第十章 定积分的应用
§1 平面图形的面积与立体的体积
例1 求由曲线与所围平面图形的面积（图10-10中的A），并求此图形绕轴旋转的旋转体体积。]
分析 求双曲线与抛物线的交点：
即
由此知道二曲线在处相切，在处相交。
解 根据以上分析所得结果，按平面图形的面积公式与旋转体的体积公式，可分别求得：
例2 如图10-11所示，由点向椭圆作两条切线MP和MQ（P，Q为切点）。试求椭圆与切线所围阴影区域的面积A，并求该区域绕y轴旋转所得旋转体的体积V。
解 本题的关键是求切线MP和MQ的方程，通常有两种解法。
[解法一] 求切线的斜率。设MP的方程为，当它与椭圆相切时，方程组
对x只有唯一解。为此消去y，得到关于x的二次方程：
使其判别式为零，即
由此解出这就是MP和MQ的斜率。
[解法二] 求切点坐标。为此对椭圆方程两边分别对求导数（把看作的复合函数），得
并由此解出，这是椭圆上任一点（x,y）处的切线斜率。于是，过点（x,y）的切线方程为
使它通过定点，即以代入，得到
并有
这就求得切点
由于MP的方程为，借助对称性，可分别计算A和V如下：
说明 根据图形特征，上面在计算A与V时选择以y作为积分变量，这是很合理的。
例3 如图10-12所示，为阿基米德螺线，图中分别表示螺线每相邻两卷之间的面积。证明成等差数列。
证 根据极坐标形式下的面积计算公式，先求出：
注意到
故得
由此可见成等差数列，公差为
注意 不要把误认为因为表示矢径从至所扫过的面积，它不仅扫过了，同时还扫过了
例4 试求由参数方程
表示的曲线所围成图形的面积。
分析 由
看出说明参数由递增至时，曲线上的动点从坐标原点出发又回到坐标原点（该曲线的图像示于图10-13）。
解 根据以上分析和前面在图10-6中给出的计算公式，便可求得该曲线所围成平面图形的面积：
说明 与前面问题3中所指出的结论相对照，这里的
为一负值，表示t在[0,2]这一变化过程中，曲线上的动点（x（t），y（t））是按逆时针方向运动的。
例5 求由双曲抛物面、平面与所围立体的体积。
分析 该立体如图10-14（a）所示。由于它不是一个旋转体，因此只能通过先求出截面面积函数，而后再求定积分的方法来计算立体体积。从我们对双曲抛物面的认识可以知道，垂直于z轴的截面形状是一族双曲线弓形（示于图10-14（b）），垂直于x轴的截面形状是一族抛物弓形（示于图10-14（c））。若能求得截面面积函九A（z）或A（x），便有
解 下面人出两种解法，以便于进行比较。
[解法一] 在计算A（z）时，应把z看作在[0,1]上的任一固定实数。此时，水平截线是一族双曲线（每个z的值对应一条双曲线），或写作
于是所求双曲线弓形的面积为
由此便有
现分别计算右边三个积分如下：
所以
[解法二] 类似地，在计算A（x）时应把x看作在[0,1]上取定的任一实数。此时，垂直于x轴的截线是一族抛物线（每个x的值对应一条抛物线）。因此所求抛物线弓形的面积为
由此便有
说明 比较解法一与解法二，显然后者要简单得多。由此可见，在利用截面面积求体积的问题中，选择合适的截面是十分重要的。请读者再考察一下，本题若取垂直于y轴的截面，则截面的形状是怎样的？计算A（y）以及计算V的过程是否简便？
§2 平面曲线的弧长与旋转曲面的面积
例1 如图101-19所示，悬链线在上的一段弧长和曲边梯形面积分别记为s(u)和A(u)；该曲边梯形绕x轴旋转所得旋转体的体积和侧面积分别记为V(u)和S(u)；该旋转体在x=u处的端面积记为F(u)。试证：
