总练习题提示与解答 第一章 实数集与函数 1．设，证明： （1）； （2）. 提示 讨论两种情况. 2．设都是D上的初等函数.定义 . 试问是否为初等函数？ 解 应用第1题结论，可得 . 若是初等函数，则也是初等函数.可看作初等函数与的复合函数，因而也是初等函数，于是是初等函数.同理也是初等函数. 3．设函数，求 .  4．已知=，求. 5．利用函数求解： （1）某系各班级推选学生代表，每5人推选一名代表，余额满3人可增选1名.写出可推选代表数y与班级学生数x之间的函数关系（假设每班学生数为30~50人）；  （2）正数x经四舍五入后得整数y，写出y与x之间的函数关系.（y=[x+0.5],x>0） 6．已知函数的图像，试作下列各函数的图像： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）. 7．已知函数和g的图像，试作下列各函数的图像： （1）；（2）. 提示 应用上面第2题解答和第6题（6），（7）. 8．设，g和h为增函数，满足 ≤≤，. 证明：≤≤. 证 因为，≤，且为增函数，所以 ≤； 又因≤，取=，即有≤；于是证得≤.同理，利用是增函数可证≤.这里没有用到的增函数性质（如果顺序倒过来证，就会用到的递增性）. 9．设和g为区间（a,b）上的增函数，证明第7题中定义的函数和也都是（a,b）上的增函数. 证 现证=为增函数.设，按定义 ≤，≤， 于是≤≤， ≤≤. 这样就证得 ≤， 即为增函数.同事可证也为增函数. 10．设为[-a,a]上的奇（偶）函数.证明：若在[0,a]上增，则在[-a,0]上增（减）. 提示 若，则，于是. 12．设，为D上的有界函数.证明： （1）≤； （2）≤. 证法一 （1）因为≤，于是 ≤. 由教材§4，习题7可知 ≤=， 最后等式是应用了本书§2范例4中的结论. （2），≤， 于是 ≤， 由此即得 ≤. 证法二 （1）由=-，应用教材§4例2中的结论，有 +≤， ≤. 同理可证（2）. 13．设，为D上非负有界函数.证明： （1）≤； （2）≤ 证（1）因为，为D上的非负有界函数，于是≥0，≥0.若，中有一为零，则不等式显然成立，故不妨设>0，>0.由于，的非负性，因此 ·≤， 由此可得 ≤， 于是有 ≤， 最后不等式是应用了. 若，的非负性条件不满足，结论（1）可能不成立.例如， ，，， 是非负函数，是非正函数，不难验证 ，， =， 因而（1）中不等式不成立. 同理可证（2）. 14．将定义在（0，+∞）上的函数延拓到R上，使延拓后的函数为（i）奇函数，（ii）偶函数，设 （1）； （2） 解 （1）是定义在（0，+∞）上的，为了把函数延拓到R上，必须将定义域扩充到上去，得到R上的函数在（0，+∞）上应当与相合. （i）为了使延拓后成为奇函数，而奇函数的图形关于原点对称，所以应当定义  容易验证，，因此即为所求的奇函数. （ii） 为所求的偶函数. （2）（i）  为所求的奇函数. （ii）  为所求的偶函数. 15．设为定义在R上以为周期的函数，为实数.证明：若在上有界，则在R上有界. 证 由条件在上有界，故，对于，有≤M. ，使得，其中.因为以为周期，所以，满足 ， 即是R上的有界函数. 16．设在区间I上有界.记 ，. 证明： . 证 按确界定义，应当证明： （1），≤； （2），<； 先证（1），≤，≥，于是有 ≤， 同理又有 ≤， 即 ≤. 再证（2）.若，则在I上恒为常数，结论是显然的.不妨设M>m，取正数.因为 ，， 所以，使得 ，， 于是 . 由此可见 =. 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 1．求下列数列的极限： （1）；（2）； （3）. 2．证明： （1）；（2）；（3）. 提示 （1）设. （2）先证. （3），试证设，即. 3．设，证明： （1）（又问由此等式能否反过来推出）； （2）若，则. 证 （1）因为，于是时，. ≤ ≤. 当固定，取n充分大，时，于是当时 ≤. 即. 反之不必然，例如发散，但是. 