了任意常数C，由此可见，不定积分记号的设计既有特定含义，使用起来也十分方便。 问题5 换元积分法在使用时有哪些注意点？ 答（1）第一换元积分法俗称“凑微分法”，能否熟练使用这种积分方法，是与使用者对各种微分形式是否熟记于心是大有关系的，例如以下这些最基本的结果是经常会遇到的： ， ， ， ，  ， （2）在使用第二换元积分法时，若变量替换为，一般用条件来保证逆变换的存在。所以通常需要指出的定义范围，例如教材第185页上例7中的，例8中的等等。 （3）在解题结束时必须检查一下你的结果，看看在运算过程中是否增加（或忽略）了对咱们分变量的限制（这个注意点不只是适用于换元积分法），并作出相应的调整，例如，求  [解法一]由于 ， 因此  [解法二]由于 ， 因此  读者不难发现，在解法一中由于被积函数的分子、分母同乘以，因此增加了限制条件。在解法二中没有这一限制，所以解法二的结果是一个完全的结果。若要从解法一的结果中消去多余的限制，只需作如下调整：    这个结果与是恒等的。 §2分部积分法与有理函数的积分 问题1 试举例说明在使用分部积分公式（2.1）计算不定积分时合理选择因子与的重要性。 答 就以教材上册第187页上的例13为例，如果改设  ，， 于是，。由分部积分公式（2.1）得   , 经移项、整理后又得   显然，这比原来的解法要复杂一些，更何况这里默认了。事实上，如果也按上面的做法来计算，那是无法完成的。 问题2 试问以下计算过程为何不能达到目的？此过程如下： 欲求，为此设，，于是，，因而有 ， （2.3） 这样，问题转而求，又设，，于是，，因而又有  （2.4） 把它代入（2.3）式,结果得到0=0,未能完成任务。 答 事实上，上面计算过程用了两次分部积分法，得到了（2.3）与（2.4）两个中间结果，单纯就这两个独立的计算过程来说，都没有错，然而联系起来看，后一过程正好是前一过程的逆行或还原——好像某人欲从A地走去B地，结果因中途迷失了方向呢？经分析不难发现：在作第二次分部积分时，所设的u和不当。如果坚持按第一次的设置法，令，，则，，因而有  （2.5） 再把（2.5）式代入（2.3）式，便得 ， 经移项、整理后，即得到  （2.6） 问题3 下列有理分式的分解式是否恰当? （1）； （2）； （3） 答 都不恰当，理由与正确分解式如下： （1）最未两项分子只需为一待定常数，即  （2）原分式尚未化为真分式，正确表示应该为  而  （3）分母中的因子尚可作一次式分解，即  §3 三角函数有理式与简单无理式的积分 问题1 试对内容提要3°中的结论（1）、（2）、（3）给予解释。 答 这要借助代数学中的知识——设R（u、v）是关于u和v的有理式（整式或分式）。当它变更一个自变量的符号时，如果它的值不改变，例如 ， 则这个有理式可以化成只含u的偶数次幂的形式： ； 如果满足 ， 则可化成如下形式：  事实上，后一结论可由前一结论推出：设 ， 则满足 ， 据前一结论，必有，亦即  把它用到三角有理式的不定积分中去，就有： （1）若，则  = （令t=cosx） =， 就变为有理式的积分 （2）同理，若，则  = （令 亦变为有理式的积分 （3）若，则以替代u，即有 ， 而R1满足 ， 依据前述代数结论，必可化为 ， 所以有  = 故当满足时，只需令，就得到 ， 这也就达到了目的——化为有理式的积分。 问题2 试对内容提要5°中的欧拉变换给出解释。 答 （1）当a﹥0时，令 ， （3.2） 两边平方后得到 , 并可由此解出 ,,  这就得到 , 显然这已化为有理式的不定积分。 注 上述情形下的欧拉变换，成功的原因在于（3.2）式两边平方后消去了这个二次项,从而由剩下的一次方程可以解出x作为t的有理函数，其余两种欧拉变换的特点也在于此。 （2）当c＞0时，令 , 两边平方，并消去c和约去x后，得到 ， 由此解出 ，， ， 就有 （3）又若，则令 ， 两边平方，并约去后，得到  由此解出 ，， ， 就有  注意 我们在前面介绍了许多种计算三角有理式和简单无理根式的积分方法，应该指出的是，每一种方法都不是万能的，使用起来有时简便，有时繁复，所以读者在学习过程中要学会挑选合适的积分方法去完成不定积分计算。 第九章 定积分 1定积分概念与牛顿-莱布尼茨公式 问题1 “或积”与“连续”有何关系？ 答 “f在[a,b]上可积”，是函数的又一分析性质，稍后（ 3）就会知道；连续必定可积，而可积不一定连续，所以，“可积”弱于“连续”，或者说“连续”强于“可积”。 问题2 试对或积定义中的极限（1.2）与一般的函数极限作一比较，并指出与可积定义有关的注意点。 答 对极限式（1.2）的认识有以下几个要点： （1）极限号下方的“”一般不能用“”去替代，因为时不能保证，而时必定同时有。 （2）与函数极限相比较，后者对于极限变量x的每一值，是唯一确定的；而在（1.2）式所示的极限式中，对于的每一值，积分和的值却不唯一确定（包括T的不确定性和点集的不确定性）。这使得积分和极限要比普通的函数极限复杂的多，于是在本质上决定了或积性理论的复杂性。 （3）极限（1.2）的存在，必须与分割T的形式无关，与点集的选择也无关；唯一重要的是分割的细度，当足够小时，总能使积分和与某一确定的数J无限接近。 （4）根据（3），如果能构造出两个不同方式的积分和，使它们的极限不相同，那么就可断言该函数在所论区间上是不可积的，例如狄利克雷函数  它在[0，1]上必定不可积，这是因为对任何分割T，在T所属的每个小区间都有有理数与无理数（据实数的稠密性），当取全为有理数时，得  当取全为无理数时，得 ， 所以这两种分和的极限不相等，D（x）在[0，1]上不可积。 一般地，函数f在[a,b]上不可积是指：，，， 以及，，虽然，，但  （5）反之，如果已知，那么对于每个特殊分割T，以及点集的每种特殊选择，所得的那个积分和当时必以为极限。 （6）定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数f和积分区间[a,b]有关，而与积分变量所用的文字无关，即  （1.5） 问题3 使用牛顿-莱布尼茨公式(1.4)时有哪些需要注意的地方? 答 (1)注意公式(1.4)成立的条件,特别当函数f在[a,b]上只是存在原函数F时，尚不能保证f在[a,b]上可积，更谈不上（1.4）式成立,例如函数  它存在导函数  但因f(x)在原点近旁无界，故f在包含原点的任一闭区间上不可积（稍后立即知道“有界”是可积的必要条件）。 如果f在[a,b]上连续，其原函数F可以通过计算f的不定积分而求得，此时牛顿-莱布尼茨公式（1.4）便可使用。 （2）然而定理9.1的条件毕竟是使公式（1.4）成立的一组充分条件,也就是说这组条件还可适当减弱,这主要体现在如下两方面—— （ⅰ）对F的要求可改为：在[a,b]上连续，在（a,b）内除有限个点外有，这时只要把这个有限点添作分割T的分点，就不会影响定理9.1的证明。 （ⅱ）对f的要求也可改为在[a,b]上可积（不一定连续），此时定理9.1证明中的（2）式依然成立，但由，据前面问题2（5）所言，（2）式右边这个特殊的积分和当时极限就是，而此式左边恒为一常数，故二者相等 （3）至以后 5证得“连续函数必有原函数”之后，定理9.1的条件中对F(x)的假设便是多余的了（见教材第221页）。 下面举例说明上述（2）的正确应用，设 -1, x∈[-1,0] f(x)= ex, x∈[0,1] 此函数本身在x=0处虽不连续，但它在[-1，1]上却是可积的（至 3就能知道）。为了用牛顿-莱布尼茨公式计算，现取   易见在[-1，1]上除x=0一点外，处处有 ； 而且 ，  试问：J的值应该等于e-1，还是e-2？或者这两个结果都不是？ 考察上面（2）中对F（x）的要求，应在[-1，1]上连续；对照F1（x）与F2（x），其中（x）能满足要求，而F1（x）在点x=0间断，所以正确答案应是J=e-2。 §2 可积条件 问题1 可积第二充要条件的如下两种叙述方式为什么是相互等价的？ 叙述A ，，使得 ； 叙述B ，，对于的一切T，都有  答 显然，叙述B蕴含了叙述A，反之，当叙述A成立时，关于由所对应的T，有    由的任意性得到s=S，再依据达布定理（教材第233页上性质6），又知  把它用“”陈述方式来表达，就是叙述B，所以，叙述A与叙述B是互相等价的，以后在使用可积第二充要条件去证明别的可积性问题时，可以根据需要选择其中合适的一种叙述方式，使得推理过程尽可能简单、清楚。 问题2 黎曼函数在可积性问题上有哪些主要功用。 答 （1）黎曼函数在[0，1]上可积，说明可积函数也可以无限多个不连续点（这里是（0，1）内的所有有理数点）。这样，人们势必又会提出进一步问题：一个有界函数在[a,b]上不可积呢？这个问题要到后继课程《实变函数论》中引入“测度”概念后才能得到彻底解决。如果用可积第三充要条件来解释，那就是：如果f在[a,b]上的所有间断点不可能含于一系列总长度为任意小的开区间内，那么f在[a,b]上必定是不可积的，读者可对照狄利克雷函数与黎曼函数来加以体会。 （2）黎曼函数不属于定理9.4~9.6(教材第209页)所给出的三类可积函数，这也说明了这三个定理的条件都是可积的充分条件。 （3）在教材第211页例3和第235页例1中，分别用可积第二充要条件和第三充要条件证明了黎曼函数的可积性，读者不妨对这两个证明做个详细比较，借此增加对两个可积充要条件的认识和理解。 问题3 两个可积函数的复合函数是否可积？ 答 在教材第235页例2中指出，当外函数f连续，内函数可积时，复合函数必定可积。虽然这个命题所给出的条件是一个充分条件，但是其中关于外函数为连续的条件却是十分重要的，也就是说，如果把外函数与内函数都改为“可积”此时复合函数将不能保证是可积的，最典型的反例是：内函数为黎曼函数，外函数为  这两个函数都是可积函数，可是复合函数，恰好就是狄利克雷函数，它在[0，1]上不可积。 §3 定积分的性质 问题1 定积分的基本运算性质2°与3°有哪些有用的推论？有没有相除后的可积性质？ 答 （1）在f,g,h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有任意两个在[a,b]上可积，则另外一个在[a,b]上亦必可积。例如，由f与，则因，据性质2°可知。 （2）在f,g,h=f+g(或f-g)三个函数中，当已知有一个函数在[a,b]上可积，一个函数在[a,b]上不可积时，另外一个函数在[a,b]上必定不可积（否则，将与（1）矛盾）。 （3）若f,,,,则，事实上，由条件可证，（见本节习题第7题），再由性质3°，便知。 （4）若，，，而，则（否则，将与（3）矛盾）。 问题2 积分区间可加性（性质4°）能否对任意大小顺序的a,b,c都有（3.1）式成立? 答 若设，，且规定了，之后，就能使（3.1）式依然成立，这是因为由性质4°直接可得 ； 再由，代入上式并经移项后，即得（3.1）式（甚至是）。 经此推论后的（3.1）式使用起来将更为方便。 问题3 试举出绝对可积时不一定可积的反例。 答 最简单的反例是  类似于狄克雷函数，f(x)在[0，1]上不可积；但是，，显然它在[0，1]上可积，所以，“绝对可积”不一定“可积”。 问题4 试对积分第一中值定理（性质7°）和推广的积分第一中值定理（性质8°）作出更详细的讨论： 答 （1）当把性质7°中的条件（f在[a,b]上连续）减弱为f在[a,b]上可积时，该命题推广为： ， ，   事实上，由，，利用性质5°的推论，得到 ， 并有  令，则，且使得  性质7°中的f( )与这里的，都可看作函数在区间[a,b]上的积分平均值。 