第八章 不定积分 1 基本积分公式与换元积分法 例1 求下列不定积分： （1）； （2） 解（1）由于 ， 因此得到   （2）解法一 由于 ， 因此有  解法二 利用换元积分法，令，则，，于是有    说明 第（2）题解法二的优点在于当被积函数这个二项式的指数较大时（如求），处理起来不会增加任何困难；但若仍用解法一去计算，那将是十分繁琐的；更何况当不定积分变为，a为任意实数时，只能用解法二来计算。 注意 第（2）题的两种解法所得结果在形式上虽不相同，但它们之间至多相差一个常数，可被容纳在积分常数C之内。 例2 用第一换元积分法求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4） 解 （1） （2）  （3）   （4）  = （令）    注 由第（2）题看到，三角函数的积化和、差公式在不定积分计算中起着关键性的作用。 例3 用第二换元积分法求下列不定积分： （1）； （2）； （3） 解 （1）令设，于是     （2）解法一 令，于是       解法二 利用已知的不定积分  借助第一换元积分法，可得    （3）由于 ， 因此若令，则有  于是   说明 在使用第二换元积分公式  时，为保证和的存在，要求，为此应指出t的合适范围，这正如本例（1）与（2）的解法一中指出的 例4 试用多种解法求不定积分 解法一 令，于是  因而    解法二 令，于是   因而     注 这里借助教材上册第185页上的例8，得到如上结果 解法三 令，于是，因而  =  解法四 令，于是，因而  =  解法五 先把该不定积分变形为：  然后令，并由此解出 ， ，  因而    说明 本例使用了五种不同的换元法进行计算，其结果在形式上虽不相同，但均可相互转化，选择何种换元方法，应根据被积函数的特征，灵活应付。 2分部积分法与有理函数的积分 例1 求下列不定积分（降幂法）： （1）； （2） 解 （1）令，于是，因而   （2）     注 适合应用“降幂法”的不定积分有如下一些类型： ，， 其中为某一n次多项式，对这些不定积分，只须令，（或），每用一次分部积分，便能使多项因子降幂一次；重复使用n次，可使多项式因子降幂成一常数，而剩下的是求（或）的不定积分。 例2 求下列不定积分（升幂法）： （1）； （2）； （3） 解（1）令，于是，因而   （2）令，于是，，因而     （3） , 而    ， 从而求得  注 适合应用“升幂法”的不定积分有如下一些类型： ， （m为正整数） (及某些或). 在使用分部积分法求上述各类不定积分时,只须令或,,使用每用一次分部积分,多项式因子升幂一次,同时使或降幂,重复这个过程m次，最后化为求一多项式或一有理分式的不定积分。 例3 求下列不定积分（循环法）： （1）； （2）； (3) 解 （1）由前面问题2已知  ， 并由此求得结果（2.6）,更一般地,按此法可得 , , (参见教材上册第188页例15) (2)  , 于是得到   (3) , 同理得到   说明 若令,则,即化为题(2)的情形。 注 适合应用“循环法”的不定积分有如下一些类型： ， ， 或某些类似于本例（2）、（3）那样的不这积分，这些不定积分经若干次分部积分后，出现形如  的“循环（或“重现”）形式，由此即可求得  例4 求下列不定积分（递推法）： （1）； （2）， 其中n,m为正整数，并分别用以计算 和  解 （1）用“降幂法”计算得   ， 这就得到递推公式：  （初值：） 利用此递推公式，易得    （2）用“升幂法”计算得  ， 则有递推公式：  （初值：） 利用此递推公式，易得     说明 在计算有理函数的不定积分时，有一个重要的递推公式：  （初值） （2.7） 它也是通过分部积分而获得的（见教材上册第193页）。 计算不定积分  解 对被积函数R(x)作部分分式分解：  ， 使得    令x=-1：； 令； 项的系数：； 令 ，   令（常数项）：  从而有  （2.8） 易见 ; ;   ; 再应用递推公式(2.7)，得     把这些结果代入（2.8）整理后得到      说明 （1）通过学习有理函数的不定积分计算法，知道任何有理函数都能求出它的原函数，只是当被积函数不太简单时，计算过程较为繁琐。 （2）在懂得计算原理的基础上，我们就能较容易地学会使用计算机数学软件，这在今后工作中显得更为重要，例如，在MATLAB指令窗内键入。  其中第一行指令是设定符号运算变量x；第二行指令是计算不定积分（int），在其后括号内的是用x表示的被积函数表达式（这里就是例5中的不定积分），按下“Enter”键后，该软件通过符号运算，一瞬间就会输出答案： 其中“log”即为自然对数“ln”，“atan”即为反正切函数“arctan”，对照前面例5的最终答案，两者完全相同。 §3三角函数有理式与简单无理式的积分 例1 求下列三角函数有理式的不定积分 （1）； （2）； （3） 解 （1）由内容提要3°末的分析，这里取变换较为方便，且有     （2）由内容提要3°（3），应取则有      （令）      （3）本题除一般解法（化为有理式的积分）外，还有一种较巧妙的解法，由于分母与分母的导数以及分子同为与的线性组合，因此设想：若能求得a、b，使得 ， 则立即就可求得该不定积分，其实，把上式改写为 ， 立即知道可由方程组 ， 解出，于是就可求得   说明 以上第（2）题还可通过三角函数变形得到更方便的解法：  =  (令)    例2 求下列不定积分： （1）； （2）  解 （1）将被积函数的分母有理化，使所求不定积分变为  分别求出：    ；   ；   ；  从而求得   （2）把所求不定积分变形为  令，解出 ， ， ， ， 于是求得    □ 例3 应用欧拉变换计算下列不定积分： （1）； （2） 解（1）由于无理根式中的二次三项式的系数，故可作欧拉变换  或  现取，两边平方后整理得 ， ，  于是有       （2）由于中的系数，且 ， 因此可作欧拉变换  或  现取，两边平方后整理得 ， ， ，  于是有     □ 说明 （1）本例第（1）题如采用欧拉变换 ， 则化为如下有理式的不定积分  （2）如果把本例中的不定积分按教材第196页所介绍的方法化为三角有理式的积分来计算，则分别有     （令）   （3）在本例第（2）题所采用的欧拉变换  也可改写成，一般地，若，则欧拉变换  相当于把不定积分变形为  , 再令，经此换元后变为有理函数的积分，因此，在这种情形下，不定积分  与  同属一种类型。