注 所证结论可作为§2范例5中施笃茨定理的推论. （2）若，因为 0≤≤， 令，由（1）有，应用迫敛性，有. 若，因为，所以.又因为，利用不等式（其证明见教材第六章§5习题8（1）） ≤≤， 于是有 ， =. 由迫敛性证得 . 注 上述结论也可以利用指数函数连续性和（1）来证明. （1）； （2）；（提示：） （3）；（4）； （5）；（提示：在题3（2）中取） （6）； （7）若，则； （8）若，则. 5．证明：若为递增数列，为递减数列，且， 则与都存在且相等. 提示 证明，为有界数列. 6．设数列满足：存在正数M，对一切，有 ++…+≤M. 证明：数列与都收敛. 证 因是递增有界数列，由单调有界定理，数列收敛.由数列极限的柯西准则（必要性），，对任何正整数P，有 ， 即  ≤++…+， 对数列应用柯西准则（充分性），可知也是收敛的. 注 满足本题条件的数列称为有界变差数列. 7．设.证明：数列收敛，且其极限为. 证 有 ≥， ≥， 于是是有下界数列. 再证的递减性：，又有 =≤= 由数列极限的单调有界定理，存在. 在中令，得到， 解出并舍去负根，有. 8．设，记 ，，. 证明：数列与的极限都存在且等于. 提示 ≥. 9．按柯西收敛准则叙述数列发散的充要条件，并用它证明下列数列是发散的： （1）；（2）；（3）. 解 （1），取， ≥. （2），取， ≥. 10．设，，记 . 证明：（1）；（2）. 提示 参考第一章总练习题1的结论. 第三章 函数极限 1．求下列极限： （1）；（2）； （3）； （4）；（5）； （6）； （7），为正整数. 解 （7）先设≥2，≥2，为正整数.作变换，当时，，于是有  = = = = ==. 若≥2，时，令，  = ===. 同理可证≥2的情况.若，易见极限为零.于是当为正整数时 =. 2．分别求出满足下述条件的常数与： （1）； （2）； （3）. 解 （1）因为 =， 而， 所以，解得 ， 把代入原式，有 . （2） = =， 为了使上述极限为零，必须有，即. 再把这组解代入原式，有  ===0， 于是为所求常数. （3）当时，类似于（2）中分析 ， 为了使极限为零，必须有，于是应取，这时  ==， 于是为所求常数. 3．试分别举出符合下列要求的函数： （1）；（2）不存在. 4．试给出函数的例子，使恒成立，而在某一点处.这与极限的局部保号性有矛盾吗？ 5．设，，在何种条件下能由此推出？ 提示 当时. 6．设.试作数列 （1）使得； （2）使得； （3）使得. 7．证明：若数列满足下列条件之一，则是无穷大数列： （1）； （2）. 解 （1）取，使得.由，对≥时，有 ， 即.因为，所以，于是有 ， 即是无穷大数列. （2）取取，使得，因为，于是>，有 . 把上面个不等式相乘有 . 由此可得 . 8．利用上题（1）的结论求极限： （1）；（2）. 9．设，证明： （1）； （2）若，则. 证 （1）因为，（不妨设），所以.当时，， ≥ ， 于是时 ， 即 . （2）因为，所以 时，，于是，即 . 由（1）便有 ， 即 ， 由此可得 . 10．利用上题结果求极限： （1）； （2）. 11．设内的递增函数，证明：若存在数列且，使得，则有 . 证 设法证明. （1），≤A. 先证≥A.选定，因为，对 ，由≤，令有≤A.由于的任意性，有≤A. ，若使得≤≤，由的递增性，≤≤≤A.若≤，于是≤≤A. （2）. 由≤A，取，有. 由此可得.由函数极限的单调有界定理有. 12．设函数在上满足方程，且.证明：. 证 ，.因为，由归结原则有，于是，即. 13．设函数在上满足方程，且， 证明：，. 提示 当；当. 14．设函数在上，在每一个有限区间内有界，并满足.证明： . 证 先设A=0，由，则≥，.≥，，其中，，由在上的有界性，，≤.于是由 ，k=0，1，2，… 得到  = = ≤. 当充分大（）时，于是当时，，即 . 若A≠0，作辅助函数.由于 ， 且≤，故F在任何区间内有界.于是由上面结论 ， 即得 . 第四章 函数的连续性 1、设函数在内连续，且与为有限值。证明： （1）在内有界； （2）若存在，使得，则在内能取到最大值。 证 （1）为了应用连续函数有界性定理，先设法把延拓成闭区间上的连续函数。