关于性质8°也有类似的推广（见本节习题第9题） （2）可以进一步证明积分第一中值公式（3.4）与(3.5)中的中值点 、（证明参见本节习题第8题） （3）再来讨论积分中值定理与微分中值定理的联系，设f在[a,b]上连续，且存在原函数F，即，，一方面对F在[a,b]上施行微分中值定理,必定存在 ,使得 ； 另一方面，借助于牛顿-莱布尼茨公式，又有  把两者联系起来，便知，使得 ， 这就是积分第一中值公式（3.4）,所以,关于f在[a,b]上的积分第一中值定理，也就是f的原函数F在[a,b]上的微分中值定理（拉格朗日定理），至于F的存在性，到下一节会知道这是一个可以证明的基本结论。 （4）把性质8°（推广的积分第一中值定理）的中值公式（3.5）改写为 , 则可被看作在区间[a,b]上的一个积分加权平均,其中,即为加之于的权值。 §4 微积分学基本定理·定积分计算（续） 问题1 可积与存在原函数之间有没有蕴含关系？ 答 没有，现讨论如下： （1）利用导函数必定具有价值性，可以举出反例用以说明：一个在[a,b]上可积函数（存在第一类间断点）而不存在原函数，例如黎曼函数。 （2）利用可积函数必须有界，可以构造出一个函数f,它在[a,b]上存在原函数F，但在[a,b]上无界，从而不可积，例如   f在任何包含原点的闭区间上，就是这样一个反例。 （3）若在某区间[a,b]上处处可导，试问不否必有  （4.9） 事实上，这个问题是上面问题（1）的延伸，仍以可积的黎曼函数f作为例子，由于它在[0，1]上非负，且在所有连续点处的值恒为零，故由教材上册第211页例3知道：，且  于是，说明（4.9）式不一定成立。 问题2 定积分的换元积分法与分部积分法在形式上和不定积分的相应算法颇为相似，试问它们之间有何区别？ 答 区别主要表现为以下两方面： （1）不定积分所求的是被积函数的原函数，因此由换元积分法求得了用新变量表示的原函数后，必须作变量还原；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果（4.7）式(或(4.8)式)一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分值也就求得了，所以，定积分在其计算过程中，可以把容易求值的项及时计算出来；而且在使用牛顿-莱布尼茨公式时，可以直接在新的积分区间上进行求差计算，而不必还原到原来的积分区间上去计算。 （2）定积分的换元积分法必须与积分区间紧密关联，不仅在换元之后积分限应作相应的改变，而且还要考察所采用的变换在规定的积分区间上是否可行，相对而言，在不定积分计算中所作的变换往往是在“可行”的区间上自然地进行地，不去一一严加深究；至于结果是否合理、正确，还可通过求导来检验（定积分则无法这样做）。 问题3 对下列定积分所做的变量置换或分部积分为什么是错的？应怎样订正？ （1），令，则   （2），令，则 ，，x=0,; 求得 （3），令，则  （4），令 ，，  =（谬误） 答 （1）由于在上（不妨设），因此应订正为  （2）这里所作的变换即为，它只适合，所以要先把原来的定积分化为，其中，例如，才能顺利求得正确结果（详细过程见后面例1）。 （3）显然，变换不能定义于[-1，1]，事实上，这个定积分可以简单地求出：  （4）这里错在把定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法相混淆，若仍按如上所设，应该得到 , 由此只能说明该计算无效，而非谬误，正确的做法应该是：     问题4 设f在（A，B）上连续，,可以证明：  （4.10） 试分析下面的“证法”:   , 指出它错在何处？ 答 以上推理过程的前面三步都不没有根据的； （1）极限号“”与积分号“”是不可以随意交换次序的； （2）条件中未假设f可导，故第二个等式也是不一定能成立的； （3）即使存在，也不表示必定连续或可积，故是否存在还是个问题，只有当进一步假设了，而后才有意义。 （4.10）式的正确证明要用到变限积分的性质，详细过程见后面范例6。 第十章 定积分的应用 §1 平面图形的面积与立体的体积 以下诸问题指出了在使用面积、体积公式时经常出现的错误，并给出了某些补充知识。 