（1）
（2）
证 （1）由于
因此有
（2）又因
所以
例2 图10-20所示为曳物线的生成原理——在平面上有一细杆PQ，长为a。起始位置P在点（0,a），Q在坐标原点。然后一端Q沿x轴正向移动，另一端P被自由（即不受阻力）地牵曳着而生成一条曲线，称为曳物线。
（1）验证曳物线的方程为
（2）计算曳物线上两点与间的弧长；
（3）试求当端点Q运动到（x,0）时，端点P沿曳物线走过的路程s(x)，并求
分析 当细杆自由地被牵曳着运动时，在任一位置PQ恒为曳物线的切线。设所在的切线为
当Y=0时，，故点Q的坐标为由，得到曳物线所满足的方程为
解 （1）根据以上分析，由（曳物线为递减函数），解出
这就得到
以x=0时y=a的初值条件代入，得C=0。于是解得曳物线方程为
（2）根据弧长公式，曳物线上点与之间弧段长度为
由于
因此易得
（3）设端点Q到达（x,0）时，端点P在位置。写出在该点的切线：
用Y=0，X=x代入，得到
由于动点P由点（0,a）沿曳物线运动到点时，走过的路程为，因此有
又因当时，，随之又使，于是求得
这说明当走过的路程无限增大时，细杆两端走过路程的差趋近于a的1n2倍。
例3 试求椭圆的渐屈线和在点处的曲率圆。
解 先计算
把它们代入渐屈线方程（2.6），得到
前面图10-15所示者即为椭圆及其渐屈线的图形。
当时，椭圆上的点为；与之对应的曲率中心（以代入渐屈线方程）为；所求曲率圆即为以G为圆心，为半径的圆：
例4 证明：曲率中心是曲线的法线与其相邻法线的交点的极限位置（当后者无限靠近前者时）。
证 设曲线，满足。在C上已知点P与一个相近点处作出C的法线，二法线的交点是。若沿C无限靠近P，则在固定点P的法线上移动（图10-21）。写出在点P（x,y）与点处的法线议程分别为
(2.11)
(2.12)
两式相减，得出
或
由于存在时，有，并有
因此对上式取的极限，便得
即
把它代入（2.11）式，又得
可见法线（2.11）与（2.12）的交点（X,Y）的极限位置（仍记为（X,Y））即为由（2.7）式指出的曲率中心。
说明 本题虽与定积分没有直接联系，但它对于认识曲率中心的几何特征是很有帮助的。
例5 试求星形线绕直线旋转所成旋转曲面的面积。
分析 如图10-22所示，曲线上任一点（）至旋转轴的距离为
这就是曲面上任一点的旋转半径。
解 根据以上分析，并利用对称性，可得
§3 定积分在物理中的某些应用
例1 洒水车上的水箱是一个横放着的长为4m的椭圆柱体，其椭圆端面的机警向长半轴为b=1m，纵向短半轴为。试计算当水箱装有深度为的水时每个端面所受的静压力。
解 如图10-26所示，当纵向坐标为时，水深为，故所求静压力为
现分别计算：
从而求得
最后以代入上式，得到
问题：本题所求的静压力是否等于装满水时整个端面上的静压力减去那一弓形部分上的静压力之差？请说明理由。
例2 将一薄板垂直插入比重为v的液体中，证明此薄板每面所受的静压力等于液体在该薄板质心处的压强与薄板面积的乘积。
证 设薄板垂直置于液体中的情形如图10-27所示，y轴位于液体表面。这时薄板每面所受压力为
根据静矩与质心公式（3.7）与（3.8），上述压力F的表达式恰好是薄板关于y轴的静矩（设薄板的面密度为v）；对于该薄板的质心C（）而言，就有
（A为薄板面积），或
（3.13）
其中即为液体在质心所在深度处的压强。