设  可以证明是上的连续函数。这是因为在内连续，且   在闭区间上应用连续函数有界性定理，，使  于是在内因，故有  （2）在上连续，由连续函数最大、最小值定理，为在上的最大值。若或，则有 或， 于是有；由条件，又有。这样，即为在内的最大值点。又若，易见为在内的最大值点。 注 的有界性也可利用函数极限的局部有界性证得：在与内有界，然后在上对应用有界性定理。 2、设函数在内连续，且，证明在内能取到最小值。 证 因为，任取与，于是，有。又因在上连续，由连续函数最大、最小值定理，为在上连续，由连续函数最大、最小值定理，为在上的最小值。现证也是在内的最小值。首先，不难看出；又对，有。这就证得为在内的最小值。 3、设函数在区间上连续，证明： （1）若对任何有理数有，则在上； （2）若对任意两个有理数，有，则在上严格递增。 证 （1），由有理数在中的稠密性，有理数列，使。又由的连续性和，就有，即。 （2），由有理数在中的稠密性，有理数，使。同理有理数列，使，且。由条件可得  令，由的连续性可知   再由函数极限的保不等式性，证得  即在上严格递增。 4、设为正数，。证明：方程  在区间与内各有一根。 提示 考虑辅助函数 5、设在上连续，且对任何，存在，使得  证明：存在，使得。 提示 连续函数在上有最小值，若，则已得证；若，由所设条件可得矛盾。 6、设在上连续，，另有一组正数满足。证明：存在一点，使得  提示 本章§2习题19是本题特例，其中 7、设在上连续，满足。又设证明： （1）为收敛数列； （2）若，则有 （3）若条件改为，则 证 （1）因为，所以是递减有下界数列，由数列极限的单调有界定理，为收敛数列。 （2）在等式中令，若，由的连续性有：  （3）若，用反证法。假若，则有，与（2）中矛盾，于是 8、设在上连续，。证明：对任何正整数，存在，使得  提示 时，取时令，则有，然后应用介值定理。 9、设在连续，且对任何，有  证明：（1）在上连续；（2） 证 （1）在中取，有  在上式中令，由在处连续，得  于是有     于是在上连续。 （2）对正整数.若为负整数，则为正整数.因为 ，于是， 即对任何整数，有. 再证：非零整数，有，这是因为 . 于是对任何有理数，（为互质整数），有 . 最后证：.这是因为，有理数列，，于是= . 10．设定义在R上的函数在0，1两点连续，且对任何，有.证明为常量函数. 提示 易见为偶函数；对任何，，从而得：时. 第五章 导数和微分 1、设 （1） （2） 提示（2）应用数学归纳法 2、证明下列函数在处不可导： （1）； （2） 提示（1）按定义求导 （2） 3、（1）列出一个连续函数，它仅在已知点不可导； （2）举出一个函数，它仅在点可导。 提示 （1）仅在不可导，仅在不可导。 （2）仅x=0可导；再利用构造仅在点可导的函数。 4 证明： （1）可导的偶函数，其导函数是奇函数； （2）可导的奇函数，其导函数为偶函数； （3）可导的周期函数，其导函数仍为周期函数； 5 对下列命题，若认为是正确的，请给予证明；若认为是错误的，请举一反例子予以否定： （1）设，若可导，则在点可导（否）； （2）设，若可导，在点不可导，则在点一定不可导（是）； （3）设，若可导，则在点可导（否）； （4）设，若可导， 在点不可导，则在点一定不可导（否，） 6 设连续，，问在什么条件下存在？ （存在且等于零） 7 设为可导函数，求下列各函数的一阶导数     8 设为可导函数，求：       （3）  9 设为可导函数，证明：  并利用这个结果求： （1） （2） 解设  由行列式展开定理，有 ， 其中为的置换    =  （1） =  （2）同理可求  第六章 微分中值定理及其应用 1.证明:若在有限开区间内可导,且,则至少存在一点,使. 提示 (1)利用条件,把函数延拓成闭区间上的连续函数.(2)也可用反证法:若内不存在,使得,由导函数的介值定理在内保持同号. 3.设函数在上连续,在内可导,且.证明存在,使得  提示 设,然后在上应用柯西中值定理. 4.设在上三阶可导,证明存在,使得  证 [证法一] 设 , 有因为   于是. 