问题1 图10-1中阴影部分的面积，不要误写为。因为后者的几何意义是：由上的曲线所形成的位于轴上方的正面积与位于轴下方的负面积的代数和绝对值；而前者的意义是：在上由所形成的曲边梯形的面积，不会发生正、负面积相抵消的情形。 问题2 图10-5中阴影部分的面积应该是   不要误作 问题3 对于图10-6所示由参变量方程表示的封闭曲线  所围的平面图形，依照图10-2指出的结论不难证明：当由递增至时，如果上的动点是按顺时针方向（或右旋方向）运动的，则  反之，如果上的动点是按逆时针方向（或右旋方向）运动的，则  所以，对以上每一种情形都是正确的。当然，这里默认了为一光滑（或按段光滑）曲线；此外，也可把面积公式写作  又因与总是反号的，故又有  只是要注意，不可把面积A误写作：  问题4 图10-9所示的旋转体的体积公式，其来源可参见§2习题第5题。 §2 平面曲线的弧长与旋转曲面的面积 问题1 试给出公式（2.6）与（2.7）的来源。 答 由曲率中心定义，应满足：  以代入另一式，消去后得到  将曲率公式（2.4）代入上面的K，又得  由于G在C的凹侧法线上，因此恒与异号。而  故有  经整理后即得公式（2.6）。 以代入（2.6）式，立即得到（2.7）式。 问题2 设曲线L是曲线C的渐屈线，试说明曲线C必是曲线L的渐伸线的理由。 答 为此需要证明如下命题——设曲线C为，其渐屈线方程为  则必有： （1）若，与之对应的，则C在点P处的法线即为L在点G处的切线； （2）如图10-18所示，若在C上任取两点，它们对应的曲率中心与曲率半径分别为和  则必定等于L上曲线段G1G2的长度。 首先需假设L为光滑曲线，这只要设连续就足够了。 先对L的方程求导： （2.10） 由此得到L在点G处的切线斜率为  这恰好就是C在点P处的法线斜率。又因G在该法线上，故结论（1）得证。 再由（2.10）又有  而  从而G1G2的弧长为  故结论（2）得证。 问题3 何谓椭圆积分？ 答 以下三类积分：    其中0＜k＜1，称为椭圆积分，它们来源于椭圆等曲线的弧长计算。例如椭圆  当＞时，取其参数方程为  记，则有   类似地，当＜时， 又如正弦曲线，它的长为   由于椭圆积分的被积函数无法求出原函数，因此不能运用牛顿-莱布尼茨公式来计算它的值，故只能通过查表或借助教学软件求其近似值。例如椭圆周长为  正弦曲线一拱的弧长为 注 上面的近似值是用数学软件MATLAB求得的，数值计算定积分的指令是  其中n是所取有效数学位数。你只要在MATLAB指令窗里按如上指令键入的具体表达式和这三个具体的数字，“enter”即可。当然，你也可以使用别的数学软件一计算，例如Maple, Mathematica等。 §3 定积分在物理中的某些应用 问题1 关于微元法的几点补充说明。 答 在前面曾对微元法指出了两个注意点，其中之一是要求所求量是代数可加的，这是因为积分概念本身就是一个和式（积分和）的极限。反映在引力问题中，当需要求合力时，必须把不同方向上的力分别分解到某个相同方向上去，才可对这些同一方向上的分力实施代数相加。 另一个注意点是要求选择合适的近似表达式，使得所求量的增量与该式之差是的高阶无穷小量，亦即有  （3.10） 在用微元法归结为定积分时，想要每次都去证明（3.10）式成立，那是十分困难的。在前面导出平面图形面积、立体体积与曲线弧长的计算公式时，实际上就是在验证此式成立。如果把弧长增量的近似式改取为，将导致的明显错误，其原因就在于  在数学发展历史上，曾经对曲面面积的一般定义产生过一种误解，以为可以用曲面的一系列内接三角形面积之和的极限去定义曲面的面积，后来发现这种定义是不确切的（正确的做法是用曲面的一系列外切多边形面积之和的极限来定义曲面面积）。产生这种错误的原因，同样是因为忽略了（3.10）式的重要性。好在物理问题可以通过实验等别的途径来检验正确与否，所以在处理物理问题时，更多地采用了微元法。 问题2 试述古尔金（Guldin）定理及其应用。 