第五章 导数和微分
§1导数的概念
例1 讨论下列函数的可导性
解 首先讨论f（x）的可导性。当时，因为
所以不存在时，即在点0处不可导。当时，在点处不
连续，于是在点处也不可导。
然后讨论的可导性。当时，
于是有
即，当时，g（x）在点不连续，于是在点不可导。
例2 设函数定义在[-a,a]（a＞0）上，且适合∣∣≤x2，证明又因
︱∣≤︱︱
于是
∣∣=0
则（0）=0得证
例3 设函数，定义在[a,b]上，，且，又定义
证明在点可导。
证 因为，于是
同理可证
由可得
所以在点可导
例4 设函数在点处可导，过曲线上点处的切线和法线与x轴交于点N和点M，点P在x轴上的投影为点T（见图5-1）证明：
，，
证 由导数的几何意义，若过点P的切线与x轴交角为a，则
由，而，于是
由图中可见
，
即
由此得到
=
=
=
=
例5 设平面上一抛物镜的轴截线方程为
若光线沿平行于y轴的方向射向镜面，证明反射光线都通过y轴上点（0，）
证人 设点是入射光线与镜面的交点，反射光线与y轴交于点Q。过点P的镜面的切线与y轴交于点R，此切线的斜率为︱xo=2xo，于是直线PR的方程为
，
由此可得点R的y坐标为
按光线反射时满足入射角等于反射角的规律，在图5-2入射角为a，反射角为β，即有a=β,由于ΔPQR的两个底角分别为a，β的余角，因此ΔPQR是等腰三角形。
设点Q为 y坐标为q，在直角ΔPQT中
=
由于，因此
，
由此方程可解得对任何都有
例6 证明：若在点a处可导，f（x）在点a处可导。
分析 一般情况下，若在点处可导，在点处不一定可导。例如处可导，但在点0处不可导，反之，若在点处可导，一般也不能推得f（x）在点x0处可导。例如
处可导，但处不连续，因而不可导，然而，若在点a处连续，则由在点a处可导就可保证f（x）在点a处可导。
若，由连续函数局部保号性，，在其中保持定号，因而由在点处可导可推得在点a处也可导。
若，且在点a处可导，因为点a为的极值点，所以应用费马定理可以得到，再由此又可证得。
证 若，由连续函数局部保号性，，在中保持定号，于是在点a处可导，即为在点a处可导。
若，则点a函数的极小值点，因在点a处可导，由费马定理有
即
因为，所以
于是
§2 求导法则
例1设
，
求
解 由导数的四则运算法则，可得第一加项的导数
=
在第二加项中注意到中间变量又是两个函数式的和，于是
[]
由此得到
=
例2 设
，
求
解 由复合函数求导法，求得
=
=
例3 设可得
上述等式两边关于x求导有
于是有
例4求下列函数的导数：
解为了去掉函数扣的绝对值号，把y改写成如下分段函数：
由求导的四则运算法则，先求出处的导数：
再按定义求处的左、右导数，
=0
同理可得，于是这就得到
例5讨论函数
的导数
解 当x≠0时
当x=0时
=
=1，
于是f在x=0处不可导
例6 举出符合下述条件的函数
（1）设
因为f（x）在x=n（）处不连续，于是f（x）在x=n处不可导；当时，f在x的某个邻域内恒为零，于是函数f在x处可导。
（2）狄利克雷函数D（x）在R上处处不连续，于是处处不可导，由于u =D(x)的值域包含于D（u）与D（x）可以复合。
当x为有理数时，D（x）=1，于是（；当x无理数时，D（x）=0，于是由此，故在R上处处可导，。
§ 3参变量函数的导数·高阶导数
例1 设曲线方程为求
解
于是
例2设阿基米德螺线的方程为，试求
解 由公式（3.2）
=
=
例3 设函数f（t），，曲线方程为
试求
解
于是
例4证明高阶导数的等式
（1）[](n)=
（2）[](n)=
其中
证 先证明等式（2），当n=1时
[]′=
=
=
=
其中，于是n=1时等式成立，应用数学归纳法，若n=k-1时成立，即设
[](k-1)=,
则当=k时，有
=
=
于是证得
[](n)=
同理可证等式（1）
例5 设求
解 设，注意到时0，应用莱尼茨公式，有
+
=
=
例6设函数f(x)当时有定义，且二次可导，试选择常数使得函数
是二次可导函数
分析 函数在区间的端点二阶可导是指点处的左二阶导数存在。在本题中是二次可导函数，主要任务是确定常数使得在点二阶导数存在，第一步由连续性条件，确定常数；第二步由存在定出常数，最后由在二阶可导可以定出常数。
解 由题设条件，存在首先由F(x)在点的连续性条件，要求：
可得
为了使在点可导，必须有易见，而
=m,
于是有
由此可得函数F（x）的导函数为
为了使函数F在二阶可导，必须有，易见而
=
=
于是有，这样就得了
例7 证明高阶导数公式
，
并由此得到
分析 利用复数形式的恒等式
，
由基本高阶导数公式不难得到
=
为了证明结论，应当借助于欧拉公式
这公式的证明将在第十四章幂级数中给出
解 由分析可知
因为，设，即，于是由欧拉公式有
这样，
=
由此可得
=
§4 微分
例1 求
解 由于函数中出现了绝对值号，且，因此应当分别在区间上求导：
而后再统一表示为
于是
例2证明近似公式：
，
其中远小于A，利用这公式计算的近似值。
证 在函数值近似计算公式（4.3）中取
，
则有
由上式便得
=
由此可算得近似值（算至4位小数）
=2.9907
（用十位有效数字的计算器求得的）
例3 设u为x的二除可微函数，y=1n u，求
解一 按求导法则
解二 应用微分运算法则
由于，因此两种解法的结果是一致的。
例4 设函数在点成立
的充要条件是在点可导，如果由此简单地推断等式
成立与在点二阶可导是等价的，这将是错误的。下面的反例说明尽管（4.6）式成立，但在点的二阶导数可能不存在。
解设
取于是有
即（4.6）式成立（此时A=B=0）
然后求出的一阶导函数为
由于
而不存在，因为在处二阶导数不存在。
注：以后在函数的泰勒展开中可知，若点二阶可导，则必有
这明说在点二阶可导是使（4.6）式成立的充分条件，但并非是必要条件。
例5 设单摆的周期T按下式计算：
，
其中为摆长（按米计），为重力加速度，为了使周期增大0.05s，原摆长约需变化多长？
解 由近似公式
，
其中，，则
=
=0.0223（m）