先在上对F,G应用柯西中值定理,,使得 . 然后再在上应用柯西中值定理,,使得  于是有 , 即  [证法二] 利用罗尔中值定理来证明.令  其中L为待定常数.设  有,在上对应用罗尔中值定理,有,.然后在上对再一次应用罗尔定理, ，有.由此可以解得. 6.设为个正数,且  证明(1) (2)  证 （1） ， 当时，是型极限，利用洛必达法则     . 由对数函数的连续性，得到  （2）记有，于是  由  令，借助函数极限的迫敛性，证得  8．设，函数在内具有阶连续导数，且，在内的泰勒公式为   证明： 证 函数在内带有次拉格朗日型余项的泰勒公式为   （6-1） 另一方面，对函数在上应用拉格朗日中值定理，有  于是有  把上式代入题设中的泰勒公式，得   （6-2） 由式（6-1），（6-2）相等，有  在上式中令，应用条件: 的连续性和,即证得  9.设,试问为何值时,方程存在正实根. 解 设  因为,所以.算出 , 当时,,当时,,即在中严格递增,于是.取,,在上应用连续函数的介值定理, .这样,当时方程存在正实根. 当时,设   于是有  , 即方程无正实根. 综上所述,当时方程  有正实根. 12.设函数在上二阶可导,.证明存在一点,使得  证 将在点作泰勒展开到二阶拉格朗日型,余项,有   利用条件,把上面两式相减,得到 , 设,即有  13.设函数在内取得最大值,在上具有二阶导数,且,试证 . 提示 设在取得最大值,由费马定理,.然后在,上对应用拉格朗日中值定理. 14.设在上可微,且.证明:在上. 证 作辅助函数  由于  因此递减,则  15.设满足,其中为任一函数.证明:若,则在上恒等于0. 证 由于是上的连续函数,因此在处分别取到最大、最小值.易知,现证.用反证法,若,因为,所以.由费马定理, .用代入方程.可得 , 故为严格极小值点,这与是最大值点相矛盾,于是.同理可证.由此推知 . 18.证明:(1)设在上可导,若都存在,则  (2)设在上阶可导,若和都存在,则  . 证 (1)因为存在,由函数极限的柯西准则,,,当时 . 取正整数(且),有 , 于是  因为存在,由归结原则可知  (2)把函数在点处泰勒展开到阶余项,有 ,  把看作变量解出上述线性方程组,这些导数可以表示为的线性组合.由题设条件:, 存在,故有  存在, , 于是,存在.由(1)可知:从,存在可得 . 由前面所证得到 ,. 19.设为上的二阶可导函数.若在上有界,则存在,使. 证 用反证法,若,,由导函数的介值性,(或,于是为凸（凹）函数，若恒为常数，结论显然成立，不妨设不恒为常数，于是.由函数的凸性, ,有  当时,令;当时,令,都有 , 这与在上有界相矛盾.当为凹函数时,同理可证是无界的.由此可见,,使得 . 第七章 实数的完备性 1、证明：为有界数列的充要条件是的任一子列存在其收敛子列。 提示 必要性用致密性定理证明；充分性用反证法，若无界，心存在子列，。 2、设在内连续，且证明：有最大值或最小值。 证人 先利用条件，把延拓为闭区间上的连续函数：  由闭区间上连续函数的最大、最小值定理，上的最大值和最小值。若中有一个不为零时，例如，则最大值M不在a,b处取到，即在（a,b）内有最大值，同理若，则内有最小值。 3、设上连续，又有，使证明：存在，使得 提示 对应用致密性定理 4、设函数f和g都在区间I上一致连续。 （1）若I为有限区间，证明f·g在I上一致连续； （2）若I为无限区间，举例说明f·g在I上不一定一致连续。 提示 若I为有限开区间，设法把f，g延拓为闭区间上的连续函数，利用f，g的界性，按定义验证f·g的一致连续性。 5、设f定义在（a,b）上，证明若对（a,b）内任一收敛点列，极限都存在，则内一致连续。 证 用反证法。若在上不一致连续，则，但  取可得 在应用致密性定理，子列，于是也有构造数列  易见收敛，而，即不收敛，与假设矛盾，因而在上一致连续。 6 设函数在上连续，且有斜渐近线，即有数b与c，使得  证明上一致连续。 证 由条件 ，   故当时，又有  =   于是当时，有 又因为上一致连续，故，当取  可以验证时有  （7-1） 这是因为，若时易见结论成立；若时，因为，所以，因而式（7-1）也成立，于是在上一致连续。 