答 若把曲线段质心坐标公式（3.6）改写成  就可发现此式左边即为与该曲线段弧长s的乘积，而其中表示曲线段的质心C线轴一周的周长；右边则为该曲线段绕轴旋转曲面的面积S（这里设）。把此式重写成  （3.11） 类似地，可把平面图形质心坐标公式（3.9）也可改写成  （3.12） 其中为平面图形质心C绕轴一周的周长，而A为该平面图形的面积，V为该平面图形绕轴旋转所得转体的体积（这里）。 （3.11）与（3.12）两式所揭示的规律称为古尔金定理。在这两式中，分别出现和各三个量，只要知道其中任意两个量，便立刻可求得第三个量，这使不少问题的求解得以简化。例如在图10-25中，（a）是要计算圆环面的面积和圆环体的体积；（b）是要求出半圆弧的重心坐标。利用古尔金定理，由于（a）中圆弧的圆形图形的质心都在点，而，故由公式（3.11）可得  由公式（3.12）可得  对于图10-25（b）中的半圆弧，，它绕轴旋转所得球面面积，故由公式（3.11）又可求得  于是半圆弧的质心在点 第十一章 反常积分 §1 反常积分概念及其性质 问题1 试问收敛与有无联系？ 答 首先，肯定不是收敛的充分条件，例如，但为发散。那么是否是收敛的必要条件呢？也不是！ 一个在多种场合可用来澄清概念的反例，是由  反对应的（的图像示于图11-1）。 不仅不存在，而且在上甚至是无界的；然而  注 这里需要指出上式第一个等号成立的理由：当时，变限积分关于u是单调递增的，故有 。 后面的范例2与范例3是这里问题1的继续和补充。 问题2 试对绝对收敛与条件收敛是在反常积分收签的前提下互相对立的两个概念，相互之间没有蕴含关系（特别是，说：“绝对收敛者必定条件收敛”那是绝对错误的）。 再有，从收敛的充要条件（1.3）中去看，绝对收敛表示当G足够大时，在右边的任意一个曲边梯形的面积总能小于预先给出的任意小的正数，即  （1.8） 而条件收敛的反常积分虽然（1.3）式同样成立，但（1.8）式不能成立，这说明之所以能任意地小，主要依赖的正、负值互相抵消所起的作用，例如后面将会知道的一些条件收敛的无穷积分：  从其被积函数的直观图形（图11-2）上就能理解这个特征。 后面的范例6对于进一步理解条件收敛的本质也是很有帮助的。 §2 反常积分收敛判别 问题1 试对无穷积分收敛判别的一般步骤作一小结。 答 首先使用1°~4°来判别无穷积分是否为绝对收敛，当判得收敛时自然也收敛；当判得发散时，要想知道是否条件收敛，这就是依赖别的方法（例如狄利克雷判别法、阿贝尔判别法，或者直接使用收敛定义或收敛的柯西准则）。 关于瑕积分收敛判别的一般步骤也可类似地进行。 问题2 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法是否专门是用来判别条件收敛的？ 答 否。例如教材上册第274页例3讨论无穷积分收敛时，解（ⅱ）虽然是对情形的，但同样适用于时为收敛的讨论。再如命题：  容易用阿贝尔判别法进行证明，但它与绝对收敛还是条件收敛毫无关系。（另见范例4） 问题3 在确定反常积分类型时有哪些值得注意的地方？ 答 （1）有时，无穷积分与瑕积分存在于同一个反常积分中，例如  这个形式上的无穷积分，其实还含有瑕点这时需要先把它拆成几个单纯形式的反常积分：  当且仅当这四个反常积分都收敛时，原来的反常积分才是收敛的。显然，其中的瑕积分  都是发散的，故原来的反常积分亦为发散。 （2）不要把瑕积分混淆为定积分，例如。其实它是一个以为瑕点的瑕积分，必须先化为  而后讨论等号右边的两个瑕积分，当且仅当它们都收敛时，等号左边的瑕积分才是收敛的。显然，这里两个瑕积分（等号右边）都是发散的，故原来的瑕积分亦为发散。需要注意的是，不要误将这个瑕积分当作是定积分，并利用奇函数在[-1,1]上的积分值为0，轻率地得出这样一个错误的结论。 问题4 两个发散的无穷积分的代数和是否必为发散？ 答 不一定。如果，则有  至于是否收敛，则无肯定结论。具体例子可参见后面范例3（1）。