第二章 数列极限
§1 数列极限概念
例1 设，求.
解 利用级数一般项拆项的办法，有
.
于是有
.
例2 按定义证明
.
证
≤ （n>4）
，
取，当n>N时，
<.
注 扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式仍是无穷小数列.
例3 证明.
分析 设，有
≤，
其中，而对应用二项式展开适当放大后可以证明它趋向于零.
证 设，则有
≤.
令，应用二项式展开有
≤
=.
取，当n>N时就能保证
.
即
.
例4 按定义验证
.
分析 当0<c≤1时，，结论显然成立.不妨设c>1，注意到
，
当m充分大时，.
证 设c>1，取，则，故当n>k时，
≤，
其中为固定的常数.因为是无穷小数列，所以，当时，
，
于是当时，有
.
此即得证.
例5 证明不存在.
证 要证，≠A，即，使得.
不妨设A≥0，（同理可证A<0的情形）.取，在开区间中必存在正整数，且，使得
§2 收敛数列的性质
例1 求极限
.
解 设，等式两边乘可得
，
两式相减后得到
.
因为，于是由极限四则运算可得
=.
例2 求极限
.
解 由不等式
.
当时，（利用2o（8）），由迫敛性可得
.
例3 设数列.证明：若存在正整数与实数k（0<k<1），当n≥
，
则.
证 由所设条件，有
.
因为当0<k<1时，，于是由迫敛性有
.
这样就证得
.
例4 证明：当a>0，a≠1，k≥1时，成立
.
分析 若a>1，有
，
而，设法证明即可.
证 先证当a>1，k≥1时等式成立.由不等式
和迫敛性，只要证明
.
按定义，需证，当n>N时，满足
，
即
.
这是因为，对，当n>N时，必有.
又当0<a<1时，由于
，
而，于是
.
注 与内容提要2o中的公式合在一起，当a>0,a≠1,k≥1,c>1时，以下数列
都是无穷小数列，有时记作
.
例5 证明斯笃茨（Stolz）定理：
设数列满足，且
，
则
.
分析 证明的基本思路是：设
.
由已知条件，，当n≥时
.
把设定式改写成（n>）：
=……
，
在等式两边同时除以（n充分大时>0），再减去a后取绝对值，又得
.
因为，所以，当时，
.
于是取，当n>N时有
.
注：若，在斯笃茨定理中设，因为，所以. 因而斯笃茨定理是它的推广形式.
例6 证明：
（p为正整数）.
证 设，有，且
.
由于
，
因此利用斯笃茨定量，有.
§3 数列极限存在的条件
例1 求极限
.
分析 题中极限式与相近但有区别，在中比多出了一项.合理的途径是化简为，然后应用迫敛性来求解.
解 因为，所以
<<
由（3.1），
=e，
==e.
应用迫敛性，即有=e.
例2 设.证明数列收敛，并求其极限.
证 （3.4）
若，有，由归纳法，若，则，于是有上界.由（3.4），即为递增有上界数列，于是存在.
若，易证，n=2,3,….于是由（3.4），，又≥0.故为递减有下界数列，存在.
若，，也存在.
设=a，则有，解得a=3，于是
=3.
例3 证明：对任何正整数n成立
（1）； （3.5）
（2）是递减的收敛数列.
分析 由基本不等式<e<两边取自然对数后可以得到（3.5）式；然后应用（3.5）不难证得（2）.
证 （1）由（3.2），
<e<.
在上面不等式两边取自然对数，可得
.
即
（2）先证有下界：由不等式（3.5），
.
再证有下界：由不等式（3.5），，有
，
对k=1，2，3，…，n把上面不等式相加，可得
，
于是
.
这就证明是递减有下界数列，由单调有界定理，存在极限
…
注 c称为欧拉（Euler）常数.这样，
， （3.6）
其中为无穷小数列，（3.6）式刻画了发散的数量级与In n相当.
例 4 设，试求极限.
分析 若=a存在，由，两边取极限后即有
,
于是可解得=0.618…, =-1.618…，由≥0，可知a=0.618….这样，问题归纳为只须证明收敛.
证 ，
由<0，可得>0，以此类推<0，…，，，….显然本身不是单调数列.
利用以上分析中的，若，则；若，则；而>0.618…，于是可得这样可推测是摆动地趋向于a.现在来讨论与的单调性.
由于
（3.7）
，
因此当时，有；当时，有.但因，所以是递增有上界数列（a为上界），是递减有下界数列（a为下界）.由单调有界定理，存在如下极限
，.
对递推关系分别当n=2k-1,n=2k取极限，可得
，
由此容易解出
.
因为收敛于同一数a，所以.
注 a=0.618…在最优化理论中是有名的常数.有时也称它是“黄金分割比”.
例5 天体力学中的开普勒（Kepler）方程为
，
其中a和q为常数，q满足0<q<1.任取，构造迭代公式
＋a，n=0,1,2,…. （3.8）
试证：收敛，且其极限为开普勒方程的解.
分析 由迭代公式（3.8）可得
≤；
同理可得
≤≤；
由数学归纳法，有≤≤…≤.
由此对任何，又有
≤
≤
≤.
由于=0，不难观察到满足柯西准则的条件.
证 由分析可知
≤，
因为0<q<1，所以
于是，当n>N时，对一切，有
≤，
即满足柯西准则的条件，故存在极限
.
又因
，
所以
.
最后，对迭代式（3.8）取的极限，得
，
即是开普勒方程的解.
注 本题是柯西收敛准则在解函数议程中的应用，上述由构造的方法称为迭代法.