第八章 不定积分 求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12） （13）； （14）； （15）； （16）； （17）； （18）； （19）； （20），其中，，求递推形式解。  提示 （6）令或，作换元积分。 （7）先化为 （8）可化为 （11）可化为 （12）令 （13）不必作部分分式分解。 （14）令，化为 （18）令，化为 （19）化为 （20）， 其中   第九章 定积分 （教材上册第237页） 1．证明：若在上连续，f二阶可导，且，则有  提示 记，由f为凸函数，从而有  说明 本题指出了在所给条件下，先复合而后积分平均与先取积分平均而后复合两者之间的大小关系，当时，不等式反向。 2．证明下列命题： （1）若f在[a,b]上连续、递增，则 ， 在[a,b]上亦递增。 （2）若f在上连续，且，则   在上为严格递增函数，若要在上亦为严格递增，试问应补充定义 提示 （1）通过验证在上，且F在点a右连续。 （2）通过验证在上；应补充定义的值。 3．设f在上连续，且 提示 先证在所设条件下f在上必定有界，令，再令 ， 并分别证明 ； ， 其中 说明 本题的意义是，在极限存在的条件下，在上的积分平均值即等于A，然而此命题不可逆（反例可由下面第4题容易得出）。 4．设f是定义在上的一个连续周期函数，周期为p，证明  提示 ，，，使；并随之有  然后分别证明 ；  5．证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。 提示 设 ， 则f的一切原函数为，C为任意常数。 当f为奇函数时，验证； 当f为偶函数时，验证只有当C=0时满足 6．证明施瓦茨（Schwarz）不等式，若f和g在[a,b]上可积，则  提示 该不等式有多种证法，其中最简捷的一种是利用二次三项式   的判别式来证明。 7．利用施瓦茨不等式证明： （1）若，则 ； （2）若，且，则 ; （3）若，则有闵可夫斯基（Minkowski）不等式：  提示 （1）令 （2）令 （3）这可以从  出发，对右边第二项使用施瓦茨不等式。 8．证明：若f在[a,b]上连续，且，则  提示 把前面第1题中的区间[0，a]改为[a,b]时，其结论相应地改为  而当其中（f为凹）时，则上述不等式反向。 9．设f上的一个连续、递减函数，；又设  证明为收敛数列。 证 当时，，于是有 ， 把这个不等式相加，得到  由此推知 ， 说明有下界。 又由   ， 说明为递减数列，所以收敛。 *10.证明:若，且处处有，则（提示：由可积的第一充要条件进行反证；也可利用§6习题第7题的结论。） 证 由§6习题第7题，知道f存在处处稠密的连续点，现任取其一为，因为，由保号性，，使  这就证得  第十一章 定积分的应用 2、证明下列不等式： （1） （2） 提示 （1）利用时有  （2）利用   3、计算下列反常积分的值： （3） （4） 提示 （3）。经变换，可得。 （4）经变换，化为（3）。 4、讨论反常积分，取何值时为绝对收敛或条件收敛。 提示 不妨设。令，则    其中当时收敛，时绝对收敛，时发散。关于错误！链接无效。的讨论如下： 时为定积分；时绝对收敛；时发散。 综上，J在时为绝对收敛；时为条件收敛。 5、设在上连续，。试证： （1）若，则  （2）若收敛，则  证 （1），有       其中。由于  因此有   （2）由收敛，据柯西准则，当时，有  把（1）的推导过程改为    6、证明下述命题： （1）设为上的非负连续函数，若收敛，则也收敛。 （2）设为上的连续可微函数，且当时，递减地趋于0，则收敛的充要条件为收敛。 证 （1）不妨设，则。由比较法则，结论得证。 （2）先证必要性。对充分大的A，有  因收敛，所以，从而 （即）。 由分部积分，得  ，当时，有  从而证得  即收敛。 再证充分性。由于  因此问题归为证明存在。 由于递减地趋于，因此，因收敛，故存在，当时，将有   由此可见，，问题得证。