说明 （1）关系式（3.13）表明垂直放置的平板每面所受的液体压力，相当于把平板水平放置在深度为（原直立平板质心的深度）时所受到的压力（平板上方液柱的重量）。
（2）利用（3.13）式，如果A与已知，则容易求得F。例如，一块半径为r的圆形薄板垂直置于水中，圆心与水面相距为，此时因，故薄板每面受到的水压力为
（3）关系式（3.13）与古尔金公式（3.12）在形式上甚为相似。特别当取（3.13）式中的时，由此式所求得的F的值，恰为平板绕y轴旋转所得旋转体的体积。
例3 如图10-28（b）所示，有一半径为R、质量为M的实心球体和另一相距球面为a、质量为m的质点。试求球体对质点的引力。
分析 取坐标轴Oz如图，使质点位于O，球心们于Oz上坐标为a+R的点处。根据微元法思想，整个球体对质点的引力可以看作球体一系列水平薄片（厚为dz）对质点引力的合力；而每一圆形水平薄片对质占的引力又可以看作圆盘一系列同心狭环（见图中（a））对质点引力的合力；而每一圆环当为很细时（即其中dx很小时），它对质点的引力已在内容提要3°中举例给出。
解 现把该时的结论式（3.2）改写为
（3.14）
设在球中任意截下的圆盘示于图10-25（a）中，其半径与质量分别为
在该圆盘中任意取一半径为x的狭圆环，其质量为
现以x与分别替代（3.14）式中的与，便得狭圆环对质点的引力为
于是圆盘对质点的引力为
再以z与dM分别替代中的与，并以代入，便得
说明 对于均匀质量的实心球体，它与球外一质点之间的引力，恰好等于把实心球体的质量集中于球心后，二质点之间的引力（在一般情形下这个结论不成立）。在后面第十一章引入反常积分概念的例1中（教材264页），地球对火箭的引力，就是根据以上结论得来的。
例4 古埃及大金字塔为一正四棱锥，设高为125m，塔基为230m×230m的正方形，传说历时20年才建成。若建造金字塔所用石块的密度为3210kg/m3，试求建成这座金字塔所做的功，并由此大致估算需要多少工匠直接投入建塔工程。
解 这里只考虑堆砌石块所做的功。如图10-29所示，堆砌成高为x、厚为dx的一层塔体需作功
于是所作总功为
粗略假设每个工匠每天工作10小时，每年工作300天，共工作20年。以一个普通工匠每小时可把250kg石块抬高1m来计算，一个工匠20年内所做的功约为
所以需要工匠人数约为
例5 把密度均匀的抛物体放在水平桌面上自由摆动（图10-30）。证明：当抛物体稳定时，它的中轴线（z轴）与桌面所成的角度为
分析 先求出抛物体在所示坐标系中的质心，然后由质心处于最低位置（使抛物体平衡）而求出。
证 在坐标系中，此旋转抛物体的质心为，而的计算公式应是
其中是抛物体的质量，是抛物体关于平面的静矩。由于该抛物体是由平面上的曲边梯形绕z轴旋转而得，故其质量为
而它关于平面的静矩为
由此求得
由旋转曲面关于中轴的对称性，可把旋转曲面与水平桌面相切的问题简化为抛物线与水平直线相切的问题。为此求曲线在其上任一点的切线：
亦即
定点相距此切线的距离为
现在要来求出切点，使d达到最小。这只要先计算对的导数，并使之等于0，即
不难知道即为所求，并求得切点为。
过此切点的切线其斜率为，这里是切线与y轴的交角，而我们所求的是切线（即桌面）与z轴的交角，故，即
说明 （1）当抛物体处于平衡状态时，其质心在桌面上的投影为抛物体的支撑点（即抛物面与桌面的切点），根据这个事实同样可求得该切点。
（2）该旋转抛物体的质心与其轴截面（为一曲边梯形）的质心，两者不同（后者的质心为），希望读者千万当心。
